留学生学历认证-计算机教学工作总结

科大学长 对 数学系学弟学妹的忠告 <转发>
有些科大学生，尤其是新生，抱怨科 大教材偏难；而且新生通常缺乏学习方法，对如何在大学中学习
还没有清楚的概念。下面是一位科大数学 系学长给科大数学专业学生的一些建议。我转发过来，仅供
参考。

1、老老实实把 课本上的题目做完。其实说科大的课本难,我以为这话不完整。科大的教材,就数学系而
言还是讲得挺清 楚的,难的是后面的习题。事实上做1道难题的收获是做10道简单题所不能比的。
2、每门数学必修课至少要看一本参考书,尽量做一本习题集。
3、数学分析别做吉米，除非 你太无聊,推荐北大方企勤的习题集。此外注意一下有套波兰的数学分析
习题集，是不是搞得到中文或英 文版。
4、线性代数推荐普罗斯库列科夫的<<线性代数习题集>>和法捷耶夫的<<高等代数习题集 >>。莫斯科
大学要求把上面的题全做光。建议大家在搞定亚洲第一难书的同时也把里面的题打通。 < br>5、解析几何不要不重视。现在有种削弱几何课的倾向,甚至有的学校把解析几何课改成只有两课时,这样一来,几何训练不足,会很吃亏的。
6、常微要看看阿诺尔德的书,打通菲利波夫的习题集。
7、数论课是很重要的,起码可以锻炼思维能力。
8、数学分析、线性代数、解析几何、泛函 、拓扑、抽象代数、实变、微分几何是最重要的课,大家脱
层皮也要学好。要尽量加强这方面的工底,不 然的话以后很吃亏。
9、有时间去物理系多听课,千万不要毕业了连量子力学也不懂,这样的数学家注 定要被淘汰的。读读费
曼物理讲义和郎道的理论物理教程。
10、华罗庚的<<数论导引>>的前言大家好好看看,多多领会!
11、想读数理统计和计 算数学的要注意,统计和计算数学同样是数学类的专业,不要以为加上计算和统
计就可以降低要求。
12、推荐一些参考书：
B.A.卓里奇《数学分析》(第一卷有中文版,第二卷未翻译,会俄文的一定要看)
ky,A course of mathematical analysis(有中文版)
kin,Introduction to algebra(有中文版)
kov,Analytic geometry(有中文版)
kov,Linear algebra and differential geometry(有中文版)
,An Introduction to the Theory of Numbers
,Ordinary differential equation(有中文版)
H.嘉当,解析函数论初步
Kolmogorov,Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis(有中文版,亚马逊上出售英文
版,20美元一套)

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Fomenko,Differential geometry and topology
Kelley,General Topology(有中文版)
Bott,Differential forms in algebraic topology
莫宗坚《代数学》
Atiyah,Introduction to Commutative Algebra(有中文版)
Riesz,Functional Analysis(有中文版)
Landau,Mechanics(有中文版)
Goldstein,Classical Mechanics(有中文版)
Landau,The Classical Theory of Fields(有中文版)
Jackson,Classical Electrodynamics(有中文版)
Landau,Statistical Physics Part1(有中文版)
Kerson Huang,Statistical Mechanics
Landau,Quantum Mechanics(Non- relatisticTheory)(有中文版)
Greiner,Quantum Mechanics:A Introduction(有中文版)
黄昆《固体物理学》
Kittel,Introduction to Solid State Physics(有中文版)
费曼《费曼物理讲义》
玻恩《光学原理》
王梓坤《概率论基础及其应用》
方企勤《数学分析习题集》
普罗斯库列科夫《线性代数习题集》
法捷耶夫《高等代数习题集》
菲利波夫《常微分方程习题集》
沃尔维科斯基《复变函数习题集》
鄂强《实变函数的例题与习题》
符拉基米诺夫《偏微分方程习题集》
巴兹列夫《几何与拓扑习题集》
菲金科《微分几何习题集》
1,迪亚库的《天遇 --混沌与稳定性的起源》，上海科技教育出版社。
这本书的内容是关于自牛顿时代以来，数学家探索 一个经典的数学物理难题：三体问题的历史，很多新生
可能以为数学家就是陈景润那样玩些和实际生活不 相关问题的怪人，其实真正好的数学是要能够解决人类

科学研究和实际生活中提出的各种数学 问题的数学，数学不能离开工程和科学,现代工程技术和自然科学
（也包括社会科学）是数学研究活的源 泉，这本书里面的三体问题就是关于计算三个天体的运动轨道的问
题，这个问题的研究就是现代动力系统 理论的起源，甚至说现代的拓扑学也与此大有关系，庞加勒的经典

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著作《位置分析》很大程度上是为他的《天体力学讲义》提供数学工具，你们可以在这里看见很多数学大
师的踪影：庞加勒，柯尔莫哥诺夫，阿诺尔德还有我国的年轻数学家夏志宏。

2,《数学——它的内容，方法和意义》，科学出版社。
这套书一共三本，是由多位俄罗斯著 名数学家集体编写的，包括了二十世纪最优秀的数学家柯尔莫哥诺夫
先生以及亚历山德罗夫先生、沙法列 维奇先生、索伯列夫先生、盖尔范德先生等数学大师。基本上对大学
本科的基础课程都做了一个简介，还 推荐了一些参考书，这些书大部分国内都可以找到。

3，外尔的《对称》，上海科技教育出版社。
外尔也是二十世纪最优秀的数学家之一，据说是懂得物理最多的数学家，这本书当然也是值得一读的了。

4，克莱因《古今数学思想》，科学出版社。
关于数学历史的名著，不过这本书对以刘徽为代表的中国古代数学的辉煌成就比较忽视





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（一）从数学分析的课本讲起吧。

下面开始讲一些课本,或者说参考书:
1.菲赫今哥尔茨的微积分学教程数学分析原理。前一本书,俄文版共三卷,中译本共8本;后一
本书 ,俄文版共二卷,中译本共4本。此书堪称经典。微积分学教程其实连作者都承认不太合适
作为教材,为 此他才给出了能够做教材的后一套书,可以说是一个精简的版本。相信直到今天,很多
老师在开课的时候 还是会去找微积分学教程因为里面各种各样的例题实在太多了，如果想比
较扎实的打基础的话,可以考虑 把里面的例题当做有答案的习题来做,当然不是每道题都可以这
么办的。毫无疑问,这套书代表了以古典 的方式处理数学分析内容(指不引入实变,泛函的观念)的

最高水平。

l的在西方(西欧和美国),算得上相当完整的课本，里面讲了勒贝
格积分，不过讲的不好。

的rinciples of Mathematical Analysis中译本:卢丁数学分析原理是一本相当不
错的书,后面我们可以看到, 这位先生写了 一个系列的教材。该书的讲法(指一些符号,术语的运
用)也是很好的。学完高等数学以后,可以找一本 西方advanced calculus水平的书来看(特别是
Rubin的书),基本上就能够达到 一般数学系的要求了。说到Advaced Calculus,在这个标题下面有
一本书也是可以一看的,就是和erg的Advanced Calculus。这本书的观点还是
很高的,毕竟是人家Harvard的课本.


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4.数学分析北大版)方企勤,沈燮昌等的数学分析习题集数学 分析习题课教材。北大的这套
课本写得还是可以的,不过最好的东西还是两本关于习题的东西。大家知道 ,吉米多维奇并不是很
适合数学系的学生的,毕竟大多是计算题。相比之下北大的这本习题集就要好许多 ,的的确确值得
一做。那本习题课教材也是很有意思的书,包括一些相当困难的习题的解答。

5.克莱鲍尔的数学分析。记得那是一本以习题的形式讲分析的书,题目也很不错。

6.张筑生的数学分析新讲共三册)。我个人认为这是中国人写的观点最新的数学分析课本, 张老
师写这书也实在是呕心沥血,手稿前后写了差不多五遍。象他这样身有残疾的人做这样一件事情所付出的是比常人要多得多的，以致他自己在后记中也引了都云作者痴,谁解其中味。在这套
书里, 对于许多材料的处理都和传统的方法不太一样.非常值得一读。唯一的遗憾是,按照张老师本
人的说法, 北大出版社找了家根本不懂怎么印数学书的印刷厂,所以版面不是很好看。

下面的一些书可能是比较新颖的.

7a.尼柯尔斯基数学分析教程是清华的人翻 译的,好象没翻全。那属于80年代以后苏联的新潮
流的代表,不管怎么说,人家是苏联科学院院士。

数学分析莫斯科大学的教材。SPRINGER出了英文版，相当好的一套教材，特别
是习题。

8.狄多涅现代分析基础(第一卷)是一套二十世纪的大家写的一整套教材的第一卷,用的术 语相
当高深可能等以后学了实变,泛函再回过头来看感觉会更好一些.

9.说两 句关于非数学专业的高等数学。强烈推荐理图里面几本法国人写的数学书。因为在法国高
等教育系统里面 ,对于最好的学生,中学毕业以后念的是两年大学预科,这样就是不分系的,所以他
们的高等数学(如J . Dixmier院士的高等数学第一卷)或者叫普通数学其水平基本上介于国内
数学系和物理系的数 学课之间)

10.再补充个技术性的小问题.对于函数项级数收敛, 一致收敛是充分而非 必要的,有一个充要条
件叫亚一致收敛性在微积分学教程里面提了一句,其详细讨论,似乎仅见于鲁金( Lusin)的实
变函数论里面。

11.华罗庚先生的高等数学引论第一卷。这套 书(其实没有完成最初的计划)是六十年代初华先生
在王元先生的辅助下对科大学生开课时的讲义。那时 候他们做过个实验,就是一个教授负责一届
学生的教学,所以华先生这书里面其实是涉及很多方面的(附 带提一句,另外两位负责过一届学生

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的是关肇直先生和吴文俊先生)。也是出于
一种尝试吧,华先生这书里面有一些不属于传统教学内容的东西,还包括一些应用。可以一读。

12.何琛,史济怀,徐森林的数学分析。这应该是科大的教材,虽然好象影响不是很大,我 本人还是
很喜欢的,高一的时候第一次学数分就是用的这套书,感觉是条理清晰,配的习题也很好。印刷 质量
也相当不错。

13，邹应的数学分析。徐森林老师说这是中国最难的一本数学 分析，大致是Dixmie的大学数
学教程的改编版。
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4
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发表于 2005-9-1 01:52 | 只看该作者
（二）空间解析几何的参考书

空间解析几何实在 是一门太经典,或者说古典的课。从教学内容上说,可以认为它
描述的主要是三维欧氏空间里面的一些基 本常识,包括最基本的线性变换(那是线性
代数的特例),和二阶曲面的不变量理论。

科大用的一直是吴光磊先生和田畴先生的解析几何简明教程，很薄，不过主要是讲
来看看
会
员
直角坐标系的情况，仿射坐标系的情况讲的不多。

可以考虑的参考书包括:
1.陈(受鸟)的空间解析几何学。内容基本上和课本差不多,不过 要厚许多,自然要好
念点。陈先生是吴大任先生(大猷先生的堂弟,南开多年的教务长)的夫人,也是中 国早
期留学海外的女学者.

2.朱鼎勋的解析几何学基本上只在欧氏空间里面讨论问题，优点是非常易懂, 连
二维的不变 量理论也在附录里面交代得异常清楚。习题也比较合理,不是非常的难(如
果我没有记错的话)。朱先生 相当有才华,可惜英年早逝。

关于数学分析的习题,还有一本书,就是(波利亚),(舍贵 )的数学分析中
的问题和定理。在学习数学分析的阶段,可以考虑其第一卷的前面一半,后面就全是复变的东西了。该书的内容还是非常丰富的，在历史上,这是一套曾经使好几代数学

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家都受益匪浅的经典著作。这套书的一个好处就是题目难归难,后面还是有答 案或提
示的。

kov的几何讲义：第一学期：解析几何学是莫斯科大学新的课本, 从课程形
式就可以看出,解析几何这样一门课如果不是作为对刚进大学的学生的一个引导,给
出 一些具体的对象的话,迟早是要给吃到线性代数里面去的。我个人以为,现在教委的
减轻学生负担的做法 迟早是要遭报应的。中国的中学教育水平也就比美国最糟糕的
中学好点,从整体上说,比整个欧洲都要差 。我相信所谓三维的解析几何的内容总有
一天要下放到高中里面去。上面的书如果撑不饱你,你又不想学 其它的课程的话，可
以考虑下面两本经典，其好处是看过以后可以对很多几何对象(当然具体说是指三维
空间里面的二次曲面)有相当深刻的了解。

4.玻格列诺夫的解析几何学。玻格列 诺夫是苏联科学院院士，这本书应该说比较精
炼，该有的也都有了。

5.穆斯海 里什维利的解析几何学教程。特别值得参考的是它里面关于射影的一些观
点和讲法(比如认为椭圆也是有 渐近线的,只不过是虚的而已).

关于解析几何的习题，可以去做巴兹列夫的几何学与拓扑 学习题集，里面的题目还
是有点难度的。
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发表于 2005-9-1 01:54 | 只看该作者
（三）“高等代数”的参考书

来看看
高等代数可以认为处理的是有限维线性空间的理论，如严格一点

, 关于线性空间的
会
理论应叫线性代数,再加上一点多项式理论(就是可完全算做代数内容的)就叫高等代
员
数了。这门课在西方的对应一般叫Linear Algebra, 就是苏联人喜欢用高等这个词,你

可以在外国教材中心里面找到一本Kurosh(库落什)的Higher Algebra.

北大的高等代数第二版?)可以说是四平八稳,基本上该讲的都讲了，但是你要说它
有什么地方讲得特别好,恐怕说不出来。从这门课的内容上说,是可以有很多种讲法
的。线性空间的重点 自然是线性变换,那么如果在定义空间和像空间里面取定一组基

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的话,就有一个矩阵的表示。因此这门课的确是可以建立在矩阵论上的，而且如果要
和数值搭界的话还必 须这么做。

1.蒋尔雄,吴景琨等的线性代数是那时候计算数学专业的课本,其教学要求据 说是比
数学专业相应的课程要高。因为偏向计算,可以找到一些比较常用的算法，我个人以
为还 是比较有意思的。

2.屠伯埙等的高等代数将80%的篇幅贡献给矩阵的有关理论，有大量 习题,特别是
每章最后的选做题能独立把这里面的习题做完对于理解矩阵的各种各样的性质非
常 有益。当然这不是很容易的: 据说屠先生退休时留下这么句话:今后如果有谁开高
等代数用这本书做教 材,在习题上碰到麻烦的话可以来找我.由此可见一斑。如果从
习题方面考虑,觉得上面的书太难吃下去 的话,那么下面这本应该说是比较适当的。

3.屠伯埙等的线性代数-方法导引。这本书比 上面那本可能更容易找到,题目也更
实际些，值得一做。另外,讲到矩阵论.就必须提到
< br>4.甘特玛赫尔的矩阵论。这恐怕是这方面最权威的著作了，译者是柯召先生。在这
套分两册的书 里面,讲到了很多不纳入通常课本的内容。举个例子,大家知道矩阵有
Jordan标准型,但是化一个 矩阵到它的Jordan标准型的变换矩阵该怎么求?请看矩阵
论。这书里面还有一些关于矩阵方程的讨 论,非常有趣.

5.许以超的线性代数和矩阵论。这本书写得很不错,习题也不错。必须指 出,这里面
其实对于空间的观念很重视。不管怎么样,他还是算华先生的弟子的。

6.华罗庚的高等数学引论。华先生做数学研究的特点是其初等直观的方法别具一
格,在矩阵理论方面他 也有很好的工作.甘特玛赫尔的书里面你只能找到两个中国人
的名字,一个是樊畿先生,另一个就是华先 生。可能是他第一次把下述观点引进中国的
数学教材的(不记得是不是在这本书里面了):n阶行列式是 n个n维线性空间的笛卡
尔积上唯一一个把一组标准基映到1的反对称线性函数。这就是和多线性代数或 者
说张量分析的观点很接近了。高等代数的另外一种考虑可能是更加代数化的，比如

7.贾柯勃逊(on)Lectures on Abstract Algebra ,IIinear AlgebraGTM(Graduate
Texts in Mathematics)No.31(抽象代数学第二卷:线性代数)

Linear Algebra(GTM23)其实更多讲的是多线性代数.里面的有些章节还是值

7

得一读的.

9.丘维声的高等代数上,下) 相当不错，特点是 很全,虽然在矩阵那个方向没有上面
提到的几本书将得深,但是在空间理论,具体的说一些。几何化的思 想上讲得还是非常
清楚，多项式理论那块也讲了不少。

10.李炯生,查建国的线 性代数是科大的课本,可能是承袭华先生的一些传统把,里面
有些内容的处理在国内属于相当先进的了。 从常微分方程开始,数学课就变成没底的
东西,每一个标题做下去都是数学研究里面庞大的一块。对于一 门基本课程应该讲些
什么也始终讨论不断，这里我打算还是从现行课本讲起。
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发表于 2005-9-1 01:55 | 只看该作者
（四）常微分方程的参考书

常微分方程这门课,金福临和李迅经先生在六十年代写过一课本,第一版在今天看来
还是很好的一本课本 ，但第二版有那么点不敢恭维。不知为什么,似乎这本书对具体
方程的求解特别感兴趣,对于一些比较现 代的观点,比如定性的讨论等等相当地不
重视。最有那么点好笑的是在某个例子中(好象是介绍Gree n函数方法的),在解完了
之后话锋一转,说这个题其实按下面的办法解更简单...而这个所谓更简单 的办法是
来看看
根本不具一般性的.
会
员

下面开始说参考书,毫无疑问,我们还是得从我们强大的北方邻国说起.

1.彼 得罗夫斯基的常微分方程讲义。在20世纪数学史上,这位前莫斯科大学校长占
据着一个非常特殊的地位 .从学术上说,他在偏微那一块有非常好的工作。他这本书在
相当长的时期里是标准教材。

2.庞特里亚金的常微分方程。庞特里亚金院士十四岁时因化学实验事故双目失明,
在母亲的鼓 励和帮助下,他以惊人的毅力走上了数学道路,别的不说,光看看他给后人
留下的连续群、最佳过程的数 学理论你就不得不对他佩服得五体投地,有六体也
投下来了。


8

现代数学的一大特色即是已完全建立了一套自己的表达方式，没一个学科象数 学这
样创造了这么多的概念。现代数学传播的一大困难也在于此,要向一个非本行(哪怕是
数学 里另外一个分支的专家)解释清楚一个概念恐怕也要费上半天口舌。但在另外一
方面数学是如此有用, 而且数学的抽象性使得一个数学观点往往可以表征其它学科
的许多看似毫无关系的对象，所以现代数学还 是挺值得一学的。自学不是件容易的
事情,特别是数学。从动机上说,如果是想系统学一下大学数学系的 课程的话，我的建
议还是跟班听课,这比自己找书看要省力的多，在可以考虑的书籍方面,以前上海科技
出版社出过一套

1.大学数学自学丛书应当说编得是不错的.
2.赵 慈庚,朱鼎勋的大学数学自学指南。赵先生是上面那套书的主编,这本书基本上
以上面那套书为蓝本,也 给出了一些参考书。关键是对每一门课的具体内容都有一个
详细说明，好象是高等教育出的。下面转到欧 美方面

gton & Levinson的自五十年代出
版以来就一直被奉为经典 。说老实话这书里东西太多,自己看着办吧。比较现代的
表述有

& Smale的中
译本微分方程,线性代数和动力系统。这两位重量级人物写的书其实一点都不难念,
非常易懂，所涉及的内容也是非常基本,重要的。关于作者嘛, 可以提一句,Smale现
在 在香港城市大学,身价是三年1000万港币，我想称他为在中国领土上工作的最重
要的数学家应没有什 么疑问。

„d的常微分方程。必须承认,我对Arnol„d是相当崇拜的。作为Kolm ogorov
的学生, 他们两就占了KAM里的两个字母。他写的书,特别是一些教材以极富启发性而著称.实际上,他的习惯就是用他自己的观点把相应的材料全部重新处理一遍。从
和他的几个学 生的交往中我也发现他教学生的本事也非常大，特别是他的学生之间
非常喜欢讨论,可能是受他言传身教 的作用吧。他自己做学生的时候就和其他几个学
生(都是跟不同的导师的)组织了讨论班,互相教别人自 己的专长,想想这里都走出来了
些什么人物吧: Anosov, Arnol„d, Manin, Novikov, Shavarevich, Sinai...由此可见互相讨
论的重要性。从学术 观点上说,他更倾向于比较几何化的想法,在这本书里面也得到了
相当的体现。近年来,Arnol„d 对于Bourbaki的指责已经到了令大家瞠目结舌的程度。
不过话说回来,在日常生活中他还是个非 常平易近人的人,至少他的学生们都是这么
说的。这本书有中译本,不过应当指出译者的英文水平不是很 高, 竟然会把北极光
一词音译,简直笑话。再说一句,Arnol„d的另外一本书,中文名字叫常微 的几何方

9

法....的,程度要深得多。看了半天,讲来讲去都 是外国人写的东西,有中国人自己的值
得一看的课本吗?答曰Yes.

6.丁同仁 ,李承治的常微分方程教程绝对是中国人写的最好的常微课本,内容翔实,
观点也比较高。

7.卡姆克(Kamke)常微分方程手册,那里面的方程多得不可胜数。

对于 变系数常微分方程,有一类很重要的就是和物理里常用的特殊函数有关的。对于
这些方程,现在绝对是物 理系的学生比数学系的学生更熟悉。我的疑问是不是真有必
要象现在物理系的数学物理方法课里那样要学 生全部完全记在心里。事实上,我很
怀疑,不学点泛函的观点如何理解这些特殊函数系的完备性象

t-Hilbert的数学物理方法第一卷可以说达到古典处理方法的顶峰了,但是
看起来并不是很容易的。我的理解是学点泛函的观点可以获得一些统一的处理方法,
可能比一个函数一个 方法学起来更容易一些。而且,

9.王竹溪,郭敦仁的特殊函数概论的存在使人怀疑是不是 可以只对特殊函数的性质
了解一些框架性的东西,具体的细节要用的时候去查书。要知道,查这本书并不 是什么
丢人的事情, 看看扬振宁先生为该书英文版写的序言吧:年代末)...我的老师王竹
溪先生送了我一本刚出版的„特殊函数概论„...从此这本书就一直在我的书架上,...经
常在里面 寻找我需要的结论...连他老先生都如此,何况我们?
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发表于 2005-9-1 01:55 | 只看该作者
（五）“单复变函数论”的参考书
来看看

会
单复变函数论从它诞生之日(1811年的某天Gauss给Bessel写了封信,说我们应当给
员
„虚„数i以实数一样的地位...就成为数学的核心, 上个世纪的大师们基本上都在这
< br>一领域里留下了一些东西,因此数学的这个分支在本世纪初的时候已经基本上成形
了。到那时为止 的成果基本上都是学数学的学生必修的。

1.范莉莉,何成奇的复变函数论讲的东西也不是很难,包括那些数量很不少的习题。

10

但是做为第一次学的课本,应当说还不是很容易的。总的说来,从书的序 言里面列的参
考书目就可以看出两位先生是借鉴了不少国际上的先进课本。如果要列参考书的话,
单复变的课本真是多得不可胜数,从比较经典的讲起吧:

2.普里瓦洛夫的复变函数(论 )引论这是我们的老师辈做学生的时候的标准课本。内
容翔实,具有传统的苏联标准课本的一切特征。听 说过这么一个小故事: 普里瓦洛夫
是莫斯科大学的教授,一次期末口试(要知道,口试可比笔试难多了 ,无论是从教师还是
从学生的角度来说),有一个学生刚走进屋子,就被当头棒喝般地问了一句有界无界?此人稀里糊涂地回答了一句有界就马上被开回去了,实在是不幸之至。

3.马库 雪维奇解析函数论(教程?)这本厚似砖头的书比上面这本要深不少。这本书
的一个毛病是它喜欢用自己 的一套数学史,所以象Cauchy- Riemann方程它也给换了
个名字,好象是Euler-D„Alembert吧! 再说点西方的:

(阿尔福斯)的复分析)应该是用英语写的最经典的复分
析教材。 Alfors是本世纪最重要的数学家之一(仅有的四个既得过Fields奖又得过
Wolf奖的人物 之一),单复变及相关领域正好是他的专长。他的这本课本从六十年代
出第一版开始就好评如潮,总书库 里面有英文的修订本,建议还是看英文的。

这里需要说明的是,复分析在十九世纪的三位代表人物分别对应三种处理方
式:Cauchy --积分公式;Riemann--几何化的处理;Weierstrass--幂级数方法.这三种方法
各有千秋,一半的课本多少在其中互有取舍.Alfors的书的处理可以说是相当好的.
(亨利.嘉当)的解析函数论引论。这位Bourbaki学派硕果仅存的第一代人
物在二十世纪复 分析的发展史上也占有很重要的地位。他在多复变领域的很多工作
是开创性的。这本课本内容不是很深, 从处理方法上可以算是Bourbaki学派的上程之
作(无论如何比那套数学原理好念多了:-))

的和
Complex Variable,II是
Springer-Ve rlag的一套丛书,后面的数字是编号)第一卷也是1.的参考书目之一.作者
后来又写了第二卷.当 然那里面讲述的内容就比较深一点了.这本书第一卷基本上可
以说是Cauchy+Weierstra ss,对于在1.中占了不少篇幅的Riemann的那套东西要到第
二卷里面才能看到.

a(小平邦彦)的。Kodaira也是位复分

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析大 师,是Fields+Wolf。这本书属于不深,但该学的基本上都有了的那种类型。需要
注意的是这 本书(英译本)的印刷错误相对多,250来页的书我曾经列出过100多处毛
病。由此我对此书的英译 者n极为不满,因为同样Beardon自己的一本
我就找不出什么错。

偶记得国内的复变教材还有北大庄圻泰的<<复变函数>>, 不记得是不是和张南岳合
写的。 应该是不错的，习题较多。科大严镇军也有一本<<复变函数>>也不错。其他
的复变书都大同小异，偶 还记得有本钟玉泉的馆藏考贝最多。下面说说习题

(波利亚),(舍贵)的数学分析中的 问题和定理第一卷的后半段就是
单复变的相当高质量的习题,第二卷的大部分也是,只不过那就有点太过 专门了而已.
看看这本书的序言就可以多少体会到单复变的地位了.一般来说,里面的题目都有答
案或提示,不过我以为一般来说还是可以独立做出来的.

10.解析函数论习题集实在 不好意思,作者(大概是三个苏联人)的名字忘了,这本书
里面的题目相当多。

其它的书我认为可以翻翻的包括

11.张南岳,陈怀惠的复变函数论选讲。这是 北大出版的研究生课本,基本上可以说和
上面提到的Conway的第二卷属于同一水平。从内容上来看 ,第一章正规族第二章
单连通区域的共形映射都是直接可以看的,第五章整函数同样如此。看一点第七章
函数和Riemann zeta函数这部分内容在6.里面也有),然后去看

12.J.-P. Serre(塞尔)的数论教程)第二部分的十来页东西就可
以理解下述
Dirichlet定理的证明了: 互素,则{am+b}里有无穷多个素数。Serre也是本世纪杰
出的复分析,代数几何,
代数专家.他28岁得Fields奖的记录至今还没有人能够打破.他写的书一向以清晰著
称。

13.庄圻泰,何育瓒等的复变函数论(专题?)选讲。差不多的题目应该有两本,一本比< br>较薄,从Cauchy积分公式的同伦,同调形式讲起,属提高性质.另外一本记忆中就觉得
太专 门了点。除此之外,讲单复变的还有两本书,不过可能第一遍学的时候不是很适合
看。


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的。必须承认,Rudin很会写书,这本书里面他
把对应与我们的复变,实变,泛函的许多东西都串在一起了。

der的。这是本
标 题下出现的第三位Fields+Wolf的人物。他的这本多复变的课本也是经典,其工具
主要是微分 算子的L^2估计。这里有用的是它的第一章, 可以说第一次看这部分讲
单复变的内容一般都会有一种 耳目一新的感觉。讲个细节,就是Cauchy积分公式对
于一般可微函数的推广叫Cauchy-Po mpeiu公式,基本上多复变的课本都会提到而单
复变的书都不讲。其实只要你看一下它的形式就会知 道这个公式的用处是很大的,不
妨试试拿它来算一些奇异积分.

arch的函数 论是本老书,相当有名，一半多的篇幅是讲复变的,看看可以知
道二十世纪上半叶的函数论是什么样子。 除此之外的意义是,程民德先生在他给陈建
功先生做的传中写到:三十年代的浙大)陈先生开的复分析课 程几乎包括Titchmarch
函数论除实函数外的全部内容..

17.戈鲁辛的 复变函数几何理论也很老了，但价值并不因时间的推移而改变。作者
也是很好的数学家,夏道行先生当年 在苏联的最好的工作之一就是解决了戈鲁辛的
两个猜想。最后讲一本书

18. t的。Remmert是德国
的多复变专家,他的这本书一点也不深, 其最大特色是收集了很多历史资料,把许多
概念的来龙去脉交代的异常清楚.

12.的作者J.-P. Serre成为第五位既得过Fields奖又得过Wolf奖的数学家(前面四位是
L. Alfors;K. Kodaira; L. Hormander;J. Milnor) 这门课没读过,不过如果现在的课本还
是
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发表于 2005-9-1 01:56 | 只看该作者
（六）“组合数学”的参考书

u的组合学引论的话,倒还是想说两句的。首先,这是本很好的书,不管上

13

不上这门课都值得一读.
其次,这本书的习题不是很好做的,特别 是没有答案(严肃的说,当你看到许多习题后面
都标有人物,年代,就该知道这些结果不是那么平凡的了 )作为补充,可以考虑

u的roblem in graph theory and combinatorics(???)有比较详细的提示和
解答,题目也非常好,

的roblems in Combinatorics(?)是本相当好的习题集,作者Lovasz 是唯一
一个得过wolf奖的组合学家，唯一的可能有麻烦的地方这本书的块头大了点,不过千
万不要被吓倒!

,Murty的中译本:图论及其应用,科学出版
社) 内容翔实,写得很易读, 而且有许多难度适当的习题。注意这些习题不仅在书后
(好象)，有简短的提示,而且图书馆里还有一本

5.图论及其应用习题解答做得还算不错吧。翻译成中文的书里面, 还有上海科技出
版的

(哈拉里)的图论) 的习题基本上都是从人家的论文里面 直接
找来的,所以有相当难度,虽说那里给出了非常详细的文献来源,但是有些还是很不好
找的 。这本书其实已经有点专著的味道了。讲到图论,还有象

7.B. Bollobas的。Bollobas在剑桥吧,国际数学家大会上做过
45分钟报告。

and,L. Lesniak的是本好书,浅显易懂。此外还有

9.C. Berger的是这里的框架性著作。还有一些不讲或不专讲
图论的组合书,中文的有

10.李乔的组合数学基础写得很不错
11.I. Anderson的
as的
(赖瑟)的组合数学有一些讲组合设计的章节还是很简单明了的。至于象
14.魏万迪的组合论感觉好象篇幅太大了点,而且你很快就会发现其实这书很不好

14

看。着重算法的书很多就是计算机类的了, 比如

15.朱洪等的算法设计和分析
16.卢开澄的组合数学--算法与分析。
组合数学有不少书是可以看着玩的,比如有本好象叫
Konig等于就是说讲现代图论的史前史), 等等。如果要求不是很高,那么下面的书可
能可以算篇幅不大,内容不深, 但多少也讲了些东西的:

17.I. Anderson的
组合学原理上海科技)
(刘炯朗, 现新竹清华大学校长)组合学引论。这书是魏万迪翻的,就是印刷
质量差了点，其它都还好,在北美的评 价也不错。此外,最近刚刚看到出了一本

,et al.(ed.) 。厚厚的两大本,里面有很多人的文
章,算得上是包罗万象.

组合里面还有一个非常有名的东西--四色定理,关于它就是是否被证明了争论了很多
年,当真 是仁者见仁,智者见智。当年的两位主角Appel 和Haken写过本书,就叫

,Haken如果你觉得这书块头太大,可以
先翻翻他们在

(ed.) 中译本:今日数学,上海科技)里面的一篇通俗的文
章,写得非常好。最后补充canetti指出的

rd Diestel 。这本书里讲到了概率方法, 感觉是个
很有希望的方向, 有很多人在做,包括98年得Fields奖的(这位是靠Banach空
间理论得奖的,但他的组合功 夫本来就很深,现在好象干脆就转向组合了)
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发表于 2005-9-1 01:56 | 只看该作者
（七）抽象代数 的参考书
15

有的地方管这叫近世代数近不近各人自己看着办吧! 历史上说,可以认为严肃的
讨论是从伽罗华开始的,他在决斗前夜下的那封著名的信件(里面有你可以公 开向
Jacobi或者Gauss提出请求,不是就这些结果的正确性,而是重要性,给出意见.... 现藏
法国国家图书馆).在后来的发展过程中,代数结构话的语言逐步渗透到数学的各个角
落. 到今天这已经是一门无处不在的分支了。北大的课本是

1.丁石孙,聂灵沼的代数学引论。 这本书的特点和北大的那本高等代数一样,就是没
什么自己的特色,原因是这本书从体例到习题在很大程 度上参考了

on的 。前面几章的中译本,应该是叫基础代数学吧,
不过翻译质 量一般。Jacobson在代数领域也属于权威,是华先生同时代的人。这本书
从观点上说是相当现代 化的,比同作者的那本

3.N. Jacobson的 中译本:抽象代数学,
共三卷)要改进不少.

4.徐诚浩抽象代数-- 方法导引。可以罗列的参考书还有很多, 综合性的课本有名气
很大的

的 。Lang写书以清晰著称,他的这本书还得过AMS发的Steel优
秀图书奖.
6.莫宗坚的代数学(上,下)。北大数学丛书里面的一本,没有很仔细地看过,但是感觉
不错.北 大的一些同学对此书推崇倍至,认为比1.写得好.

7.熊全淹的近世代数。这本书的好坏不敢评论,不过这本书有个很大的特点, 就是作
者收集了很多小文章, 比如许多American Mathematical Monthly上的短文。其它的就
是比较专门的东西了，比如群论，就有影响过无数学者的

6.库洛什的群论。注意这本书第二版和第三版中译本的封面一模一样。或者段学复
先生的导师Robinson写的

on 。再有象(群,代数)表示论,环
论,模论等等,都有专著, 不过我是一窍不通的了。对于Galois理论,有本


16

的伽罗华理论。非常薄,讲得很精彩,绝对是本传世佳作。还有

s的。这本书很有趣,它是循着Galois的原始想法
写的,因此和一般通行的教本里面的讲法不是很 一样.
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发表于 2005-9-1 01:57 | 只看该作者
（八）实变与泛函的 参考书

1.陈建功的实函数论。今天看来这里面的内容相当古典, 但其中很多东西的讲法到
今天还是很好的.

2.夏道行,严绍宗,吴卓人,舒五昌的实变函数论与泛函分析第二版,上,下册

3.杨乐,李忠编中国数学会六十年里面严绍宗先生和李炳仁先生写的文章.

, erg 里面有相当清晰简洁的
来看看
关于选择公理及其等价命题的叙述.那里写到
会
员
choice does not perhaps play a central role in analysis, but when
it is needed, it is needed most urgently这是很有道理的. 这个方向上扩展出去可以看

6.那汤松的实变函数论。在下册里面还有关于超限归纳法的 描述.这本书是徐瑞云
先生翻译的。另外,对于很多具体的点集的例子,有许多书可以参考,比如

7.汪林的实分析中的反例这是本非常非常好的书。作者是程民德先生的弟子.要记
住的是,这不仅仅是一本讲例子的书!和一些习题集和解答,比如

8.实变函数论习题解答。这是那汤松的书的习题解答.质量一般,不过好歹是本习题
解答吧.

9.实变函数论的定理与习题，记不清是谁写的了,应该是某个苏联人。面有详细的
解答,质量相当高.


17

的 中译本: 测度论)的框架里面。这本书实
在不敢评论,自己看吧!这本书里面还有一些精选的习题,有胆子和时间 的话值得一做.
一本相当有趣的书可以看看, 就是

的Measure and Category(GTM2)。这里的不是指代数里面的范
畴,而是集合的纲讲了很多有趣的东西。现 在可以来谈谈

12.周民强的实变函数第二版)写得不错,总的说来最大的好处恐怕就是习题很多,
而且都是能做的习题。有一本很好的书, 可惜至今只打过几个照面，就是：

13.程民德,邓东皋的实分析。我见过这书里面的一个测度的题目: $$m^*(E_1cap
E_2)+m^*(E1cup E_2)leq m^*(E_1)+m^*(E_2)$$, 还是很有趣的! 此外,上一章里面的
参考书都可以搬过来。需要注意的一点是,有些书是纯讲Lebe sgue积分的,比如6.12.
等,有些细节上注意一下L与L-S的差别还是有用的.

14.I.E. Segal, R.A. Kunze的和
15.A.N. Kolmogorov,S.V. Fomin的函数论与泛函分析初步。这些作者应该说都是相
当好的数学家了。广义测度和R- N定理更是非掌握不可的。最后问个小问题:
是R上全体可积函数全体构成的空间这句话对吗?

在直线(或者更一般的局部紧群上),是有可能先建立积分理论再导出测度的.比如下面将要讲到的

16.夏道行,严绍宗,舒五昌,童裕孙的泛函分析第二教程里面就有一 些这方面的内
容。此外还有象

17.夏道行,严绍宗的实变函数与泛函分析概要( ?)好象就是按照先积分再测度的办
法讲的。另外用这一体系的书好象还有

18. ,.-Nagy的泛函分析讲义也是不错的
书。对测度感兴趣的话,还可以看一些动力 系统里面讲遍历理论(ergodic theory)的书,
那是真正的测度论

19.汪林的 泛函分析中的反例
20.夏道行,杨亚立的拓扑线性空间。不过基本上是第二 作者写的,所以建议有兴趣的
化还是看下面几本

18

ki的。布尔巴基写书是一章一章出的,
这书能一次就包含五章,实属罕见，而且估计今后也不 会有后续的内容了。GTM里
面也有两本是讲拓扑线性空间这个题目的:

er的Topological Vector Spaces(GTM3) 和
23.J.L. Kelley, I.. Namioka的Linear Topological Spaces(GTM36)
里面有一章也是讲这东西的。其他许多以泛函分析为标题的书也是以此为出发点
的,比如

24.S.K. Berberian的。
Berberian 也是很好的数 学家,他译的Connes的是个很好
的版本,尽管后来Connes自己出了个内容更多的英文本。或 者

25.W. Rudin的里也有很多非常有趣的内容.Rudin的书都是很
好的.

ovi tch,的不少人都说Nobel经济学奖有
不少是给数学家的,这话一点不错,不过给计划经济体制下 的数学家恐怕就
Kantorovitch一位了.这是本很清晰简洁的书, 中译本的质量也很不错. 此外还有

27..J.B. Conway的A Course in Functional Analysis

d,Schwarz的 注意有些结论是可以把 Banach空间减弱
为Frechet空间的,不过好象据说实际应用中除了广义函数空间是个Fre chet空间以外,
其它用得并不多. 再补充一下前面漏掉的一本书:

里面可以看到不少实分析或者说泛函方法
在复变中的应用。

Hilbert空间由于其上存在一个内积, 可以发展的性质比Banach空间要多得多。从空间本身来讲,线性代数学好点对本章前面几节有很大帮助,学的过程中密切注视维数
无限导致的各种 反例就是了。算子理论其实也一样,脑子里面清楚哪些有限维的性质
是可以推广到无限维的对整个体系的 理解很有用。这里可以做的习题非常多,特别是

30.P.R. Halmos的A Hilbert Space Problem Book(GTM19) 算得上杰作.

19

就出自这里。再往下去研究算子代数的话,就实在是没有底的 东西了陈晓漫)。在
16.里面有一章讲些基本概念。这一块的文献也是浩如烟海, 因为学得太少,不敢妄加
评论,只想指出一本书,

31.G.K. Pedersen的。
这书连都说好,我想决不会差到哪里去。再说两句,关于他的工作,
或者说整个算子代数往后来的非交换几何的发展历史, 特别是这一分支从其开始的
阶段就和量子物理的联系,可以看

n Jones(Fields 90) and Henri Moscovici的

AMS Notice,v.44(1997),No.7

wski的。
AMS Notice,v.44(1997),No.7 。还有

Segal的 Book Review, Non commutative geometry by Alain Connes。
AMS Bulletin,v.33(1996),No.4 。因为

Connes(Fields 82) 的可以说是这一块的里程碑
式的著作,(33.中甚至说今后人 们会用今天看Riemann的就职演说的眼光看这本书)。
所以对于这本书的评论很多，也就把整个分 支都评论进去了,不妨看看。做为老前
辈,Segal的书评里面有一些批评,也值得注意.

在广义函数的标题下最有名的应该是

d等的广义函数。大概I-IV 都有中译本吧!.
从泛函的角度,据说是第二本最有意思。另外还有两本好书,不光是这一块内容,从整
体上讲也是很好的泛函课本

(吉田耕作)的。他也过两种不同规格的书,一本比较
厚,一本比较薄,都很好.

的。Brezis是法国科学院院士, 非线性偏微的权威.
他的这本书很见功力.如果能念法 语的话绝对值得一读。在Rudin的书25.里面也讲

20

了不少广义函数的内容, 特别有一章讲Tauberian Theory,很有意思。




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发表于 2005-9-1 02:01 | 只看该作者
（九）“数学物理方程”和“偏微分方程”的参考书

1.谷超豪,李大潜,谭永基(?),沈纬熙,秦铁虎,是嘉鸿的数学物理方程上海科技) 在这
样一个水平上(指不引进广义函数,弱解等泛函里面的概念)是相当不错的。注意那些
经典方程的推导 里面多少有一些近似的过程,这其实从某种意义上反应了所对应的
微分算子的某些性质的稳定性.比如, 对于经典的波动方程,3维及以上的奇数维成立
惠更斯(Huygens)原理(这可以看作经典物理的 时空里面空间维数必须是奇数的一个
证据),你在其它一些书(或者说以后)可以看到,差不多二阶双曲 方程里面只有波动方
程有这样的性质-- 但是别忘了,高维波动方程的推导里面是有近似的,这说明什么? 一
阶偏微分方程似乎是安排在常微的 最后教的,常微的最后教不教我课不知道,有些东
西还是很有趣的,象Cauchy-Kowalesk aya定理,Ekeland拿来证明微观经济模型的合理
性,然后说他看不出有存在C^infty推 理的可能--数学经济是怎么回事, 可见一斑.你
来看看
能说社会活动中的数据都是按

t解析的吗???!!! 学这门课的那个学期在忙着各种各
会
样考试(比如T,G等等), 故此没能够看太多的参考书.北大的课本可能相对更注重一
员
些解的渐进估计等等,而复旦对于显式解讲得更多些.


2.谷超豪, 李大潜,陈恕行,谭永基(?),郑宋穆的数学物理方程人民教育?高等教育?)
的题材,难度,例题, 习题等等和1.非常接近。这本曾出过一本官方的习题解答,那是
80年代初,油印本.能不能搞到就看 各位本事了。那本解答对于做作业是很有帮助的.
比较容易找到的书里面,

3.陈恕行,秦铁虎的数学物理方程-- 方法导引是本非常好的讲习题的书。里面的习题
如果能够全部做一遍的话,应付考试是绰绰有余了.

8.O.A. Ladyzhenskaya的和5.一
样,都很经典.当然你要说 它们陈旧我也没话可说。既然这课叫数学物理方程,多少和
物理沾点边吧, 在这个方向上我以为

9.李大潜,秦铁虎的物理学与偏微分方程高教)还是很不错的.该书的起点并不高,应该比较容易看. 据说该书的责编极为负责, 认真到连里面的公式都一个个去推导的

21

地步. 从课程设置的角度上说,其实有一些深度介于
本科课程和研究生的那门偏微基础课之间的书(包括不少经典)都可以在这段时间里
面看看的. 比如

, F. John, M. Scheter, artial Differential Equations。Bers是个很有趣的人,
可以看看

, ed.的今日数学里的文章.附带说一句,这本书是最
好的数学普及读物之一,绝对值得一 看,中译本的质量也不错.

12.F. John的artial Differential Equations。

13.J. Rauch的artial Differential Equations

14.M. Taylor的artial Differential Equations I
后面这本看前半就可以,后半也看当然更好:-))。引G. Lebeau的一句话,这书比

15.L. Hormander的要好念多了.
(当然基本上人人都是这么认为的,只不过这位的来头比较大而已-- 法国科学院通讯
院士)。我拓扑学得很差(从总体上说),因此这里我也说不出太多东西.
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发表于 2005-9-1 02:02 | 只看该作者
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（十）“拓扑”的 参考书

会
员
1.李元熹,张国(木梁)的拓扑学的前两章还是不错的.至少该讲的东西都讲了,而且后

面罗列(我想不出还有什么更好的形容词)了许多习题,做上一遍是很有趣的一项工作.
中文的参考书里面好象

2.熊金城的点集拓扑讲义是比较好的.该书也有些名气. 不过要好好学,可能还是看

22

下面的两本比较经典的书:

3.J.L. Ke lley的名头很响,55年出版的时候应该算得上是
把这一领域里面的结果做了个很好的总结.该书是 想写成课本的，因此每章后面都有
习题,按A,B,C,D,...编号.只是....真要做起来未免 有些困难.听说过这样一个故事,就是
曾有位华裔数学家回国讲学的时候于酒席间说他的老师要他去学拓 扑,指明看Kelley
的书,而且要习题全做.结果大家都笑了,因为大家都明白这目标不是很现实. 我个人
的经验是,在那个学期陷入各类考试的重围中之前,还做了前面两三章的题目.是比较
困 难,但是做起来也非常有趣. 再补充一本中文的书,内容和1.差不多

4.尤承业的基础拓扑学是北大的教材.

, 的中译本
基础?)几何学 与拓扑学讲义,干丹岩译)是极好的教材,应该可以用深入浅出来形容吧!
第一作者Singer就是和 Atiyah一起证指标定理的那位,说是重量级人物当无疑义. 如
果你只想查结果,我觉得可以去找

ing的七十年代末写的,内容翔实。这里属于代数拓扑的
起始部分,参考书一下子 就比前面的多多了.讲代数拓扑的书,可能

erg的属于写得很通俗易懂,配置合理的那一
类. 还有象GTM里面的

的也是写得很好的书.

拓扑学是在十九世纪末兴起，并在二十世纪中蓬勃发展的 数学分支，现在已与近世
代数，近世分析共同成为当代数学理论的三大支柱。如果先要对该学科有一个感 性
的认识的话，建议看《拓扑学奇趣》巴尔佳斯基 叶弗来莫维契 合著。这本书只有
不到两百页，可是覆盖的面很广，也有一定数量的有启发性的题目。
< br>ong的《基础拓扑学》也是一本不错的书。该书中的讨论范围有很多是
基于Hausdorff 空间，有些是甚至是在度量空间里讨论问题的，所以一些定理的证明
就变的比较简单易懂，例如Urys ohn引理。

Spanier„s
it is a classic in this field, though it is not easy to read.

23

Aleksandrov„s
But it is too large, it contains 3 volumes.

Bredon„s
great book.
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发表于 2005-9-1 02:03 | 只看该作者
(十一)“微分几何”的参考书

几何是非常美妙的,通常人们提到几何的时候会把直观两个字加上去. 这其实是很
有道理的,在微分几何中也不例外. 具体的说,就是虽然微分几何往往会使人感觉
被淹没在计算的汪洋大海,但是有一个几何的感觉是很有帮助的.

1.苏步青,胡和生等 微分几何写得不错.这很大程度上应当感谢本书的主要作者,
来
看
看
也就是书上列的第三作者沈纯理先生. 应当承认这本书,特别是第三章, 取材受下
书的影响：

Carmo(多卡模)曲线和曲面的微分几何学
会
and Surfaces是本绝对的好书,胡先生他们把这本书翻译出来实在是功德无量。1.
员
的第三章里有个习题是从2.的中译本上搬过来的,不过有题意不清之嫌.做的时候

要小心。还有一点要注意的是1.里面曲面论基本定理的证明中有个地方漏印了两
项.

一般说来,看上面两本书也就够了,可以考虑的扩充部分包括在2.的末尾所开列的
参考书目.这是我很少见到的带书评的书目.

art的

x的。古典微分几何的开山之做
是


24

的。这是拉丁文的(Gauss
只有晚年最后的一些东西是用德文写的)

wski的
curvas„ 里有完全的英文翻译和里面的结果到20世纪70年代末的发展情况. 对于
中文的课本,其实总数就不是太多.有象

7.吴大任的微分几何学(?)或五十年代翻译苏联的课本等等, 内容都差不多,而且
微分几何的特点是各人都喜欢用自己的一套符号, 许多符号,象曲率等等,常会有
正负号的差异,所以建议认定一两本,其它简单翻翻即可. 所以说想找讲解详细的
书还不如看

8.沈纯理,黄宣国的微分几何经济科学出版社 ,97)。虽然说这本书是自学考试的
教材.那里的习题也是有较详细解答的. 更难一些的习题可以在

9.姜国英,黄宣国的微分几何100例。里面的题目全部做下来的话,应付期末考试
绝对是没有问题的. 而且,如果老师有心考点难题的话,说不定就会有里面的题目.
此外还有两本苏联人的书

10. A.S. Mishenko, A.T. Fomenko 微分几何与拓扑学教程中译本,第一册,第二
册).我没有看到过是否有第三册,反正 这书是没有翻全.其处理方法别具一格.

极小曲面甚至可以不引进流形等概念,出现的最难 的工具有时就是单复变的一些
结果.参考书大概首推

an的篇幅不大,但内容丰富. 其它还有

e的ol.1) 里面关于Plate au问题讲
得很全,可惜至今我没见到第二册,而原来的德文版又看不懂(上面写的是英译
本) :-(

注意到微分几何有许多东西并不象大家想象的那样古老,比如Fray-Miln or定理,那
还好好活着呢?再比如说等温参数,几乎必引的文献就是陈省身先生55年
的文章 . 看原始文献可以让人逐步体会一样东西在它刚刚出现的时候是个什么样
子, 这和经过无数再处理后写进课本的讲法往往是不一样的. 补充一本《微分几
何》 苏步青 原著 姜国英 改写

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发表于 2005-9-1 02:04 | 只看该作者
（十二）“流形”的参考书

y
Geometry从某种技术性的观点来说这书可能太罗嗦, 讲到流形上的向量场就用
了10 0多页的篇幅,但我觉得初学看这书还是很好的,毕竟讲得相当详细,几乎所以
的东西都是有详细证明的 . 讲到流形总是有两种引进方法,一是从一开始就讲一个
局部和欧氏空间中的开集同胚的Haussd orf空间....然后再讲微分结构等等. 中文
书里面有

2.陈省身,陈维 桓的微分几何初步很有大师风范,只是印刷质量不算太好.另外被
来
看
认为写得比较好 的中文书有

3.白正国,沈一兵,水乃翔,郭效英 黎曼几何初步。这书的特点-- 要说就在于没有特
看
点,那实在是太过分点了--我认为还是在于很细致,既然不用象Bo othby那样在拓扑
会
流形上花时间,进入正题可以说比较快,而且有不少习题,书末更有一 个索引,实在是
员
本好书. 有胃口的话,还可以看看

4.B.A. Dubrovin, A.T. Fomenko, S.P. Novikov
Applications的第一,二卷(GTM 94, 103,世界图书新印过).该书的作者都 是名家,除
了对于这门课就事论事来说可能难了点外应该说不出有什么不好.至少可以看看
第二 卷的第一章. 二是从欧氏空间中的子流形开始讲.这样的好处应该说是可以马
上看到很多例子,另外毕 竟大多数情况下流形只有放在仿射空间或者射影空间里
面才有点意思(至少在开始阶段是这样),从这一 角度出发写的微分几何课本中有一
本

, Hulin, Lafontain 是
Springer-Verlag Universitext中的一本,应该说写得很好, 评价(我听到的)也很不错.
用这种观点(其实用前一种观点也一样,多元函数的反函数定理,隐函数定理都是要
明白的. 曾经写过两本很有意思的书,里面的讲解都是非常精彩的,


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Topology from a differential point of view (中译本:从微分观点看拓扑)

Morse Theory (中译本:莫尔斯理论)讲到微分形式,自然可以讲流形上的
积分,以及Stokes公式等等.这里有

中文名字就叫流形上的微积分

有一点,就是大家千万不要只会用Sto kes公式,真给你一个流形上的体积元去积一
下反而不会,这千万要不得.作为练习,不妨试试复射影 空间CP^n上的Fubini-Study
形式积出来是多少?

里关于微分流形,微分
形式等等的介绍也很简单明了. 还可以一看的书有

mhan 中译本:实流形和复流
形上的分析,科学,1986)陆柱家翻译这书是花了功夫的 ,连印刷错误都一一纠正.我
想至少前一百页是可以看的.

11.苏竞存 流形的拓扑学此书块头很大,内容翔实,而且有很多作者加的话, 有
意思. 有本书,可能不入高手法眼,不过我觉得是很不错的,

12.C. von Westenholz 有两个中译本,书
名都是数学物理中的微分形式,理图里面至少有一个版本) 这是写给念物理的人
看的,因此只有条条框框,很多定理都没有证明.但是好处在于:条理是清楚的,例 子
是丰富的(虽然很多例子没有展开,但是至少开始阶段该有的基本上都有了),而且
这书里还 能给人一个大概的概念,这些东西学了都可以干什么用(主要是写了一些
在理论物理中的应用).对于到 考试前还有点不知所云的人(比如说我那时候),应该
说帮助不小. 至于侯伯元,侯伯宇的那本物理学家用微分几何可能是太深了点,
非物理学家不能理解.



27