六年级下册奥数试题-几何直线形面积-燕尾定理.(含答案)人教版
shuipingzuo-三尖两刃刀
1.
2.
理解燕尾定理，灵活运用定理解题．
用份数思想求面积之间的关系．
本讲是在秋季所学四大模型的基础上， 讲解运用燕尾定理求解面积问题． 至此五大模型已讲解完毕．
体
会五大模型解决问题的优势．
燕尾定理：
S
S
△
ABG
: S
△
AGC
S
△
BGE
:S
△
EGC
BE:EC
BGC
S
△
AGF
:S
△
FGC
AF:FC
；
S
BGA
:
△
△
；
S
△
AGC
:S
△
BCG
S
△
ADG
:
S
△
DGB
AD:DB
；
问：为什么称之为燕尾定理？
答：我们看看燕子的尾巴然后再看看右图的阴影部
分，
看看阴影部分是不是很像燕子的尾巴，
A
是尾巴与身体的连接
点，
AG
是燕子尾巴的中分线，左右两个阴影三角形构成燕子
尾巴的两侧翼
.
同学们也可以自己动手，试试以三角形的另外两个顶点作为尾巴与身体的连接点能
不能画
出燕子的尾巴
燕尾定理因为图形类似燕尾而得名，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三
角形之中，为
三角形
中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径
通过一道例题证明一下燕尾定理：
五年级 第四讲
提高班
｜
1
举例 ： 如右 图 ，
D
是
BC
上 任 意 一 点 ，请 你 说 明
S
1
:S
4
S
2
:S
3
BD:DC
A
分析】 三 角形
BED
与三角形
CED
同高，分别以
BD
、
DC
为底， 所
以有
S
1
:S
4
BD:DC
；三角形
ABE
与三角形
EBD
同高，
S
1
: S
2
ED : EA
三角形
ACE
与三角形
CED
同高，
S
4
:
S
3
ED : EA，所
以
S
1
:S
4
S
2
:S
3
；综上可得
S
1
:S
4
S
2
:S
3
BD:DC.
用燕尾定理求面积
【例
1
】
如图，已知 BD DC ， EC 2 AE ，三角形 ABC 的面积是
30
，求阴影部分面积
分析】 题
中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初
步判断这道题不应该通过面积公式求面积
.
又因为阴影部分是一个不规则四边形，
所以我们需要
对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，
（
法一
）
连接 CF ，因为 BD DC ， EC 2AE ，三角形 ABC 的面积是
30
，
所以
S
△
ABE
3
S
△
ABC
S
S
10
，
S
△
ABD
△
ABD
2
S
△
ABC
BD
15
．
1
CD
△
ABC
△
ABF
△
CBF
△
ABC
S
S
根据燕尾定
理，
AE
EC
1
，
2
△
ABF
△
ACF
所以
S
△
ABF
S
△
ABC
7.5
S
△
BFD
4
，
15
7.5 7.5
，
所以阴影部分面积是 30 10 7.5 12.5 ．
（
法二
）
连接 DE ，由题目条件可得到
S
△
ABE
S
△
ABC
10
，
△
ABE
3
△
ABC
1
S
△
BDE
S
△
ABC
10
S
△
BEC
BEC
1
2 2 3
1 1 1 1 1
1
S
2
，所以
AF
FD
1
S
S
△
ABE
△
BDE
1
1
S
△
DEF
S
2
△
DEA
S
2 3 2 3
△
ADC
S
2
△
ABC
2.5
而
S
△
CDE
2 1
S
△
ABC
10
．所以阴影部分的面积为 12.5．
32
铺垫］
右图的大三角形被分成
5
个小三角形，其中
4
个的面积已经标在图中，那 么，
阴影三角形的面积是 ．
2
｜五年级
第四讲
提高班
｜
五年级 第四讲
提高班
3
分析】 方
法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任
｜
何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解
们发现右图三角形中存在一个比例关系：
2:S
阴影
1 3
:4
，解得
S
阴影
2.
.
我
方法二：回顾下燕尾定理，有
2
（
: S
阴影
4
）
1:3
，解得
S
阴影
2.
例
2
】 如右图，三角形
ABC
中，
BD :DC
4:9
，
CE:EA 4:3
，求
AF:FB.
分析】 燕
子尾巴非常明显
.
例
3
】 如图在
△
ABC 中，
EA FB 1
,
,
GHI
DC
EC FA 2
△
ABC
的面积
DB
求
△的面积
的值
求
分析】
连接
BG,
设
S
△
BGC
1
份，根据燕尾定理
S:S
△
AGC
△
BGC
AF
:FB
2:1
,
S
△
ABG
:
S
△
AGC
因此
BD :DC
2:1
,
S
△
AGC
得
2
S
S
（
份
）
，
S
△
ABG
4（
份
）,
则
S
△
ABC
7（
份
）
，
所以
S
△
AGC
S
△
ABC
2
2
,
同理连接
7
S
△
ABH
AI
、
CH
得
S
△
ABC
△
BIC
△
ABC
S
△
GHI
S
△
ABC
72 22
拓展］ 如右图，三角形
ABC
中，
AF:FB
BD:DC
ABC
的面积．
CE:AE
3 :
2
，且三角形
GHI
的面积是
1
，求三角形
根据燕尾定
理，
S
S
3
△
ABO
△
ACO
BD 4
DC 9
S
S
△
ABO
△
CBO
AE
EC
，
，
4
所以
S
△
ACO
S
△
BCO
4 4 27
9 3 16
所以 AF :FB 27:16
.
4
｜五年级 第四讲
提高班
｜
A A
分析］ 连接
BG
，
S
△
BGC
4
份
根据燕尾定理，
S
△
AGC
:S
△
BGC
AF:FB
3:2
，
S
△
ABG
: S
△
AGC
BD:DC 3:2
得
S
△
AGC
6(
份
)
，
S
△
ABG
9(
份
)
，则
S
△
ABC
19
(
份
)
，因此
S
△
AGC
S
6
△
ABC
19
同理连接
AI
CH
、
得
S
△
ABH
S
△
ABC
6
,
S
△
BIC
S
△
ABC
6
19
,
19
19 6 6 6
1
19 19
三角形
GHI
的面积是
1
，所以三角形
ABC
的面积是
19
所以
S
△
GHI
S
△
ABC
例
4
】 如图，三角形
ABC
被分成
6
个三角形，己知其中
4
个三角形的面积，
问三角形
ABC
的面积是多少
?
分析】 设
S
△
AOE
x
，
S
△
BOF
y
，根据燕尾定理
,
得
S:S
△
ABO
△
ACO
S
△
BDO
: S
△
CDO
S
△
ABO
:
S
△
BOC
S
△
AOE
:
S
△
COE
3(84 y) 4(x
35)
35(84 y) 70x
x 70 y
56
(84
y):(x 35) 4:3
(84 y):(40 30) x:35
，即
，解得
所以三角形
ABC
的面积是 84
40
30 35 56 70 315
例
5
】 三角形
ABC
的面积为
15
平方厘米，
D
为
AB
中点，
E
为
AC
中点，
F
为
BC
中点，求阴影部分的
面积．
分析】 令
BE
与
CD
的交点为
M
，
CD
与
EF
的交点为
N
，连接
AM
，
BN
．
在
△
ABC 中，根据燕尾定理，
S
△
ABM
:
S
△
BCM
AE :CE 1:1
,
S
△
ACM
:
S
△
BCM
AD :BD
1:1
5
｜五年级 第四讲
提高班
｜
所以
S
△
ABM
S
△
ACM
S
1
△
BCN
S
△
ABC
3
，所以
由于
S
△
AEM
11
S
S
△
AMC
S
△
ABM
2
△
AMC
2
△
ABM
BM
:S
:ME
2:1
BF :CF 1:1
△
CEN
S:S
在
△
EBC
根据燕尾定
理，
中，
设
S
△
BEN
△
CEN
△
CBN
ME :MB 1: 2
S
△
CEN
1（
份
）
， 则
S
△
BEN
12
（
份
）
，
S
△
BCN
（
份
）
，
S
△
BCE
4（
份
）
，
S
1 1
,
S
所以
S
△
BCN
△
BCE
△
ABC
,
S
1
△
BNE
24
S
△
BMN
2
S
△
4
1
BCE
BCE
1
S
△
ABC
，
S
△
ABC
8
,
因为 BM :ME 2:1
,F
为
BC
中点
11
△
BFN
S
S
所以
所以
S
阴影
2
1
S
△
ABC
S
△
ABC
△
BNC
S
△
BNE
3 8 12 22
15
5
S
△
ABC
S
△
ABC
3.125 （
平方厘
1 15
△
ABC
△
ABC
米
）
12
8
△
ABC
24
24
△
ABC
S
3
1 S
△
ABC
4 8
1
例
6
】 如右图，
△
ABC中，
G是AC的中点， D 、 E 、 F是BC边上的四等分点， AD与BG交于 M，
AF 与
BG 交于 N ，已知
△
ABM 的面积比四边形 FCGN 的面积大
7.2平方厘米，则
△
ABC 的面 积
是多少平方厘米？
连
1
S
接CM 、CN．
分析】
根据燕尾定理，
S
△
ABM
:
S
△
CBM
AG GC
:1:1
，
S
△
ABM
:
S
△
ACM
BD
CD
:1:3
，所以
；
S
△
ABM
5
△
ABC
；
△
ABM
△
ABC
AGGC
4 2 2
FCGN
4 3
7
:1:1
，所以
S: S
再根据燕尾定
△
ABN
△
CBN
理，
AN:NF 4:3 ， 那么
S
△
ANG
1
S
△
ABN
，所以
S
:
S
△
FBN
S
△
CBN
1 S
:S
1
△
FBN
4:3
，所以
5
S
△
AFC
5
2
FCGN
7
△
AFC
△
AFC
5
7 4
S
△
ABC
△
ABC
S
△
ABC
△
ABC
28
△
ABC
根据题意，有
1
S
△
ABC
S
S
5
28
△
ABC
7.2
，可得
S
△
ABC
336 （
平方厘米
）
拓展］ 如 右图，三角形
ABC
的面积是
1
，
BD DE EC
，
CF FG
GA
，三角形
ABC
被分成
9
部分，请写出这
9
部分的面积各是多少
?
6
｜五年级 第四讲
提高班
｜
分析］ 设
BG
与
AD
交于点
P
，
BG
与
AE
交于点
Q
，
BF
与
AD
交于点
M
，
BF
与
AE
交于点
N
．连接
CP
，
CQ
，
CM
，
CN
．
根据燕尾定理，
S
△
ABP
:S
△
CBP
AG:GC 1: 2
，
S
△
ABP
: S
△
ACP
BD:CD 1:2
，设
S
△
ABP
1（
份
）
，
则
S
△
ABC
1 2
2 5（
份
）
，所以
S
△
ABP
5
2
S
△
ABG
1
1 2 1
,
,
而
，所以
S
△
APQ
2 1
3
，
同理可得，
，
S
S
△
ABQ
7
S
△
ABN
2 3 7 5
35
△
AQG
3 7 21
同理，
S
1 ,
所以
△
3
S
四边形
PQMN
1 2
BPM
35
S
△
BDM
21
1
5
S
3
9 ,
, S
1
1
5
1
,
, S
111
四边形
MNED
四边形
MNED
3
35 70
四边形
NFCE
42
四边形
NFCE
3
21 42
四边形
GFNQ
6
四边形
GFNQ
3 21 6 42
已知四边形
ABCD
，
CHFG
为正方形，
S
甲
:S
乙
1:8
，
a
与
b
是两个正方形的边长，求
a:b
分析】 观
察图形，感觉阴影部分像蝴蝶定理，但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走，注意到题
目
条件中给出了两个正方形的边长，有边长就可以利用比例，再发现在连接辅助线后可以利用燕
尾，那
么我们就用燕尾定理来求解
连接
EO
、
AF
，
根据燕尾定理：
S
:
△
AOE
:
S
△
AOF
a
:
b
，
S
△
AOF
:
S
△
EOF
ab
所以
S
△
AOE
:S
△
EOF
a
2
:b
2
，作
OM
⊥
AE
、
ON
⊥
EF
，
五年级 第四讲
提高班
｜
7
∵
AE EF
22
∴
OM
:ON a
2
:b
2
∴
S
甲
:S
乙
a
3
:b
3
1:8
∴
a:b 1:2
求面积方法的综合运用
例
8
】
如图，在平行四边形 ABCD 中， BE
EC，
CF 2FD
．求阴影面积与空白面积的比．
分析】
方法一：因为 BE EC， CF 2FD
，所以
S
△
ABE
S
四边形
ABCD
4
，
S
△
ADF
S
四边形
ABCD
6
．
因为 AD
2BE ，所以 AG 2GE，
所以
S
△
BGE
1
S
S
△
ABE
1
S
1
S
S
，
S
四边形
ABCD
，
2
△
ABG
S
1
S
S
△
ABE
S
四边形
ABCD
3
同理可得，
因为
，
．
S
四边形
ABCD
S
△
DHF
，
12
1
36
△
ADH
S
四边形
ABCD
．
S
△
BCD
1
2
S
四边形
ABCD
，所以空白部分的面积
(
1
2
1 2
)S
，
12 24
1
3
四边形
所以阴影部分的面积是
S
四边形
ABCD
．
12
12
: 1:2
，所以阴影面积与空白面积的比是
33
83
四边形
ABCD
S
四边形
ABCD
，
1:2．
方法二：连接
CG
、
CH
、
AC,
AC
交
BD
于
O
，有 AO
OC
在
△
ABC 中，
根据燕尾定理可以得到
S
△
ABG
: S
△
ACG
所以
BE :CE
1:1
,
S
△
ABG
:
S
△
CBG
S
S,
YABCD
Y
AO
:
OC
1:1 ,
S
△
BCG
S
△
ACG
S
△
ABC
Y
3
6
△
△
S
Y ABCD
,
所以
S
△
BGE
△
AGO
12
S
同理在
△
ACD 中，
根据燕尾定理可以得到
S
△
AHC
所以
1
S
△
ACD
2
△
1
4
4
8
△△
Y ABCD
, S
1
△
DCH
,
1 1
,
S
△
ACD
S
Y ABCD
,
S
△
AHO
2
S
△
AHC
,
1
S
Y ABCD
,
S
△
DFH
8
YABCD
△
DFH
3
△
DCH
S
△
DCH
S
24
YABCD
Y ABCD
8
｜五年级 第四讲
提高班
｜
1
1 1 1
所以
S
阴影
S
△
BEG
S
△
AGO
S
△
AHO
S
△
DHF
( )S
Y ABCD
12 12 8
24
YABCD
S
Y
3
Y
所以阴影面积与空白面积的比
1
:
2
1:2
33
例
9
】 如图，在一个梯形内有两个面积分别为
10
与
12
的三角形，已知梯形的上底长是下底长的
2
，那
3
分析】 设上底为
2a,
则下底为
3a,
梯形的高为
2 10
2a
2 12
18
3a
a
梯形的面积为
1 18 (2a 3a) 45,
2a
所以阴影部分面积为 45 10 12 23
1.
如图所示，在
△
ABC
BE: EC 3:1 ， D 是 AE的中点，那么 AF :FC
中，
分析】 连接 CD．
由于
S
△
ABD
:
S
△
BED
1:1
，
S
△
BED
:
S
△
BCD
3: 4
，所以
S
△
ABD
:
S
△
BCD
3: 4
，
根据燕尾定理，
AF
:FC
S
△
ABD
:S
△
BCD
3:
4
．
2.
三角形 ABC 中， C是直角，已知
2 ，
2 ，CB 3 ，AM BM ，那么三角形 AMN
(
阴
AC
影部分
)
的面积为多
CD
少？
分析］
连 接 BN ．
△
ABC 的面积为 3 2 2 3
五年级 第四讲
提高班
9
｜
根据燕尾定理，
△
ACN :
△
ABN CD:BD 2:1 ；
同理
△
CBN :
△
CAN BM :AM 1:1
设
△
AMN 面积为
1
份，则
△
MNB的面积也是
1
份，所以
△
ANB的面积是
1 1 2份，而
△
ACN 的面
积就是 2 2
4份，
△
CBN也是
4
份，这样
△
ABC的面积为 4
4 1 1 10份，所以
△
AMN 的面积为 3 10
1 0.3．
3.
A
三角形
ABC
的面积是
1
平方厘米，且
BE 2EC
，
F
是
CD
的中点．那么阴影部分的面积是 平方厘
米．
分析】
连接
BF
，根据燕尾定理
S
△
ACF
:
S
△
ABF
CE:BE 1: 2,
又因为
F
是
CD
的中点，所以
S
△
ACF
S
△
ADF
， 所以
S
△
ADF
S
△
BDF
即
D
是
AB
的中点，设
S
△
ECF
,
1（
份
）
，则
S
△
BEF
2（
份
）, S
△
BDF
3（
份
）,
S
阴影
5（
份
）
，
S
△
ABC
2 （1 2 3） 12（
份
）
，
所以
S
阴影
5
S
△
ABC
5
（
平方厘米
）
12 12
4.
如图，线段
AB
与
BC
垂直，已知
AD=EC=4
，
DB=BE=6
，那么图中阴影部分面积是多少？
分析】 这 个图是个对称图形，且各边长度已经给出，我们不妨连接这个图形的对称轴看看
.
作辅助线
BO
，
则图形关于
BO
对称，
设△
ADO
的面积为
2
份，则△
DBO
的面积为
3
份，直角三角形
ABE
的面积为
8
份
.
因为
S
△
ABE
6 10 2
30
，而阴影部分的面积为
4
份， 所以阴影部分的面积为 30 8 4 15
11
5.
如图，
△
ABC中
AE
么
△
AED 的面积是
AB
，AD
44
AC
， ED与BC平行，
△
EOD的面积是
1
平方厘米． 那
平方厘米．
10
｜五年级 第四讲
提高班
｜
五年级 第四讲
提高班
11
分析】
因为
AE
11
AB
，
AD
44
AC
， ED与BC平行，
所以 ED:BC 1:4
,
EO:OC 1:4，
S
△
EOB
4S
△
EOD
4
， 则
S
△
CDE
4 1 5
，又因
为
S
△
AED
:
S
△
CDE
AD :DC 1:3
所以
S
△
AED
5
1 5
（
平方厘米
）
．
33
｜
A
富乌鸦
许多追踪这个富有者的乌鸦立
刻
成群飞来。它们全都落下来，一声不响，一动不动。那只嘴里叼着东西的乌
鸦已
经很累了，很吃力地喘息着，不是吗，它不可能一下子就把这一大块东西吞
下去
呀。它也不能飞下去，在地上从容不迫地把这块东西啄碎，乌鸦们会猛扑过
去，
于是就要开始一场通常所说的混战了。 它只好停在那儿， 保卫嘴巴里的那块东
西。
也许是因为嘴里叼着东西呼吸困难， 也许是因为先前被大家追赶得精疲力
竭
只见它摇晃了一下，突然失落了叼着的那块东西。所有的乌鸦都猛扑上
去，
在这场混战中，一只非常机灵的乌鸦抢到了那块东西，立刻展翅飞去。头一
只被
迫赶得精疲力竭的乌鸦也在跟着飞，但已明显地落在大家后面
了。
结果是第二只乌鸦也像第一只一样，精疲力竭地落到一棵树上，最终也
失落
了那块东西。于是又是一场混战，所有的乌鸦又去追赶那个幸
运儿
请看，富有的乌鸦的处境多么可怕，而这只是因为，它只为了它自
己。
如果只想到自己的利益，而忽略了集体，不懂得互相合作、互相爱护，
最终
就会落到富乌鸦那样可怕的处境，从而危及自己的利益。所以我们每个人做
事情
的时候，都应该多为别人着想。这是我们在成长的过程中应该培养的品
质。
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｜五年级 第四讲
提高班
｜