球的体积和表面积公式具体推导过程
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1.. 球的体积和表面积（1）
设球的半径为R,将半径OAn等分，过这
些分点作平面把半球切割成n层，每一层都
A
B
是近似于圆柱形状的“小圆片”，这些“小圆
片”的体积之和就是半球的体积
由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积
也近似于圆柱的体积。它的高就
是“小圆片”
的厚度
R
，底面就是“小圆片”的下底面。
n
由勾股定理可得第i层（由下向上数）“小
圆片”的下底面半径:
r
R
2
[
R
(i 1)]
2
，(i
二 1,2,3，•••，n)
n
i
第i层“小圆片”的体积为:
…『•
2
R
」
1
n n
i 1
--
n
，(i = 1,2,3，•••， n)
半球的体积：V半径=V
i
+□+••• + Vn
R
3
1
2
2
2
-
—{1
n
+(
1
-
飞
)+
n
(
1
-
-
n
r )+•••+[
1
—
R
3
「
2
1 2
2
??? (n 1)-
2
2
2
2
??? n
2
丄门
5
= [n-
-
](注：
1
6
n n
=卫[n -
-?
(n 1)n(2n
°
=
R
3
(
1
(n 1)(
^
n 1)
)
n n 6 6n
=
R
3
1)(2n
1)
)
(1 —
1
)(2
n
6
-)
d
1
1
①
当所分的层数不断增加，也就是说，当
n不断变大时，①式越来越接近于半球的 体
积，如果n无限变大，就能由①式推出半径的体积。
1
n
2
V
半径
=
R
，所以，半径为R的球的体积为：
3
3
i
n
4
3
事实上，n增大，—就越来越小，当n无限大时，-趋向于0,这时，有
V=
R
3
1.. 球的体积和表面积（2）
球的表面积推导方法（设球的半径为R,利用球的体积公式推导类似方法）
（1）分割。把球O的表面分成n个“小球面片”
，
设它们的表面积分别是
S，S
2
,……
Sn,那么球的表面积为：S= S +
S
2
+……+ Sn
把球心O和每一个“小球面片”的顶点连接起来，整个球体被分成 n个以“小球
面
片”为底，球心为顶点的“小锥体”。例如，球心与第i个“小球面片”顶点相连后
就得
到一个以点O为顶点，以第i个“小球面片”为底面的“小锥体”。这样“小锥体”
的底
面是球面的一部分，底面是“曲”的。如果每一个“小球面片”都非常小，那么
“小锥体”的底面几乎是“平”的，（好象地球一样），这时，每一个“小锥体”就近
似于棱锥，它们的高近似于球的半径 F。
(2)
求近似和。设n个“小锥体”的体积分别为 V
i
, V
2
，…，Vn
那么球的体积为：V=
V
+匕+…+ Vn
由于“小锥体”近似于棱锥，所以我们用相应棱锥的体积作为“小锥体”体积的
近
似值。第i个“小锥体”对应的棱锥以点 0为顶点，以点0与第i个“小球面片”
顶点
的连线为棱。设它的高为 h
i
，底面面积为S
i
，于是，它的体积为：
1
V'
i
=
h
i
S '
i
， (i = 1,2,…，n)
3
1
这样就有：V〜
丄
h
i
S '
i
，(i = 1,2,…，n)
3
1
V~ — (
h
1
S '
1
+ h
2
S '
2
+ …+ h
n
S '
n
)
3
①
(3)
的表面积。分割得越细密，也就是每一个“小球面片”越小，
体”
就越接近于棱锥，如果分割无限加细，每一个“小球面片”都无限变小，那么
1
转化为球
“小锥
h
i
(i
二1,2,…，n)就趋向于R, S'
i
就趋向于S
i
，于是，由①可得：V= - RS
3
又
V=
4
R
* 3
，所以，有
4
R
3
= - RS
3 3 3
即: S= 4
n
R
2