2007年广东省高二数学排列组合专题
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2007年广东省高二数学排列组合专题
知识要点：
1．排列组合题的求解策略
（1）排除：对有限条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件
的所有情况排
除，这是解决排列组合题的常用策略．
（2）分类与分步
有些问题的
处理可分成若干类，用加法原理，要注意每两类的交集为空集，所有
各类的并集是全集；有些问题的处理
分成几个步骤，把各个步骤的方法数相乘，即得
总的方法数，这是乘法原理．
（3）对称思想：两类情形出现的机会均等，可用总数取半得每种情形的方法数．
（4）插空
：某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法．即先安
排好没有限制条件的元素，然后将有
限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间．
（5）捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“
大元素”，然后与其它“普
通元素”全排列，然后再“松绑”，将这些特殊元素在这些位置上全排列．
（6）隔板模型：对于将不可辨的球装入可辨的盒子中，求装的方法数，常用隔
板模型．如将1
2个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个缝隙中任意插入
3
3块隔板，把球分成4
堆，分别装入4个不同的盒子中的方法数应为
C
11
，这也就是
方程
abcd12
的正整数解的个数．
2．圆排列
（1）由
A{a
1
,a
2
,a
3
,,a
n
}
的
n
个元素中，每次取出
r
个元素排在一个圆环
上，叫做一个圆排列（
或叫环状排列）．
（2）圆排列有三个特点：（i）无头无尾；（ii）按照同一方向转换后仍是同一
排
列；（iii）两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同，
才是
不同的圆排列．
（3）定理：在
A{a
1
,a
2
,a<
br>3
,,a
n
}
的
n
个元素中，每次取出
r
个不同的元素
P
n
r
进行圆排列，圆排列数为．
r
3．可重排列
允许元素重复出现的排列，叫做有重复的排列．
在
m
个不同的元素中，每次取出
n
个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序
那么第一、第二、…、第
n
位是的选取元素的方法都是
m
种，所以从
m
个不同的元
素中，每次取出
n
个元素的可重复的排列数为
m．
4．不尽相异元素的全排列
n
如果
n
个元
素中，有
p
1
个元素相同，又有
p
2
个元素相同，…，又有
p
s
个元素相
同（
p
1
p
2
p
s
n
），这
n
个元素全部取的排列叫做不尽相异的
n
个元素的
全排列，它的排列数是
5．可重组合
（1）从
n
个元素，每次取出
p
个元素，允许所取的元素重复出现
1,2,,p
次的
组合叫从
n
个元素取出
p
个有重复的组合．
（2）定理：
从
n
个元素每次取出
p
个元素有重复的组合数为：
H
n训练题：
1、
从5双不同号码的鞋子中任取4只，求这4只鞋子至少有2只可配成一双的可能
有多少种？
2、（06江苏卷）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）。
3、一个楼梯共10级台阶，每步走1级或2级，8步走完，一共有多少种走法？
4、（2004年安春，理9）直角坐标系xOy平面上，平行直线x=n(n=0,1,2
,…5)与平行
直线y=n(n=0,1,2,…5)组成的图形中，矩形有（ ）。
A.25个 B.36个 C.100个 D.225个
5、
把10个相同的球放入三个不同的盒子中，使得每个盒子中的球数不少于2，则不
同的放法有
A、81种 B、15种 C、10种 D、4种 6、12辆警卫车护送三位高级领导人，这三位领导人分别坐在其中的三辆车中，要求
在开行后12
辆车一字排开，车距相同，车的颜色相同，每辆车内的警卫的工作能力
是一样的，三位领导人所坐的车不
能相邻，且不能在首尾位置。则共（ ）种安排
出行的办法
A、A
9
×A
10
B、A
9
×A
8
C、A
8
D、C
8
7、4410共有 个不同的正约数。
939333
n!
p
1
!p
2
!
p
s
!
pr
C
n(p1)
8、（04湖南）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角
形，其中直角三角形的
个数为（ ）个
（Ａ）56 （B）52
（C）48 （D）40
9、在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个面的中心及正方
体的中心共27个点中，
不共线的三点组的个数是
A、2898
B、2877 C、2876 D、2872
10、有两个同
心圆，在外圆上有相异的6个点，内圆上有相异的3个点，由这9个点
所确定的直线最少可有
A、15条 B、21条 C、36条 D、3条
11、已知两个实数集A={a
1
，a
2
，…，a
60
}与B={b
1
，b
2
，…b
25
}，若从
A到B的映射f
使得B中每个元素都有原象，且f（a
1
）≥f（a
2
）≥…≥f（a
60
），则这样的映射共有
A、C
60
B、C
12．（06全国卷I）设集合
I
1,2,3,4,5
。选择I的两个非空子集A和B，要使B
中最小的数大于A中最大的数，则不同的选
择方法共有
A．
50种
B．
49种
C．
48种
D．
47种
13．（06
山东卷）已知集合
A
=｛5｝,
B
=｛1,2｝,
C
=｛1
,3,4｝，从这三个集合中各取一
个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为
(A)33 (B) 34 (C) 35
(D)36
14、有4种颜色给如图所示的六个区域涂色，要求有公共边的区域不同色，共有多少
种涂法？
24
59
C、C
25
60
D、C
25
59
①
③
②
④
⑤
⑥
15、从1，2，…100这100个数中，任取两个数，使其和
能被4整除的取法(不计顺
序)有多少？
16、四人各写出一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四
张贺卡的
不同分配方式有（ ）种。
A.6 B.9 C.11 D.32
17、20个相同的球分给3个人，允许有人可以不取，但必须分完，有多少种分法？
18、有１０个三好学生名额，分配给高三年纪６个班，每班至少一个名额。有多
少种
不同的分配方案？
19、如图，从5×6方格中的顶点A到顶点B的最短线路
有多少条？
20、中、日围棋队各出7名队员，按事先安排好的次序出场进行围棋
擂台赛，双方先
由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方的2号队员比赛，……，直到有一方队员全部被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程，现在中方只动用了5名队员，
就击败了日方的
所有队员，问这样的比赛过程有多少种？