iphone4s壁纸-我为你走过

中国网络大学

CHINESE NETWORK UNIVERSITY


本科毕业设计(论文)



一类分数阶微分方程解的存在性






院系名称： 网络学院
专 业：




学生姓名： 小明
学 号： 123456789
指导老师： 李教授


中国网络大学教务处制
2018年3月20日

1

一类分数阶微分方程解的存在性

一类分数阶微分方程解的存在性

引言
就历史背景而言，分数阶的微分方程与整数阶的微分方程在发展时间上大致相同.
分数 阶微分方程追溯到16世纪末，那时整数阶微积分还处于发展阶段，数学家们在书
信来往时，彼此探讨过 分数阶微分方程的相关问题.但由于当时理论基础的限制问题，
有关的问题并未有人给出真正的解答.在 之后的两个世纪中，经过许多数学家们的努力，
终于做出了几种主要的分数阶微分方程的定义.但是在理 论形成的初期，由于还没有得
到物理、力学等方面理论的支持，所以发展得非常缓慢.这种窘况一直持续 到20世纪
80年代初，有些数学家发现大自然中和诸多的科学技术中存在着许许多多的分数维的
事实.由于分形几何和分形动力的研究要以此为基础，因此分数阶微分方程理论和应用
等方面的研究才 得以有迅速发展的情况.
近几十年来，分数阶微分方程更多的被用来描述光学和热学方面，控 制技术和机器
人及其他应用领域中的问题，特别是从实际问题中抽象出来的一类分数阶微分方程解的存在性更是成为很多国内外数学工作者的研究的热点方面.
本文对一类分数阶微分方程的 初、边值问题讨论解的存在性的方法进行分类、整理、
比较，分析归纳使用不同方法证明方程解的存在性 ，并给出在对应的方法下一类分数阶
微分方程边值问题至少存在一个解的几个充分条件.
利用分数阶导数所得到的微分方程不但十分简洁，而且利用它所得到的结果更接近
实际情况，对解决一些 实际模型中出现的问题提供了很大的帮助，在研究实际问题中起
到的作用是非常巨大的.

1预备知识
定义1.1（Schauder不动点定理）
[1]

设
U
是Banach空间
X
的有界的闭子集，若
T:UU
为连续映射，则
T
中存在不动
点，也就是说满足
Txx
的点是存在 的.
2

一类分数阶微分方程解的存在性
定义1.2（Lipschitz条件）
设
X, d
为距离空间，
T
是从
X
到
X
的映射，若存在一 个常数
q0
，使得对任
意的
x,yX
,
d(Tx,Ty)qd(x,y)

那么就称
T
是满足Lipsc hitz条件，
q
是
T
的Lipschitz常数.特别的，若
q 1
，那么
T
叫
做压缩映射.
定义1.3（Banach压缩映像原理）
设
X,d
为距离空间，T:XX
为压缩映射，那么
T
在
X
中恰有一个不动点.设这个不动点为
x
，那么对于任何的初始点x
0
X，进行逐次迭代后，< br>x
n1
Tx
n
,n1,2
收敛于
x
，且关于收敛速度有下面的估计式：
d(x
n
,x)q
n(1q)
1
d(Tx
0
,x
0
)

其中
q
是
T
的Lipschitz常数.
定义1.4（
AscoliArzela
引理）
[2]

集合
AC[a,b]
列紧的充分必要条件是
A
为一致有界的等度连续集.
定义1.5
[6]
函数
f:(0,)R
的
a0
阶的Riemann- Liouville积分是指
(ts)

1
I
0
< br>f(t)

f(s)ds
，
0
(

)

t
其中
()
是
gamna
函数.
定义1.6 函数
f:(0,)
的
a0
阶的Riemann- Liouville微分是指
1d
n
t
1
D
0

f(t)()

f(s)ds
，

n1
0
(n

)dt(ts)

其中
()
是< br>gamna
函数，
n[a]1
，(其中
[a]
表示小于< br>a
的最大的整数).
定义1.7 如果
a0
,
uC(0,1)L(0,1)
则分数阶微分方程
D
a
u(t) 0
，
存在唯一解为
u(t)c
1
t

1c
2
t

2
c
N
t

N
（其中
N
为大于或等于
a
的最小整数）.那么可知如果
3

一类分数阶微分方程解的存在性
uC(0,1)L(0,1)
，
a0
,

D
a
u(t)C(0,1)L(0,1)
,则

 1
I

c
2
t

2
cN
t

N
,c
i
R,i1,2,N
，
0+
D
0+
u

t

u< br>
t

c
1
t
其中
N
为大于或等 于
a
的最小整数.
应用定义1.6得出下面的引理 若
gC(0,1)
，且
1a2
，分数阶微分方程

D
a
u(t)g(t),

（
0t1
）
< br>
'


u(0)u(1)0,
的解可表示成
u (t)

G(t,s)u(s)ds
，其中
G(t,s)
表示上述 分数阶边值问题的
Green
函数
0
1

(ts)
1
t

1
(1s)

2
0 st1,

(

)

(

1 )
，


G(t,s)


1
2
t(1s)

，0ts1.

(
< br>1)

证明 由定义1.7及定义1.4可知
t
u(t)c< br>1
t

1
c
2
t

2
c
N
t

N
(

)

(ts)

1
u(s)ds

0
因为
N
是大于或等于
a
的最小整数，所以
N2
.
那么 a
aa1
u(t)c
1
tI
0
u(t)
，
u
'
(t)c
1
D
1
I
0
u(t)cIu(t)
.

10


由
u (0)0,u
'
(1)0
，
所以

1
1
c
2
0,c
1
(1s)
a2
u(s)ds，

(a1)
0
1
t
a1
1
1
a2
(1s)u(s)ds(1s)
a1
u(s)ds

故
u(t)

(a1)
0
(a)
0< br>t1t
t
a1
t
a1
1
a2a2a1(1s)u(s)ds(1s)u(s)ds(ts)u(s)ds

0t0
(a1)(a1)(a)
1
(ts)
a1
t< br>a1
(1s)
a2
t
a1


[ ]u(s)ds(1s)
a2
u(s)ds


0
(a)(a1)(a1)
t
t



G(t,s)u(s)ds
.

0
1
推广
[10]
若对边值问题
4

一类分数阶微分方程解的存在性

D
a
x(t)u(s)0,0t 1,

a(n1,n),




x(0)x'(0)x''(0)x
(n2)
0,


m2

x(1)

x(

).
ii

i1

0

1


2
...

m2
1,

i
 R
.
存在唯一解
x(t)

G(t,s)u(s)ds
，
其中
0
1
G(t,s)G
1
(t,s)G
2
(t,s),


1
a1
[(t(1s))()], 0st1,

(a)


G
1
(t,s) 


1
[(t(1s))
a1
],0ts1,


(a)
G
2
(t,s)
m2
i 1
A1
a1
[(t(1s))
a1
][


i
(t(

i
s))]
，
(1A)( a)(1A)(a)
s

i
a1
（其中
A


且
A1
）.

ii
注：为了使符号简化 ，本文把非整数阶
a
阶导数
0
D
t
a
y(t)简写成
D
a
y(t)
.


2 一类分数阶微分方程解的存在性
在证明常微分方程解的存在唯一性定理中，我们将常微分方程 转化为等价积分形
式，再构造皮卡迭代序列证明方程解的存在唯一性定理.由此联想到应用类似方法证明
一类分数阶微分方程解的存在性.

2.1 化微分方程为等价积分方程证明一般形式的分数阶微分方程解的存在唯一性定理
考虑如下形式的微分方程：
D
a
y(t)f(t,y)

（1）
[D
k
y(t)]
t0
b
k
,k1,2,3 n

（2）

其中，
f(t, y)
的定义域为平面
(t,y)
上的一个子区域
G
，且存在
G
上的子区域
R(h,K)
满
足：
5

一类分数阶微分方程解的存在性


0t h,t
1

1
t

i


1< br>yt()

b
i
K
（3）
(

i
)
i1
n
又知
f (t,y)
为
G
上的连续实值函数，且在
G
上关于
y
满足Lipschitz条件，即


f(t,y< br>1
)f(t,y
2
)Ay
1
y
2
（4）
Mh

n


1
1
从而
f(t,y)M
，对任意
(t,y)G
且
K
，那么，方 程
(1)(2)
在区域
(1

n
)
R(h, K)
有唯一的连续解.
证明 第一步 化微分方程为等价的积分方程
对方程（1 ）按
D
n

n
,D

n1
 D

1
进行逐次分部积分可得：

t
b
i

i
1
1

n
1
y(t)

t(t

)f(

,f(

,y(

)))d

. （5）

0
 (

n
)
i1
(

i
)
第二 步 证明上述等价积分方程解的存在性；
构造函数序列
y
0
(t),y1
(t),y
2
(t)
，

)
（6）
y
m
(t)R(h,K
，

n
1
t
b
i

i
1< br>1
tt(

)f

(y
m
,
 1

(

)
.
)d
（7）
y
m
(t)



0

< br>(
i
)
i1
(

i
)
n
首先，我们可以证明对任意的
0th
及任意的
m
有
y
m
(t)R(h,K)
.
t
1

1
t

i


1
t
1

1
ty
m
(t)

b
i
(t

)< br>
n
1
f(

,y
m
(

))d



(

i
)(

n
)
0
i1
n
Mt

n


1
1
Mh

n


1
1
K
，
（8）
 (1

n
)(1

n
)
进一步，根据数学归 纳法，对任意的
m
有下式成立：
MA
m1
t
m

n
. （9）
|y
m
(t)y
m1
(t)|
(1m< br>
n
)
在（9）式中令
m1
可得：
Mt

n

|y
1
(t)y
0
(t)|
. （10）
(1

n
)
6

一类分数阶微分方程解的存在性
假设当
mk
时，（9）式成立，也即下式成立:
MA
k1
t
k

n
. （11）
|y
k1
(t)y
k
(t)|
(1k

n
)
那么，当
mk1
时有：
t
A

n
|y
k1
(t)y
k
(t)|(t< br>
)|y
k
(

)y
k1
(

)|d


0
(

n
)
tMA
k
1

n1
k

n
(t< br>
)

d


(1k

n)(

n
)

0

MA
k
D


n
t
k

n

(1 k

n
)
(1k

n
)t
k

n


n
MA
k


(1 k

n
)(1k

n


n
)
MA
k
t
(k1)

n

，
（12）
(1(k1)

n
)
从而由数学归纳法可 知，对任意的
m
，（9）式成立.

MA
m1
t
m

n

进而，由

的收敛性可知，函数序列
{y
m
(t)}
收敛.
(1m

)
n

可令
y(t)limy
m
(t)
，易证明
y(t)
是等价积分方程（5）的解，也就是原微分方程（1）
m
的解.
第三步 证明上述等价积分方程解的唯一性：
假设
Y(t)
也是等价积分方程（5） 的解，那么令
z(t)y(t)Y(t)
，则有：
t
1
z(t )(t

)

n
1
f(

,z(< br>
))d

，
（13）

(

n
)
0
因为
z(t)
是连续的 ，则存在一常数
B
，使得对任意的
0th,
有
z
t

B
.
利用（13）式有：
ABt

n
z(t),(0th)

（14）
(1

n
)
把该过程重复
j
次得：
7