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考研数学二（常微分方程）-试卷3
(总分：60.00，做题时间：90分钟)
一、 选择题(总题数：4，分数：8.00)
1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）
_ __________________________________________________ _______________________________________
解析：
2.微分方程y +x的特解形式为( )．
（分数：2.00）
+bx+c
e +bx+c
+bx +cx
+bx+c √
解析：解析：y的特征方程为λ -4=0，特征值为λ
1
=-2，λ
2
=2． y 的特解形式
为y=axe ， y的特解形式为y
2
=bx+C，故原方程特解形式为axe +bx+c，选(D)．
3.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y
1
=e ，y
2
=2xe ，y
3
=3e ，则该微分方程为 ( )．
（分数：2.00）
A.y√
B.y
C.y
D.y
解析：解析：由y
1
=e ，y
2
=2xe ，y
3
=3e 为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值
为λ
1
=λ
2
=1，λ
3
=-1，其特征方程为(λ-1) (λ+1)=0，即λ -λ -λ+1=0，所求的微分方程
为y，选(A)．
4.设φ
1
(x)，φ
2
(x)为一阶非齐次线性微分方程y的两个线性无关的特解，则该方程的通
解为( )．
（分数：2.00）
A.C[φ
1
(x)+φ
2
(x)]
B.C[φ
1
(x)-φ
2
(x)]
C.C[φ
1
(x)-φ
2
(x)]+φ
2
(x) √
D.[φ
1
(x)-φ
2
(x)]+Cφ
2
(x)
解析：解析：因为φ
1
(x)，φ
2
(x)为方程y的两个线性无关解，所以φ
1
(x)-φ
2
(x)
为方程y的一个解，于是方程y的通解为C[φ
1
(x)-φ
2
(x)]+φ
2
(x)，选(C)．
232
x- x-x
xx-x
2x2x
22x
2x
2x2
22x
2x
2x
二、 填空题(总题数：9，分数：18.00)
满足初始条件y(0)=1，y的解为 1
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：±x）
解析：解析：令y，则
得y
，解得In(1+p )=lny +lnC
1
，则1+p =C
1
y ，由y(0)=1，y

2222
2
+C
2
=±x，由y(0)=1得C
2
=0，所以特解为
6.微分方程y的通解为 1
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：C
1
cosx+C
2
sin2x+x-2．）
解析：解析：微分方程两个特征值为λ =-2i，λ =2i， 则微分方程的通解为y=C cosx+C sin2x+x-2．
1

2

1

2

7.设y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线y=2x+1，又y=y(x)满足微分方程y ，则
y(x)= 1
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：由题意得y(0)=0，y， y 的特征方程为λ -6λ+9=0，特征值为λ
1

=λ
2
=3， 令y 的特解为y
0
(x)=ax e ，代人得a=
+ 由y(0)=0，y得C
1
=0，C
2
=2，则y(x)=2xe +
2
3x
3x23x
3x2
3x
故通解为y=(C
1
+C
2
x)e

3x
8.微分方程2y 满足初始条件y(-2)=1，y的特解为 1
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：令y，则y，解得p =y +C
1
，由y(-2)=1，y，得C
1
=0，所以y

23
，再由y(-2)=1，得C
2
=0，所求特解为=
9.微分方程xy
（分数：2.00）
的通解为 1
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：ln｜x｜+C）
解析：解析：由xy
程的通解为 2
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：-12x -34x-19，C
1
e +C
2
e +x2+3x+2）
解析：解析：显然λ=-4是特征方程λ +λ+q=0的解，故q=-12， 即特征方程为λ +λ-12=0，特征
值为λ =-4，λ =3． 因为x +3x+2为特征方程y的一个特解， 所以Q(x)=2+2x+3-12(x
1

2

2
2
22
2-4x2

-4x2
10.设二阶常系数非齐次线性微分方程y有特解y=3e +x +3x+2，则Q(x)= 1，该微分方
+3x+2)=-12x -34x-19， 且通解为y=C
1
e +C
2
e +x2+3x+2(其中C
1
，C
2
为任意常数)．
-2xx
2-4x2
11.以y=C
1
e +C
2
e +cosx为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为 1
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：-sinx-3cosx，y．）
解析：解析：特征值为λ =-2，λ =1，特征方程为λ +λ-2=0， 设所求的微分方程为y，
1

2

把y=cosx代入原方程，得 Q(x)=-sinx-3cosx，所求微分方程为y．
12.设y 的特解形式为Axe ，则其通解为 1
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y=C
1
e +C
2
e +xe ）
解析：解析：因为方程有特解Axe ，所以-1为特征值，即(-1) -3×(-1)+a=0
方程为λ -3λ-4=0
-x
2
-x2
-x4x-x
-x-x
2
a=-4， 所以特征
-x4x
λ
1
=-1，λ
2
=4，齐次方程y的通解为 y=C
1
e +C
2
e ，
-x4x-x
再把Axe 代入原方程 得A=1，原方程的通解为y=C
1
e +C
2
e +xe
13.设f(x)可导，且
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：e ）
解析：解析：由 整理得f(x)+
-x
-x
[f(x)+xf(xt)]dt=1，则f(x)= 1
f(u)du=1，两边对x求导得 f，解得f(x)=Ce ，
-x
因为f(0)=1，所以C=1，故f(x)=e

三、 解答题(总题数：17，分数：34.00)
14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）
______ __________________________________________________ __________________________________
解析：
15.求满足初始条件y =0，y(0)=1，y的特解．
（分数：2.00）
__________________________________________________ ________________________________________
正确答案：(正确答案：令y，则y
再由y(0)=1得C
2
=1，所以y=arctanx+1．)
解析：
16.求微分方程yy 满足初始条件y(0)=y的特解．
（分数：2.00）
_______________ __________________________________________________ _________________________
正确答案：(正确答案：令y，则y
由y(0)=y得C
1
=1，于是
方程的特解为y=e ．)
解析：
17.求微分方程y的通解．
（分数：2.00）
________________________________ __________________________________________________ ________
正确答案：(正确答案：特征方程为λ -λ-6=0，特征值为λ
1
=-2，λ
2
=3，则原方程的通解为y=C
1

e +C
2
e )
解析：
18.求微分方程y的通解．
（分数：2.00）
________________________________ __________________________________________________ ________
正确答案：(正确答案：特征方程为λ +4λ+4=0，特征值为λ
1
=λ
2
=-2，则原方程的通解为y=(C
1
+C
2
2
-2x3x
2
x
2
2
由y得C =1，于是y
1
，y=arctanx+C ，
2

=0．当p=0时，y=1为原方程的解；当p≠0时，由
-∫dx
-y=0，解得 y=C
2
e =C
2
e ，由y(0)-1得C
2
=1，所以原
x
x)e )
-2x
解析：
19.求微分方程y的通解．
（分数：2.00）
______________ __________________________________________________ __________________________
正确答案：(正确答案：特征方程为λ -λ+2=0，特征值为λ
1,2
=
解析：
20.设二阶常系数齐次线性微分方程以y
1
=e ，y
2
=2e -3e 为特解，求该微分方程．
（分数：2.00）
__________ __________________________________________________ ______________________________
正确答案：(正确答案：因为y
1
=e ，y
2
=2e -3e 为特解，所以e ，e 也是该微分方程的特
解，故其特征方程的特征值为λ
1
=-1，λ
2
=2，特征方程为(λ+1)(λ-2)=0即λ -λ-2=0，所求的微
分方程为y．)
解析：
21.求微分方程y 的通解．
（分数：2.00）
________________________________ __________________________________________________ ________
正确答案：(正确答案：特征方程为λ +2λ-3=0，特征值为λ
1
=1，λ
2
=-3，则y的通
2
x
22x-x2x2x-x
2x-x2x
2
则原方程的通解为y= )

解为y=C
1
e +C
2
e ．令原方程的特解为y
0
=x(ax+b)e ，代入原方程得a=
解为y=C
1
e +C
2
e +
解析：
22.求y =0满足初始条件y(0)=1，y的特解．
（分数：2.00）
x
x-3x
x-3xx
所以原方程的通
(2x +x)e ．)
2x
________________________________________ __________________________________________________
正确答案：(正确答案：原方程化为y ． 特征方程为λ -2λ=0，特征值为λ
1
=0，λ
2
=2，
y的通解为y=C
1
+C
2
e ． 设方程y 的特解为y
0
=Axe ，代入原方程得A=
原方程的通解为y=C
1
+C
2
e +
解析：
23.求微分方程y 的通解．
（分数：2.00）
________________________________ __________________________________________________ ________
正确答案：(正确答案：特征方程为λ +4λ+4=0，特征值为λ
1
=λ
2
=-2，原方程对应的齐次线性微
分方程的通解为y=(C
1
+C
2
x)e (1)当a≠-2时，因为a不是特征值，所以设原方程的特解为y
0
(x)=Ae
ax
-2x
2
ax
2x
2x2x2x
2x2
由y(0)=1，y得 故所求的特解为y= )
，代入原方程得A= ，则原方程的通解为y=(C
1
+C
2
x)e +
2-2x
-2x
(2)当a=-2时，因为a=-2
，则原方程的通解为 为二重特征值，所以设原方程的特解为y
0
(x)=Ax e ， 代入原方程得A=
y=(C
1
+C
2
x)e +
解析：
24.求微分方程y +3+cosx的通解．
（分数：2.00）
2
-2x
)
____________________________ __________________________________________________ ____________
正确答案：(正确答案：特征方程为λ +1=0，特征值为λ
1
=-i，λ
2
=i，方程y的通解为y=C
1

cosx+C
2
sinx． 对方程y +3，特解为y=x +1； 对方程y，特解为
方程的特解为x +1+
解析：
25.设单位质点在水平面内作直线运动，初速度v｜
t=0
=v
0
．已知阻力与速度成正比(比例系数为1)，问
t为多少时此质点的速度为
（分数：2.00）
________________________________ __________________________________________________ ________
正确答案：(正确答案：设t时刻质点运动的速度为v(t)，阻力F=ma=
v
0
e =
解析：
26.设f(x)在[0，+∞)上连 续，且f(0)＞0，设f(x)在[0，x]上的平均值等于f(0)与f(x)的几何平均数，
求f (x)．
（分数：2.00）
-t
2
22
2
xsinx，原
则原方程的通解为y=C
1
cosx+C
2
sinx+x +1+
2
)
?并求到此时刻该质点所经过的路程．
解此微分方程得v(t)=v e ．由
0

)
-t
得t=ln3，从开始到t=ln3的时间内质点所经过的路程为

_________________________________________________ _________________________________________
正确答案：(正确答案：根据题意得
解析：
27.设曲线L位于xOy平面的第一象 限内，L上任意一点M处的切线与y轴总相交，交点为A，已知｜MA｜=｜
OA｜，且L经过点
（分数：2.00）
___________________________________ __________________________________________________ _____
正确答案：(正确答案：设点M的坐标为(x，y)，则切线MA：Y-y=y． 令X=0，则Y=y-xy，故A点
的坐标为(0，y-xy． 由｜MA｜=｜OA｜，得｜y-xy ｜=
以C=3，再由曲线经过第一象限得曲线方程为
解析：
28.在上半平面上求一 条上凹曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的
倒数(Q为法线 与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与z轴平行．
（分数：2.00）
___ __________________________________________________ _____________________________________
正确答案：(正确答案：设所求曲线为y=y(x)，该曲线在点P(x，y)的法线方程为
该点到z轴法线段PO的长度为 由题意得
)
2
)
，求L的方程．
即2yy因为曲线经过点，所
)
令Y=0，得X=x+yy，
，由，即yy ． 令y，则y
y(1)=1，y得C
1
=1，所以y
解析：
29.一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正 比，比例系数为k＞0，设融化过程中形状不变，设半径为r
的雪堆融化3小时后体积为原来的 ，求全部融化需要的时间．
0
（分数：2.00）
______________ __________________________________________________ __________________________
正确答案：(正确答案：设t时刻雪堆的半径为r，则有
化．)
解析：
3 0.设f(x)在[0，1]上连续且满足f(0)=1，f．y-f(x)，=0，x=1，y=0围成的平面 区域
绕z轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求f(x)．
（分数：2.00）
_ __________________________________________________ _______________________________________
正确答案：(正确答案：由f得 f(x)=[a∫(x-1)e
得C=1，故f(x)=e -ax．
解析：

x
∫-1dx
，令r=0得t=6，即6小时雪堆可以全部融
dx+C]e
-∫-dx
=Ce -ax， 由f(0)=1
x
x
由V，所以当a=3时，旋转体的体积最小，故f(x)=e -3x．)