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《勾股定理》练习题及答案
测试1勾股定理(一)
学习要求
掌握 勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条
边长求出第三条边长．
课堂学习检测
一、填空题
1．如果直角三角形的两直角边长分别为
a、
b
，斜边长为
c
，那么______＝
c
；这一定理 在
我国被称为______．
2．△
ABC
中，∠
C
＝9 0°，
a
、
b
、
c
分别是∠
A
、∠
B
、∠
C
的对边．
(1)若
a
＝5，
b
＝12，则
c
＝______；
(2)若
c
＝41，
a
＝40，则
b
＝______；
(3)若∠
A
＝30°，
a
＝1，则
c
＝______，
b
＝______； (4)若∠
A
＝45°，
a
＝1，则
b
＝______ ，
c
＝______．
3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小 明沿图中所示的折线
从
A
→
B
→
C
所走的路程为_ _____．
4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．
5 ．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周
长为___ ___．
二、选择题
6．Rt△
ABC
中，斜边
BC
＝ 2，则
AB
2
＋
AC
2
＋
BC
2
的值为()．
(A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算
2
7．如图，△< br>ABC
中，
AB
＝
AC
＝10，
BD
是AC
边上的高线，
DC
＝2，则
BD
等于()．
(A)4 (B)6 (C)8 (D)
210

8．如图，Rt△
ABC
中，∠
C
＝90°，若
AB
＝15cm，则正方形
A DEC
和正方形
BCFG
的面积和为()．(A)150cm
2
三、解答题
9．在Rt△
ABC
中，∠
C
＝90°，∠< br>A
、∠
B
、∠
C
的对边分别为
a
、
b
、
c
．
(B)200cm
2
(C)225cm
2
(D)无法计算

(1)若
a
∶
b
＝3∶4，
c
＝75cm ，求
a
、
b
；(2)若
a
∶
c
＝15∶1 7，
b
＝24，求△
ABC
的面积；
(3)若
c
－
a
＝4，
b
＝16，求
a
、
c
；(4) 若∠
A
＝30°，
c
＝24，求
c
边上的高
hc
；
(5)若
a
、
b
、
c
为连续整 数，求
a
＋
b
＋
c
．
综合、运用、诊断
一、选择题
10．若直角三角形的三边长分别为2，4，
x
，则
x
的值可能有()．
(A)1个
二、填空题
11．如图，直线
l
经过正方形
ABCD
的顶点
B
，点
A
、
C
到直线
l
的距离分别是1、2，则正方
形的边长是______．
12．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，
3，水 平放置的4个正方形的面积是
S
1
，
S
2
，
S3
，
S
4
，则
S
1
＋
S
2< br>＋
S
3
＋
S
4
＝______．
三、解答题
13．如图，Rt△
ABC
中，∠
C
＝90° ，∠
A
＝30°，
BD
是∠
ABC
的平分线，
AD
＝20，求
BC
的
长．
拓展、探究、思考
14．如图，△
ABC
中，∠
C
＝90°．
(1)以直角 三角形的三边为边向形外作等边三角形，探究
S
1
＋
S
2
与
S
3
的关系；
图①
(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等 腰直角三角形，探究
S
1
＋
S
2
与
S
3< br>的关系；
(3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③)，探究
S
1
＋
S
2
与
S
3
的关系．
测试2勾股定理(二)
学习要求
掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．
课堂学习检测
一、填空题
1．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为______．
2 ．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，此时甲、乙两
人相距_ _____km．
(B)2个(C)3 (D)4个

3．如图，有一块长方 形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内
走出了一条“路”，他们仅仅少走了______ m路，却踩伤了花草．
4．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从
一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．
二、选择题
5．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折
断，
树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高()．
(A)5m (B)7m (C)8m (D)10m
6．如图，从台阶的下端点
B
到上端点
A
的直线距离为()．
(A)
122

三、解答题
7．在一棵树的10米高
B< br>处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处
的池塘的
A
处；另一只爬到树 顶
D
后直接跃到
A
处，距离以直线计算，
如果两只猴子所经过的距离 相等，则这棵树高多少米
8．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到< br>一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，求这里的水深
是多少米
综合、运用、诊断
一、填空题
9．如图，一电线杆
AB
的高为1 0米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长
AC
为______
米．
10．如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的
(B)
103
(C)
65
(D)
85

A
点 ，沿圆柱表面爬到与
A
相对的上底面
B
点，则蚂蚁爬的最短路线长约为___ ___(?取
3)
二、解答题：
11．长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角 ，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的
顶端沿墙面升高了______m．
12． 如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米若

楼 梯宽2米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元
9101112
拓展、探究、思考
13．如图，两个村庄
A
、
B
在河CD
的同侧，
A
、
B
两村到河的距离分别为
AC
＝1
千米，
BD
＝3千米，
CD
＝3千米．现要在河边
C D
上建造一水厂，向
A
、
B
两村送自来水．铺设水管的工程费用为每 千米20000元，请你在
CD
上选
择水厂位置
O
，使铺设水管的费 用最省，并求出铺设水管的总费用
W
．
测试3勾股定理(三)
学习要求
熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．
课堂学习检测
一、填空题
1．在△
ABC
中，若∠
A
＋∠
B< br>＝90°，
AC
＝5，
BC
＝3，则
AB
＝____ __，
AB
边上的高
CE
＝______．
2．在△
AB C
中，若
AB
＝
AC
＝20，
BC
＝24，则BC
边上的高
AD
＝______，
AC
边上的高
BE
＝______．
3．在△
ABC
中，若
AC
＝
BC
，∠
ACB
＝90°，
AB
＝10，则
AC
＝ ______，
AB
边上的高
CD
＝
______．
4． 在△
ABC
中，若
AB
＝
BC
＝
CA
＝< br>a
，则△
ABC
的面积为______．
5．在△
ABC< br>中，若∠
ACB
＝120°，
AC
＝
BC
，
AB
边上的高
CD
＝3，则
AC
＝______，
AB＝______，
BC
边上的高
AE
＝______．
二、选择题
6．已知直角三角形的周长为
26
，斜边为2，则该三角形的面积是()．
1
(A)
4
(B)
3

4
(C)
1

2
(D)1
7．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于()．
(A)
7

三、解答题
8．如图，在Rt△
ABC
中，∠
C
＝90° ，
D
、
E
分别为
BC
和
AC
的中点，AD
＝5，
BE
＝
210
求
(B)
7
或
41
(C)
42
(D)
42
或
7

AB
的长．
9．在数轴上画出表示
10
及
13
的点．
综合、运用、诊断

10．如图，△
ABC
中，∠
A
＝90°，
AC
＝20，
AB
＝10，延长
AB
到
D
，使
CD
＋
DB
＝
AC
＋
AB
，求
BD
的长．
11．如图，将矩形
ABCD
沿
EF
折叠，使点
D
与点
B
重合，已知
AB
＝3，< br>AD
＝9，
求
BE
的长．
12．如图，折叠矩形的一边AD
，使点
D
落在
BC
边的点
F
处，已知AB
＝8cm，
BC
＝10cm，求
EC
的长．
13 ．已知：如图，△
ABC
中，∠
C
＝90°，
D
为
AB
的中点，
E
、
F
分别在
AC
、
BC< br>上，且
DE
⊥
DF
．
求证：
AE
2
＋
BF
2
＝
EF
2
．
拓展、探究、思考 14．如图，已知△
ABC
中，∠
ABC
＝90°，
AB
＝
BC
，三角形的顶点在相互
平行的三条直线
l
1
，l
2
，
l
3
上，且
l
1
，
l
2
之间的距离为2，
l
2
，
l
3
之间的距 离为3，求
AC
的长是多少
15．如图，如果以正方形
ABCD
的 对角线
AC
为边作第二个正方形
ACEF
，
再以对角线
AE
为边作第三个正方形
AEGH
，如此下去，……已知
正方形
ABCD
的面积
S
1
为1，按上述方法所作的正方形的面积依次
为
S
2
，
S
3
，…，
S
n
(
n
为正整数)，那么第8个正方形的面积
S
8
＝______，
第
n
个正方形的面积
S
n
＝______．
测试4勾股定理的逆定理
学习要求
掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆
定 理的概念及它们之间的关系．
课堂学习检测
一、填空题
1．如果三角形的三边长
a
、
b
、
c
满足
a
2
＋
b
2
＝
c
2
，那么这个三角形是______三角形，我们把
这个定理叫做勾股定理的______．
2．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的 结论，而第一个命题的结论是第
二个命题的题设，那么这两个命题叫做____________；如果 把其中一个命题叫做原命题，
那么另一个命题叫做它的____________．
3．分别 以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有____________．(填序号)

< br>4．在△
ABC
中，
a
、
b
、
c
分 别是∠
A
、∠
B
、∠
C
的对边，
①若
a
2
＋
b
2
＞
c
2
，则∠
c
为____________；
②若
a
2
＋
b
2
＝
c
2
，则∠
c
为____________；
③若< br>a
2
＋
b
2
＜
c
2
，则∠
c
为____________．
5．若△
ABC
中，(
b
－
a
)(
b
＋
a
)＝
c
2
，则 ∠
B
＝____________；
6．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长 为1，则网格上的△
ABC
是______
三角形．
7．若一个三角形的三 边长分别为1、
a
、8(其中
a
为正整数)，则以
a
－2、
a
、
a
＋2为边的三角形的面积为______．
8．△
ABC
的两边
a
，
b
分别为5，12，另一边
c
为 奇数，且
a
＋
b
＋
c
是3的倍数，则
c
应 为
______，此三角形为______．
二、选择题
9．下列线段不能组成直角三角形的是()．
53
(A)
a
＝6，
b
＝8，
c
＝10(B)
a1,b2,c3
(C)< br>a,b1,c
44
(D)
a2,b3,c6

10．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是()．
(A)1∶1∶2 (B)1∶3∶4(C)9∶25∶26 (D)25∶144∶169
11．已知三角形的三边长为
n
、
n
＋1、
m
(其中m
2
＝2
n
＋1)，则此三角形()．
(A)一定是等边三角形(B)一定是等腰三角形(C)一定是直角三角形
确定
综合、运用、诊断
一、解答题
12．如图，在△
ABC
中，D
为
BC
边上的一点，已知
AB
＝13，
AD
＝12，
AC
＝
15，
BD
＝5，求
CD
的长．
13．已知：如图，四边形
ABCD
中，
AB
⊥
BC
，
AB
＝1，
BC
＝2，
CD
＝2，
AD
＝3，求四边形
ABCD
的面积．
14．已知：如图，在正方形
ABCD
中，
F
为
DC
的中点，
E
为
CB
的四等分点
1
且
CE
＝
CB
，求证：
AF
⊥
FE
．
4
(D)形状无法

15．在
B< br>港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙
船沿南偏东某个 角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到
M
岛，乙船到
P
岛，< br>两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗
拓展、探究、思考
16．已知 △
ABC
中，
a
2
＋
b
2
＋
c< br>2
＝10
a
＋24
b
＋26
c
－338，试 判定△
ABC
的形状，并说明你的理
由．
17．已知
a
、
b
、
c
是△
ABC
的三边，且
a
2
c
2
－
b
2
c
2
＝
a
4
－
b
4
，试判断三角形的形状．
18．观察下列各式：3
2＋4
2
＝5
2
，8
2
＋6
2
＝10< br>2
，15
2
＋8
2
＝17
2
，24
2
＋10
2
＝26
2
，…，你有没有发
现其中的规律请用含
n
的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．

参考答案
第十八章勾股定理
测试1勾股定理(一)
1．
a
2
＋
b
2
，勾股定理．2．(1)13；(2)9；(3 )2，
3
；(4)1，
2
．
3．
25
．4．5< br>2
，5．5．132cm．6．A．7．B．8．C．
9．(1)
a
＝45cm．
b
＝60cm；(2)540；(3)
a
＝30，
c< br>＝34；
(4)6
3
；(5)12．
10．B．11．
5.
12．4．13．
103.

14． (1)
S
1
＋
S
2
＝
S
3
；(2 )
S
1
＋
S
2
＝
S
3
；(3)< br>S
1
＋
S
2
＝
S
3
．
测试2勾股定理(二)
1．13或
119.
2．5．3．2．4．10．
5．C．6．A．7．15米．8．
9．
3
米．
2
103

10．25．11．
2322.
12．7米，420元．
3< br>13．10万元．提示：作
A
点关于
CD
的对称点
A
′，连结
A
′
B
，与
CD
交点为
O
．
测试3勾股定理(三)
1．
34,
15
3
2
a.

34;
2．16，．3．5
2
，5．4．
4
34
5．6，
63< br>，
33
．6．C．7．D
8．
213.
提示：设
B D
＝
DC
＝
m
，
CE
＝
EA
＝< br>k
，则
k
2
＋4
m
2
＝40，4
k
2
＋
m
2
＝25．
AB
＝
4m
2
4k
2
213.

9．
101
2
 3
2
,132
2
3
2
,
图略．
10 ．
BD
＝5．提示：设
BD
＝
x
，则
CD
＝30－
x
．在Rt△
ACD
中根据勾股定理列出(30－
x
)
2
＝(
x
＋10)
2
＋20
2
，解得
x
＝5．
11．
BE
＝5．提示：设
BE
＝x
，则
DE
＝
BE
＝
x
，
AE
＝
AD
－
DE
＝9－
x
．在Rt△
ABE
中，
AB
2
＋
AE
2
＝
BE
2
，∴3
2
＋(9－
x
)
2
＝
x
2
．解得
x
＝5．
12．
EC
＝3cm．提示：设
EC＝
x
，则
DE
＝
EF
＝8－
x
，AF
＝
AD
＝10，
BF
＝
AF
2
 AB
2
6
，
CF
＝4．在Rt
△
CEF
中(8－
x
)
2
＝
x
2
＋4
2
， 解得
x
＝3．

13．提示：延长
FD
到
M
使
DM
＝
DF
，连结
AM
，
EM
．
14．提示：过
A
，
C
分别作
l
3
的 垂线，垂足分别为
M
，
N
，则易得△
AMB
≌△
B NC
，则
AB34,AC217.

15．128，2
n
－1
．
测试4勾股定理的逆定理
1．直角，逆定理．2．互逆命题，逆命题．3．(1)(2)(3)．
4．①锐角；②直角；③钝角．5．90°．6．直角．
7．24．提示：7＜
a< br>＜9，∴
a
＝8．8．13，直角三角形．提示：7＜
c
＜17．
9．D．10．C．11．C．
12．
CD
＝9．13．
15.

14．提示：连结AE
，设正方形的边长为4
a
，计算得出
AF
，
EF< br>，
AE
的长，由
AF
2
＋
EF
2
＝
AE
2
得结论．
15．南偏东30°．
16．直角三角形．提示 ：原式变为(
a
－5)
2
＋(
b－
12)
2
＋(
c
－13)
2
＝0．
17．等腰三角形或直角三角形．提示 ：原式可变形为(
a
2
－
b
2
)(
a
2< br>＋
b
2
－
c
2
)＝0．
18．35
2
＋12
2
＝37
2
，[(
n
＋1)
2
－1]
2
＋[2(
n
＋1)]
2
＝[(
n
＋1)
2
＋1]
2
．(
n
≥1且
n
为整数)