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勾股定理
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·黔西南州中考)一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为
( )
A.5 B. C. D.5或
2.如图,有一块直角三角形纸板A BC,两直角边
AC=6cm,BC=8cm.现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜
边 AB上,且点C落到点E处,则CD等于( )
A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm
3.(2013·资阳中考)如图,点E在正方形ABCD内,满足
∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是( )
A.48 B.60
C.76 D.80
[来源:学科网ZXXK]

二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2013·莆田中考)如图是一株美丽的勾股树 ,其中所有
的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若
正方形A,B,C,D的面 积分别为2,5,1,2.则最大的正方形
E的面积是 .
5.如图,等腰△ABC 中,AB=AC,AD是底边上的高,若AB=5cm,BC=6cm,则AD=
cm.

[来源学科网ZXXK]

6.(2013·桂林中考)如图,在△A BC中,CA=CB,AD⊥BC,BE⊥AC,AB=5,AD=4,则
AE= .
[来源:学科网ZXXK]

三、解答题(共26分)
[来源:学§科§网Z§X§X§K]

7.(8分 )已知,如图,在△ABC中,∠C=90°,∠1=∠2,CD=15,BD=25,求AC的长.

8.(8分)在△ABC中,AB=15,AC=20,BC边上的高AD=12,试求BC边的长.
【拓展延伸】
9.(10分)有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为6m,8m. 现在要将绿
地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形,求扩充后等腰
三 角形绿地的周长.(图2,图3备用)

[来源:学&科&网Z&X&X&K]



答案解析
1.【解析】选D.(1)当两边均为直角边时,由勾股定理得,第三边长为5;( 2)当4为
斜边时,由勾股定理得,第三边长为,故选D.
2.【解析】选B.由题意可知, △ACD和△AED关于直线AD对称,因而△ACD≌△AED.
所以AE=AC=6cm,CD=E D,ED⊥AB,设CD=ED=xcm,则在Rt△ABC中,由勾股
定理可得AB
2
=AC
2
+BC
2
=6
2
+8
2
=10 0,得AB=10cm,
在Rt△BDE中,有x
2
+(10-6)
2=(8-x)
2
.
解得x=3.
【归纳整合】运用勾股定理解决折叠 问题,往往融方程与几何图形于一体,具有较
强的综合性.解决与折叠有关的问题时,要寻找出折叠前后 的不变量(即相等的线
段、相等的角),同时要注意方程思想的应用.
3.【解析】选C.∵∠AEB=90°,AE=6,BE=8,
∴在Rt△ABE中,AB
2
=AE
2
+BE
2
=100,
∴S
阴 影部分
=S
正方形ABCD
-S
△ABE
=AB
2
-×AE×BE=100-×6×8=76.
4.【解析】如图,根据勾股定理的几何意义,可得A, B的面积和为S
1
,C,D的面积和
为S
2
,S
1
+S
2
=S
3
,即S
3
=2+5+1+2=10.

答案:10
5.【解析】根据等腰三角形的三线合一可得:BD= BC=×6=3(cm),在直角三角
形ABD中,
由勾股定理得:AB
2
=BD
2
+AD
2
,
所以AD=
答案:4
6.【解析】在Rt△ADB中,根据勾股定理,得DB=
∵AD⊥BC,BE⊥AC,
∴∠ADB=∠BEA=90°,
∵CA=CB,∴∠EAB=∠DBA,
又∵AB=BA,
∴△ADB≌△BEA,∴AE=BD=3.
答案:3
7.【解析】过D作DE⊥AB,垂足为E,
==3.
==4(cm).

∵∠1=∠2,∴CD=DE=15,
在Rt△BDE中,BE=
=
∵CD=DE,AD=AD,
∴Rt△ACD≌Rt△AED,
∴AC=AE.
=20,

在Rt△ABC中,由勾股定理得 AB
2
=AC
2
+BC
2
,即(AC+20)
2
=AC
2
+(15+25)
2
,
解得AC=30. < br>8.【解析】三角形中某边上的高既可在三角形内部,又可在三角形外部,故此题应
分两种情况来 考虑.

(1)当BC边上的高AD在△ABC的内部时,如图1,由勾股定理,得
BD
2
=AB
2
-AD
2
=15
2
-12
2
=81,得
CD=16.则BC=BD+CD=25;
(2)当BC边上 的高AD在△ABC的外部时,如图2,由勾股定理可求得
CD=16,BD=9.这时BC=CD- BD=7.
综上所述BC边的长为25或7.
9.【解析】在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AC=8m,BC=6m,由勾股定理得AB=10m,
扩充部分为Rt△ACD,扩充成等腰 △ABD,应分以下三种情况:
①如图1,当AB=AD=10m时,
∵AC⊥BD,∴CD=CB=6m,
∴△ABD的周长=10+10+2×6=32(m).
②如图2,当AB=BD=10m时,
∵BC=6m,∴CD=10-6=4(m),
∴AD===4(m),
)m.
BD=9,CD
2
=AC
2
-AD
2
=20
2
-12
2
=256,得∴△ABD的周长=10+10+4=(20+4

③如图3,当AB为底时,设AD =BD=xm,
则CD=x-6(m),由勾股定理得:
AD===x,
解得,x=m.∴△ABD的周长为m.