秦始皇死前遗诏是让谁继承皇位-青藏线的风

名师总结 优秀知识点
等差数列的性质、求和知识点及训练

重点：掌握等差数列的通项公式、求和公式以及等差中项的求法
难点:对等差数列的综合考察
一
知识梳理
1.定义：
a
n
a
n1
d
（
d
为常数）（
n2
）；
2．等差数列通项公式：
*

a
n
a
1
(n1)ddna
1
d(nN)
， 首项:
a
1
，公差:d，末项:
a
n

推广：
a
n
a
m
(nm)d
． 从而
d
a
n
a
m
；
nm
3．等差中项
ab
或
2
（1）如果
a< br>，
A
，
b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项．即：
A
2Aab

（2）等差中 项：数列

a
n

是等差数列
2a
n
 a
n-1
a
n1
(n2)
2a
n1
a
n
a
n2

4．等差数列的前n项和公式：
s
n

n(a
1
a
n
)
n(n1)d1
na
1
dn
2
(a
1
d)n
2222< br>An
2
Bn

（其中A、B是常数） （当d≠0时，S
n
是关于n的二次式且常数项为0）
5．等差数列的判定方法

名师总结 优秀知识点

（1）定义法：若
an
a
n1
d
或
a
n1
a
n
d
(常数
nN
)



a
n

是等差数列．
（2）等差中项：数列

a
n

是等差数列
2a
n
a
n-1
a
n1
(n2)
2a
n1
a
n
a
n2
．
（3）数列

a
n

是等差数列

a
n
knb
（其中
k,b
是常数 ）。
2
（4）数列

a
n

是等差数列

S
n
AnBn
,（其中A、B是常数）。
6．等差数列的证明方法

定义法：若
a
n
a
n1
d
或
a
n1
a
n
d
(常 数
nN
)



a
n

是等差数列．
7.提醒：（1）等差数列的通项 公式及前
n
和公式中，涉及到5个元素：
a
1
、
d
、
n
、
a
n
及
S
n
，其中
a1
、
d
称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其
余2个，即知3求2。
（2）通常把题中条件转化成只含
a
1
和
d
的等式！
8.等差数列的性质：
（1）若公差
d0
，则为递增等差数列，若公差< br>d0
，则为递减等差数列，若公差
d0
，
则为常数列。
（2）当
mnpq
时,则有
a
m
a
n
a
p
a
q
，特别地，当
mn2p
时，则有
a< br>m
a
n
2a
p
.
(3) 若{
an
}是等差数列，则
S
n
,S
2n
S
n,S
3n
S
2n
，…也成等差数列 （公差为
md
）
S
3m

a< br>1
a
2
a
3


a
m
a
m1


a
2m
a
2m1


a
3m
图示：
 
S
m
S
2m
S
m
S
3m
S
2m

名师总结 优秀知识点
（4）若等差数列
{a
n
}
、
{b
n
}
的前
n
和分 别为
A
n
、
B
n
，且
A
n
f( n)
，
B
n
则
a
n
(2n1)a
n< br>A
2n1
f(2n1)
.
b
n
(2n 1)b
n
B
2n1
（5）若

a
n
< br>、

b
n

为等差数列，则

a
n
b
n

为等差数列
(6)求
S
n
的最值
法一：直接利用二次函数的对称性：由于等差 数列前
n
项和的图像是过原点的二次函数，
故
n
取离二次函数对称轴 最近的整数时，
S
n
取最大值（或最小值）。若
S
p
=
S
q
则其对称轴
为
n
pq

2
法二：①“首正”的递减等差数列中，前
n
项和的最大值是所有非负项之和
即当
a
1
0，d0，
由


an
0
可得
S
n
达到最大值时的
n
值． 
a
n1
0
②“首负”的递增等差数列中，前
n
项 和的最小值是所有非正项之和。
即 当
a
1
0，d0，
由< br>

a
n
0
可得
S
n
达到最小值 时的
n
值．

a
n1
0
或求
a
n

中正负分界项
（7）设数列

a
n< br>
是等差数列，
S
奇
是奇数项的和，
S
偶
是 偶数项的和，
S
n
是前n项的
和，则：
1.当项数为偶数
2n
时，
S
偶
S
奇

nd
，其中n为总 项数的一半，d为公差；
2、在等差数列

a
n

中，若 共有奇数项
2n1
项，则


S
奇
(n1 )a
n1
S
n1

S
2n1
S
奇
S
偶
(2n1)a
n1




奇



Sna
SSa
Sn
n1

偶
n1
奇偶

偶


注意： 解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

名师总结 优秀知识点
①基本量法：即运用条件转化为关于
a
1
和
d(q)
的方程；
②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．
【类型1】求等差数列通项
【例1】.等差数列
a
n
中，



【变式1】四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，求这四个数.




【例2】等差数列
a
n
中，
a3
a
8
a
13



【变式1】 等差数列

a
n

中，
a
5
10,a< br>15
25,
则
a
25
的值是 ．



a
5
10,
a
12
31
，求
a
1
,d,a
n
.
12
，
a3
a
8
a
13

24
，求通项公式
a
n
.

名师总结 优秀知识点
【变式2】
已知等差数列{



a
n
}中．
a
6
a
10
18

a
3
1
，则
a
13

． < br>a
1
a
3
a
5
105
，
a< br>2
a
4
a
6
99
，【变式3】 等差数列
a
n

中，则
a
20

．


【变式4】若等差数列

a
n

的前5项和
S
5
25
，且
a
2
3
，则
a
7

．


【例3】已知数列< br>{a
n
}
中，
a
1
=1，
a
n1



【变式1】已知数列{
a
n
}中，
a
1
=2,
a
2
=3，其前 n项和
S
n< br>满足
S
n1
S
n1
2S
n
1 (n
≥2，n∈N
*
)，则数列{
a
n
}的通项公式为 ( )
(n1)a
n
，则数列
{a
n
}
的通项公式为 ______
2n
A．
a
n
=n B．
a
n
=
n
2
C．
a
n
= n-l D．
a
n
=n+l



2
【例4】在数列

a
n

和数列

b
n

中，
S
n
为数 列

a
n

的前n项和，且满足
S
n
n 2n
，数

名师总结 优秀知识点
列

b
n

的前n项和
T
n
满足
3T
n
nb
n1
，且
b
1
1
（1）求数列

a
n

的通项公式
（2）求数列

b
n

的通项公式






【例5】
数列
a
n
中，
a
1
1,a
n1

5a
n
，求数列< br>
a
n

的通项公式；
a
n
5




【类型2】求等差数列前n项和
【例1已知
a
n

为等差数列，
S
n
为其前
n
项 和，
nN
*
，若
a
3
16,S
20
 20,
则
S
10
的值
为_______

名师总结 优秀知识点
2
【变式1】 如果
S
n
anbnc
是一个等差数列的前n项和，其中 a，b，c为常数，则c
的值为 ．



【例2】（10年全国文6） 等差数列

a
n

中，a
3
a
4
a
5
12
，那么
a< br>n
的前7项和
S
7

．



{b
n
}
都是公差为1的等差数列，【变式1】已知数列
{a
n
}
、其首项分别为
a
1
、
b
1，
且
a
1
b
1
5
，
a
1
,b
1
N
*
．设
c
n
a
b< br>n
（
nN
*
），则数列
{c
n
}
的前10项和等于
（ ）
A．55 B．70 C．85 D．100



【例3】

a
n
< br>通项公式为
a
n




1
，则
S
n

_______ ．
2
nn

名师总结 优秀知识点
【变式1】

a
n

通项公式为
a
n

1
则
S
n

．
n1n


a
n

通项公式为
a
n



1
nn1
，若其前n项和为10，则项数n为 ．
【例4】等差数列

a
n

中，
a
n
2 n49
，前n项和记为
S
n
，求
S
n
取最小值时 n的值.


【变式】差数列

a
n

中，
a
n
213n
，则
n
时
S
n
有最大值；

【类型3】等差数列性质的应用
【 例1】（1）等差数列

a
n

中，
S
m
30,S
2m
100,
求
S
3m
的值.

（2）等差数列

a
n

中，
S4
1,S
8
4
，求
a
17
a
1 8
a
19
a
20
的值.



【例2】（2009年辽宁理科14） 等差数列

a
n

中，
a
n
的前n项和 为
S
n
，如果
S
3
9,S
6
36，
则
a
7
a
8
a
9

．

名师总结 优秀知识点


【变式1】（2009年辽宁文） 等差数列

a
n

中，
a
n
的前n项和为
S
n
，
S
3
 6,S
6
24,
，
则
a
9

．


【变式2】已知等差数列

a
n

中，
a
1
a
2
a
3
12,a
4< br>a
5
a
6
18,
则
a
7
a
8
a
9

．

【变式3】已知数列

a
n

和

b
n

的 前n项和分别为
A
n
,B
n
，且
A
n
a< br>7n+1
,
求
11
的值.
b
11
B
n
4n27



【 例3】等差数列
{a
n
}
的前n项和记为
S
n
，若
a
2
a
6
a
10
为一个确定的常数，则下列
各数中一定是常数的是（ ）
C．
S
6
B．
S
11
C．
S
12
D．
S
13



【变式1】等差数列

a
n

中，
a
1
12,a
9
24,
则
S
9

（ ）

名师总结 优秀知识点
C． -36 B．48 C．54 D．72




【变式2】等差数列
{a
n< br>}
中，已知前15项的和
S
15
90
，则
a
8
等于（ ）
A．
4545
B．12 C． D．6
24


【变式3】在等差数列
{a
n
}
中，若
S
9
9,
则
a
4
a
6

．


【类型4】证明数列是等差数列

【例1】知数列

a
n

的前n项和为
S
n
n
2
+




1
n
，求通项公式
a
n
并判断是否为等差数列
2

名师总结 优秀知识点

n
【例
2
】在数列

a
n

中，
a
1
1,a
n1
2a
n
2
,
设
b
n< br>
a
n
,
证明

b
n

是 等差数列．

2
n1



【例3】
已 知数列

a
n

的前n项和为
S
n
，且满 足
a
n
2S
n
S
n1
0(n2)
，
a
1


1


是等差数列；求数列< br>
a
n

的通项公式。

S
n

1
，
2
求证：数列




【变式1】数列
a
n
中，
a
1
1,a
n1


1

5a
n
，判断

是否为等差数列.
a
n
5

a
n





【例4】数列

a
n

中，
a
n
4
41
，
b
n

；
a
n1
a
n
2
1） 求证

b
n

是等差数列；

名师总结 优秀知识点
2） 求

a
n

的通项公式.

【变式1】已知数列

a
n

满足
a
1< br>
4a
n1
1
5
，
a
n

n2


a2
2
n1
（1） 设b
n

1
，求证

b
n

为 等差数列；
a
n
1
（2） 求

a
n

通项；