关于亲情的诗-感恩诗歌朗诵稿

三角形的边与角
一、选择题
1. （2016·湖北咸宁）如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：
DE1
①
BC
=
2
； ②
S
△ DOE
S
△COB
1
AD
OE
=
2
； ③
AB
=
OB
； ④
S
△ODE
1
S
△ADE
=
3
.
其中正确的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个
（第1题）
【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质．
【分析】①DE是△ABC的中位线 ，根据三角形的中位线等于第三边长度的一半可判断；②
利用相似三角形面积的比等于相似比的平方可判 定；③利用相似三角形的性质可判断；④利
用相似三角面积的比等于相似比的平方可判定．
【解答】解：①∵DE是△ABC的中位线，
∴DE=
2
BC，即
BC
=
2
；
故①正确；
②∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC
∴△DOE∽△COB
1DE1
S
△DOE
∴
S
△COB
③∵DE∥BC
=（
BC
）
2
=(
2
）
2
=4
,
DE1
1
故②错误；
∴△ADE∽△ABC ∴
AB
=
BC

△DOE∽△COB ∴
OB
=
BC

∴
AB
=
OB
，
AD
OE
OE
DE
ADDE

故③正确；
④∵△ABC的中线BE与CD交于点O。
∴点O是△ABC的重心，
根据重心性质，BO=2OE，△ABC的高=3△BOC的高，
且△ABC与△BOC同底（BC）
∴S
△
ABC
=3S
△
BOC
，
由②和③知，
S
△
ODE< br>=
4
S
△
COB
，S
△
ADE
=< br>4
S
△
BOC
，
11
S
△ODE
1
∴
S
△ADE
=
3
.
故④正确.
综上，①③④正确.
故选C.
【点评】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形 的判定和性质．要熟知：三角形的中位
线平行于第三边并且等于第三边长度的一半；相似三角形面积的比 等于相似比的平方．
2.
（
2016
·四川广安·
3
分）下列说法：

①
三角形的三条高一定都在三角形内

②
有一个角是直角的四边形是矩形

③
有一组邻边相等的平行四边形是菱形

④
两边及一角对应相等的两个三角形全等

⑤
一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

其中正确的个数有（ ）

A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个

【考点】矩形的判定；三角形的角平分线、中线和高；全 等三角形的判定；平行四边形的判
定与性质；菱形的判定．

【分析】根据三角形高的 性质、矩形的判定方法、菱形的判定方法、全等三角形的判定方法、
平行四边形的判定方法即可解决问题 ．

【解答】解：
①
错误，理由：钝角三角形有两条高在三角形外．

②
错误，理由：有一个角是直角的四边形是矩形不一定是矩形，有三个角是直角 的四边形
是矩形．

③
正确，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．

④
错误，理由两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等．

⑤
错 误，理由：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形有可能是等
腰梯形．

正确的只有
③
，

故选
A
．

3. （2016·四川乐山·3分）如图
2
，
CE
是
A BC
的外角
ACD
的平分线，若
B35
，
ACE 60
，则
A

(A)
35

(C)
85

答案：C














(B)
95

(D)
75


解析：考查三角形的外角和定理，角平分线的性质。
依题意，得：∠ACD＝120°，又∠ ACD＝∠B＋∠A，所以，∠A＝120°－35°＝
85

4
．
AB
∥
CD
，

（2016山东省聊 城市，3分）如图，∠
B=68
°
，∠
E=20
°
，则∠< br>D
的度数为（ ）

A
．
28
°
B
．
38
°
C
．
48
°
D
．
88
°

【考点】平行线的性质．

【分析】 根据平行线的性质得到∠
1=
∠
B=68
°
，由三角形的外角的性质 即可得到结论．

【解答】解：如图，∵
AB
∥
CD
，

∴∠
1=
∠
B=68
°
，

∵∠
E=20
°
，

∴∠
D=
∠
1
﹣∠
E=48
°
，

故选
C
．

【点评】本题考查了平行线的 性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的
关键．

5.

（
2016
江苏淮安，
8
，
3
分）如图，在
Rt
△
ABC
中，∠
C=90
°
，以顶点
A为圆心，适当长
为半径画弧，分别交
AC
，
AB
于点
M
，
N
，再分别以点
M
，
N
为圆心，大于
M N
的长为半
径画弧，两弧交于点
P
，作射线
AP
交边
BC
于点
D
，若
CD=4
，
AB=15
，则△< br>ABD
的面积
是（ ）


A
．
15 B
．
30 C
．
45 D
．
60
【考点】角平分线的性质．

【分析】判断出
AP
是∠
BA C
的平分线，过点
D
作
DE
⊥
AB
于
E< br>，根据角平分线上的点到
角的两边距离相等可得
DE=CD
，然后根据三角形的 面积公式列式计算即可得解．

【解答】解：由题意得
AP
是∠
BA C
的平分线，过点
D
作
DE
⊥
AB
于
E< br>，

又∵∠
C=90
°
，

∴
DE=CD
，

∴△
ABD
的面积
=A B
•
DE=
×
15
×
4=30
．

故选
B
．


【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两 边距离相等的性质以及角平分线的画法，熟记
性质是解题的关键．

6.（2016·广东梅州）如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=55°，则∠1等于

A．55° B．45°
答案：C
考点：三角形内角和定理，两直线平行的性质定理。
解析：∠A＝90°－55°＝35°，因为CD∥AB，所以，∠1＝∠A＝35°。
7.
（
2016
·广西贺州）一个等腰三角形的两边长分别为
4
，
8
，则它的周长为（ ）

A
．
12 B
．
16 C
．
20 D
．
16
或
20
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．

【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．

【解答 】解：
①
当
4
为腰时，
4+4=8
，故此种情况不存在；< br>
②
当
8
为腰时，
8
﹣
4
＜
8
＜
8+4
，符合题意．

故此三角形的周长
=8+8+4=20
．

故选
C
．


【点评】本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解．
C．35° D．25°

二、填空题
1
．（
2016·黑龙江大庆）如图，在△
ABC
中，∠
A=40
°
，
D
点是∠
ABC
和∠
ACB
角平分线
的交点，则∠
BDC=

110
°
．


【考点】三角形内角和定理．

【分析】由
D
点是∠
ABC
和∠
ACB
角平分线的交点可推出∠
DBC+
∠
DCB=7 0
，再利用三
角形内角和定理即可求出∠
BDC
的度数．

【解答】解：∵
D
点是∠
ABC
和∠
ACB
角平分线的交点 ，

∴有∠
CBD=
∠
ABD=
∠
ABC
，∠
BCD=
∠
ACD=
∠
ACB
，

∴∠
ABC+
∠
ACB=180
﹣
40=140
，

∴∠
OBC+
∠
OCB=70
，

∴∠
BOC=180
﹣
70=110
°
，

故答案为：
110
°
．

【点评】此题主要考查学生对角平 分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识
点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题，熟 记三角形内角和定理是解决问题的关键．

2. （2016·湖北鄂州）如图所示，AB∥ CD，EF⊥BD，垂足为E，∠1=50°，则∠2的度
数为（ ）
A. 50° B. 40°
C. 45° D. 25°






【考点】
平行线的性质，垂直的性质，三角形的内角和定理.
【分析】
根据平行线的性质：两直线平行同位角相等，得出∠2=∠D；再根据垂
线的性质和三 角形的内角和定理，得出∠D=40°，从而得出∠2的度数.
【解答】解：如图，∵AB∥CD，
∴
∠2=∠D
;
又∵EF⊥BD
∴∠DEF=90°;
∴在△DEF中，∠D=180°―∠DEF―∠1=180°―90°―50°=40°
∴
∠2=∠D
=40°.
故选B．
【点评】本题解题的关键是弄 清性质和定理。
平行线的性质之一：两直线平行同位角
相等；垂直的性质：如果两直线互相垂直 ，则它们相交所组成的角为直角；三角

形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180 °．
3. (2016
·云南
)
由
6
根钢管首尾顺次铰接 而成六边形钢架
ABCDEF
，相邻两钢管可以转
动．已知各钢管的长度为
A B=DE=1
米，
BC=CD=EF=FA=2
米．（铰接点长度忽略不计）

（
1
）转动钢管得到三角形钢架，如图
1
，则点
A
，
E
之间的距离是 米．

（
2
）转动钢管得到如图2
所示的六边形钢架，有∠
A=
∠
B=
∠
C=
∠
D=120
°
，现用三根钢条
连接顶点使该钢架不能活动，则所用三根钢条 总长度的最小值是
3
米．


【考点】三角形的稳定性．

【分析】（
1
）只要证明
AE
∥
BD
，得
=
，列出方程即可解决问题．

（
2
）分别求出六边形的对角线并且比较大小，即可解决问题．

【 解答】解：（
1
）如图
1
中，∵
FB=DF
，
FA =FE
，

∴∠
FAE=
∠
FEA
，∠
B =
∠
D
，

∴∠
FAE=
∠
B
，

∴
AE
∥
BD
，

∴
∴
=
=
，

，

∴
AE=
，

（
2
）如图中，作
BN⊥
FA
于
N
，延长
AB
、
DC
交于点
M
，连接
BD
、
AD
、
BF
、
C F
．

在
RT
△
BFN
中，∵∠
BNF= 90
°
，
BN=
，
FN=AN+AF=+2=
，

∴
BF==
，同理得到
AC=DF=
，

∵∠
ABC=
∠
BCD=120
°
，

∴∠
MBC=
∠
MCB=60
°
，

∴∠
M=60
°
，

∴
CM=BC=BM
，

∵∠
M+
∠
MAF=180
°
，

∴
AF
∥
DM
，∵
AF=CM
，

∴四边形
AMCF
是平行四边形，

∴
CF=AM=3
，

∵∠
BCD=
∠
C BD+
∠
CDB=60
°
，∠
CBD=
∠
CDB< br>，

∴∠
CBD=
∠
CDB=30
°
，∵∠
M=60
°
，

∴∠
MBD=90
°
，

∴
BD=
∵＜
3
＜
2
，

=2
，同理
BE=2
，

∴用三根钢条连接顶点使该钢架不能活动，

∴连接
AC
、
BF
、
DF
即可，

∴所用三根钢条总长度的最小值
3
故答案为
3
．

，



【点评】本题考查三角形的稳定性、平行线的性质、平行四 边形的判定和性质、勾股定理．等
边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造特殊三角 形以及平行四边形，
属于中考常考题型．

4.
（
2016
·四川广安·
3
分）如图，三个正方形的边长分别为
2< br>，
6
，
8
；则图中阴影部分的
面积为
21
．


【考点】三角形的面积．

【分析】根据正方形的性质来判定 △
ABE
∽△
ADG
，再根据相似三角形的对应线段成比例求
得BE
的值；同理，求得△
ACF
∽△
ADG
，
AC：
AD=CF
：
DG
，即
CF=5
；然后再来求梯形< br>的面积即可．

【解答】解：如图，


根据题意，知

△
ABE
∽△
ADG
，

∴
AB
：
AD=BE
：
DG
，

又∵
AB=2
，
AD=2+6+8=16
，
GD=8
，
∴
BE=1
，

∴
HE=6
﹣
1=5
；

同理得，△
ACF
∽△
ADG
，

∴
AC
：
AD=CF
：
DG
，

∵
AC=2+6=8
，
AD=16
，
DG=8
，

∴
CF=4
，

∴
IF=6
﹣
4=2
；

∴
S
梯 形
IHEF
=
（
IF+HE
）
•
HI
=
×
（
2+5
）
×
6
=21
；

所以，则图中阴影部分的面积为
21
．

5.
（
2016
·四川凉 山州·
4
分）如图，△
ABC
的面积为
12cm
2
，点
D
、
E
分别是
AB
、
AC
边
的中点，则梯形
DBCE
的面积为
9

cm
2
．


【考点】三角形中位线定理．
【分析】根据三角形的中位线得出
DE=BC
，
DE
∥
BC，推出△
ADE
∽△
ABC
，再求出△
ABC
和△ADE
的面积比值求出，进而可求出梯形
DBCE
的面积．

【 解答】解：∵点
D
、
E
分别是
AB
、
AC
边的中点，

∴
DE
是三角形的中位线，

∴
DE=BC
，
DE
∥
BC
，

∴△
ADE
∽△
ABC
，

∴，

∵△
ABC
的面积为
12cm
2
，

∴△
ADE
的面积为
3cm
2
，

∴梯形
DBCE
的面积
=12
﹣
3=9cm
2
，

故答案为：
9
．



6.

（
2016
江苏淮安，
16
，
3
分）已知一个等腰三角形的两 边长分别为
2
和
4
，则该等腰三角
形的周长是
10
．

【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．

【分析】根据任意两边之和大于第三边，知道等腰三角形的腰的长度是
4
，底边长
2
，把三
条边的长度加起来就是它的周长．

【解答】解：因为
2+2
＜
4
，

所以等腰三角形的腰的长度是
4
，底边长
2
，

周长：
4+4+2=10
，

答：它的周长是
10
，

故答案为：
10
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是先判断出三角形的两条腰的长度，再根据三角
形的 周长的计算方法，列式解答即可．

（
2016
·四川巴中）如图，▱
ABCD
中，
AC=8
，
BD=6
，
AD=a
， 则
a
的取值范围是
1
＜
a
7
．
＜
7
．


【考点】平行四边形的性质；三角形三边关系．

【分析】由平行四边形的性质得出< br>OA=4
，
OD=3
，再由三角形的三边关系即可得出结果．

【解答】解：如图所示：

∵四边形
ABCD
是平行四边形，

∴
OA=AC=4
，
OD=BD=3
，

在△AOD
中，由三角形的三边关系得：
4
﹣
3
＜
AD＜
4+3
．

即
1
＜
a
＜
7
；

故答案为：
1
＜
a
＜
7
．




三.解答题
1.
（
2016
·四川凉山州 ·
8
分）阅读下列材料并回答问题：

材料
1
：如果一个三 角形的三边长分别为
a
，
b
，
c
，记
．

①

，那么三角形的面积为

古希腊几何学家海伦（
H eron
，约公元
50
年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名．他
在《 度量》一书中，给出了公式
①
和它的证明，这一公式称海伦公式．

我国南宋 数学家秦九韶（约
1202
﹣﹣约
1261
），曾提出利用三角形的三边求面 积的秦九韶公
式：
下面我们对公式
②
进行变形：

．

②

==
==
=
．


这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式，所以我们也称
①
为海伦﹣ ﹣秦九韶公式．
问题：如图，在△
ABC
中，
AB=13
，
BC=12
，
AC=7
，⊙
O
内切于△
ABC
，切 点分别是
D
、
E
、
F
．

（
1
）求△
ABC
的面积；

（
2
）求⊙
O
的半径．


【考点】三角形的内切圆与内心．

【分析】（
1
）由已知△
ABC
的三边
a=3
，
b=12
，
c=7
，可知 这是一个一般的三角形，故选用
海伦﹣秦九韶公式求解即可；

（
2
）由三角形的面积
=lr
，计算即可．

【解 答】解：（
1
）∵
AB=13
，
BC=12
，
AC =7
，

∴
p=
∴
=16
，

==24
；

（
2
）∵△
ABC
的周长< br>l=AB+BC+AC=32
，

∴
S=lr=24
，

∴
r==
．


3、(2016广东，19,6分)如图，已知△ABC中，D为AB的中点.
（1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连接DE（保留作图
痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）条件下，若DE=4，求BC的长.

考点：尺规作图，三角形的中位线定理。
解析：（1）作AC的垂直平分线MN，交AC于点E。
（2）由三角形中位线定理，知：
BC=2DE=8








A
D
B
C