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三角形三边关系的考点问题
三角形的三条边之间主要有这样的关系：三角形的两边的和 大于第三边，三角形的两边
的差小于第三边.利用这两个关系可以解决许多典型的几何题目.现举例说明 .
一、确定三角形某一边的取值范围问题
根据三角形三边之间关系定理和推论可得结论：已 知三角形的两边为a、b，则第三边c
满足|a－b|＜c＜a＋b.
例1 用三条绳子打 结成三角形(不考虑结头长)，已知其中两条长分别是3m和7m，问
第三条绳子的长有什么限制.
简析 设第三条绳子的长为xm，则7－3＜x＜7＋3，即4＜x＜10.故第三条绳子的长应
大于4m且小于10m。
二、判定三条线段能否组成三角形问题
根据三角形的三边关系，只需判断最小的两边之和是否大于第三边即可.
例2 （1）下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是（ ）
A，5cm、7cm、10cm B，7cm、10cm、13cm
C，5cm、7cm、13cm D，5cm、10cm、13cm
（2）（2004年哈尔滨市中考试题）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A，1cm,2cm,4cm B，8cm,6cm,4cm C， 12cm,5cm,6cm D，2cm,3cm,6cm
简析 由三角形的三边关系可知：(1)5+7＜13，故应选C；(2)6+4＞8，故应选B.
例3 有下列长度的三条线段能否组成三角形？
（1）a－3，a，3(其中a＞3)；
（2）a，a＋4，a＋6(其中a＞0)；
（3）a＋1，a＋1，2a(其中a＞0).
简析 （1）因为(a－3)＋3=a，所以以线段a－3，a，3为边的三条线段不能组成三角
形.
（2）因为(a＋6)－a =6，而6与a＋4的大小关系不能确定，所以以线段a，a＋
4 ，a＋6为边的三条线段不一定能组成三角形.
（3）因为(a＋1)＋(a＋1)=2a＋2＞2， (a＋1)＋2a=3a＋1＞(a＋1)，所以以线段a
＋1，a＋1，2a为边的三条线段一定能组 成三角形.
三、求三角形某一边的长度问题
此类问题往往有陷阱，即在根据题设条件求得结 论时，其中可能有一个答案是错误
的，需要我们去鉴别，而鉴别的依据就是这里的定理及推论.
例4 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，
求 这个三角形的腰长.
简析 如图1，设腰AB=xcm，底BC=ycm，D为AC边的中点.根据题 意，得x+
12，且y+
1
x＝
2
111
x＝21；或x+ x＝21，且y+x＝12.解得x＝8，y＝17；或x＝14，y
222
＝5.显然当x= 8，y=17时，8＋8＜17不符合定理，应舍去.故此三角形的腰长是14cm.

例5 一个三角形的两边分别是2厘米和9厘米，第三边长是一个奇数，则第三边长为
______.
简析 设第三边长为x厘米，因为9-2故应填上9厘米.

A


D
D


P

B C
B C


图1 图2


四、 求三角形的周长问题
此类求三角形的周长问题和求三角形某一边的长度问题一样，也会设计陷阱，所以
也应避免答案的错误.
例6
已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,则它的周长等于_______.
A
简析 已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6，并没有指明是腰还是底，故应由三
角形的 三边关系进行分类讨论，当5是腰时，则底是6，即周长等于16；当6
是腰时，则底是5，即周长等于 17.故这个等腰三角形的周长是16或17.
五、判断三角形的形状问题
判断三角形的形状主要是根据条件寻找边之间的关系.
例7 已知a、b、c是三角形的三边 ，且满足a
2
+b
2
+c
2
－ab－bc－ca=0.试判 断三角形的
形状.
简析 因为a
2
+b
2
+c
2
－ab－bc－ca=0，则有2a
2
+2b
2
+2c
2< br>－2ab－2bc－2ca=0.于是有（a
－b）
2
+（
ｂ
－
ｃ
）
2
+（
ｃ
－a）
2
＝0.此时有非 负数的性质知（a－b）
2
=0；（
ｂ
－
ｃ
）
2< br>=0；（
ｃ
－a）
2
＝0，即a－b=0；
ｂ
－ｃ
=0；
ｃ
－a=0.故a=b=c.所以此三角形
是等边三角形.
六、化简代数式问题
这里主要是运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，从而确定代数式的符号.
例8 已知三角形三边长为a、b、c，且|a＋b－c|＋|a－b－c|=10，求b的值.
简析 因a ＋b＞c，故a＋b－c＞0`因a－b＜c，故a－b－c＜0.所以|a＋b－c|＋|a－b－
c |= a＋b－c－(a－b－c)=2b=10.故b=5.
七、确定组成三角形的个数问题
要确定三角形的个数只需根据题意，运用三角形三边关系逐一验证，做到不漏不重.
例9 现有长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形
的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
简析 由三角形的三边关系知： 若以长度分别为2cm、3cm、4cm，则可以组成三角形；
若以长度分别为3cm、4cm、5cm ，则可以组成三角形；若以长度分别为2cm、
3cm、5cm，则不可以组成三角形；若以长度分别为 2cm、4cm、5cm，则也可以
组成三角形.即分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从 中任取三根，能组成三
角形的个数为3，故应选C.
例10 求各边长互不相等且都是整数、周长为24的三角形共有多少个？
简析 设较大边长为a，另两边长为 b、c.因为a＜b＋c，故2a＜a＋b＋c，a＜
1
(a＋
2
11
b＋c).又a＋a＞b＋c，即2a＞b＋c.所以3a＞a＋b＋c，a＞(a＋b＋c).所以，(a< br>33
＋b＋c)＜a

＜
111
(a＋b＋ c).×24＜a＜×24.所以8＜a＜12.即a应为9，10，11.由三角形三边关
232
a10,


b9,


c5,< br>

a11,


b7,


c6,


a9,

a10,

系定理 和推论讨论知：

b8,


b8,


c7,

c6,


a11,

a11,

a11,


b8,

b 9,

b10,


c5,

c4,
c3.

由此知符合条件的三角形一共有7个.
八、说明线段的不等问题
在平面几何问题中，线段之间的不等关系的说明，很多情况下必须借 助三角形三
边之间的关系定理及推论.有时可直接加以运用，有时则需要添加辅助线，创造条件才
能运用.
例11 已知P是△ABC内任意一点，试说明AB＋BC＋CA＞PA＋PB＋PC＞< br>1
(AB＋BC
2
＋CA)的理由.
简析 如图2，延长BP交A C于D点.在△ABD中，可证明AB＋AD＞BP＋PD.在△
PDC中，可证明PD＋DC＞PC. 两式相加，可得AB＋AC＞BP＋PC，同理可得
AB＋BC＞PA＋PC，BC＋CA＞PA＋PB .把三式相加后除以2，得AB＋BC＋CA
＞PA＋PB＋PC.在△PAB中，PA＋PB＞AB； 在△PBC中，PB＋PC＞BC；在△
PAC中，PA＋PC＞CA.上面三式相加后除以2，得PA ＋PB＋PC＞
＋CA)，综上所述：AB＋BC＋CA＞PA＋PB＋PC＞



1
(AB＋BC
2
1
(AB＋BC＋CA).
2
课堂练习
1. 若三角形的两边长分别为6、7，则第三边长a的取值范围是__________。
2. 设三角形三边之长分别为3，8，1－2a，则a的取值范围为（ ）
A. －6C.－2 B. －5 D.a<－5或a>2
3. △ABC的一边为5，另外两边长恰是方程2x
2
－12x+m=0的两根， 那么m的取值范
围是__________。
4. 已知五条线段长分别为3，5，7，9 ，11，若每次以其中三条线段为边组成三角形，
则最多可构成互不全等的三角形（ ）
A. 10个 B. 7个 C. 3个 D. 2个
5. 以7和3为两边长，另一边的长是整数，这样的三角形一共有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

6. 已知等腰三角形的周长是8，边长为整数，则腰长是_________。
7.已知等腰三角形的两边长分别为6cm和3cm，则该等腰三角形的周长是（ ）
A. 9cm B. 12cm C. 12cm或15cm D. 15cm
8. 在△ABC中，AB＝AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为21cm和12cm两部
分， 求三角形各边长。




9. 若a，b， c为△ABC的三边长，试证
a
4
b
4
c
4
 2a
2
b
2
2a
2
c
2
2b
2
c
2
。




10. 已知：如图2，在△ABC中，∠B＝2∠C，求证：AC＜2AB。

11. 已知：如图3，M、N是四边形ABCD的一组对边AD、BC的中点，求证：
MN
1

ABCD

，并试问，当四边形ABCD满足什么条件 时取等号。
2

三角形中的有关角的考点归纳
三角形中关于角的考点，主要在于三角形三内角和为180°求角的度数，三角形类型
的判断，内角和外角关系以及关于角度大小的证明。
一．根据三角形三内角和180°解题
1.△ABC中，∠A=55，∠B=25，则∠C= .
解析：此题考查三角形内角和定理.由三角形三个角的和为180，易得∠C=180-∠A -
∠B =180-55-25=100.
2. 在
ABC
中，
A:B2:1
，
C60
o
，则
A
_ ________．
解析：设∠B=x°,∵
A:B2:1
,∴∠A= 2x°,根据三角形内角和定理得x+2x+60=180,
解得x=60, ∴∠A= 2x°=80°.
3. 若等腰三角形的一个外角为
70
，则它的底角为 度．
解析:等腰三角形的一个外角为
70
，则和这个角相邻的内角为110度，它必 为为顶角；
所以底角=
1
180
0
110
0
3 5
0
.
2
o
o

4. 图1，AB∥CD， AC⊥BC，∠BAC =65°，则∠BCD= 度.
解析:本题考查了平行线性质和三角形内角和性质的掌握.由三角形内
角和可以知道∠ABC=25°，再根据平行线性质，我们可以知道
∠BCD=∠ABC=25°.
图1

二．利用三角形三内角比判断三角形类型
5. 一个三角形三个内角的度数之比为
2:3:7
，这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
解析：此 题根据三角形内角性质，可以看着把180°分成12分，其中有一个占去7分，
则可知次为钝角三角形 ，是否等腰只看2:3就可知不等要。
6. 已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，这个三角形是 三角型，∠A=
∠B= ，∠C= 。
解析：同上题可把180°分成 9分，有角占5分则可知为钝角三角形，计算角度时可
先算出每份为20°，则∠A=20，∠B=60 ，∠C=100°.
三. 内角和外角的运用
7.△ABC中，若∠C-∠B=∠A，则 △ABC的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”
或“钝角”）
解析：由∠C-∠B=∠A可以得到∠C=∠B+∠A，可知此为直角三角形，则其他2内角
都为锐角， 其外角则最小为直角。
8. 如图，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一 点，延长CA到E，连EF，
则∠1，∠2，∠3的大小关系是_________．

解析：∠2=∠3+∠E，∠1=∠2+∠B，则可知∠1＞∠2＞∠3
四. 利用三角形内角和外角进行证明
9. 一个零件的形状如图7-2-2 -6所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠D应分别是30°
和20°，李叔叔量得∠BCD=14 2°，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？

解析：解法1：如答图1，延长BC交AD于点E，
则∠DEB=∠A+∠B=90°+30°=•120°，
从而∠DCB=∠DEB+∠D=120°+20°=140°．
若零件合格，∠DCB应等于140°．
李叔叔量得∠BCD=142°，
因此可以断定该零件不合格．


(1) (2) (3)
点拨：也可以延长DC与AB交于一点，方法与此相同．
解法2：如答图2，连接AC并延长至E，则∠3=∠1+∠D，∠4=∠2+∠B，
因此∠DCB=∠1+∠D+∠2+∠B=140°．以下同方法1．
解法3：如答图3，过点C作EF∥AB，交AD于E，
则∠DEC=90°，∠FCB=∠B=•30°，所以∠DCF=∠D+∠DEC=110°，
从而∠DCB=∠DCF+∠FCB=140°．以下同方法1．
说明：也可以过点C作AD的平行线．
点拨：上述三种解法应用了三角形外角的性质：三角形的一个外角等于它不相邻的两个
内角的和．
10. 如图，在绿茵场上，足球队员带球进攻，总是向球门AB冲近，说明这是为什么？

解析：如图，设球员接球时位于点C，他尽力向球门冲近到D，
此时不仅距离球门近，射门更有力，而且对球门AB的张角也扩大，球就更容易射中．
理由说明如下：
延长CD到E，则∠ADE>∠ACE，∠BDE>∠BCE，
∴∠ADE+∠BDE>∠ACE+∠BCE，即∠ADB>∠ACB．

点拨：解此题关键是将生活中的问题抽象为数学问题．

课堂练习
1. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，
已知BC=10，则DE的长为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6

2. 如图，
1100，2145
，那么
3
（ ）
A．55°


2

B．65° C．75° D．85°
1
3
oo
3.如图，将
△ABC
沿
DE
折叠，使点
A
与
BC
边的中点
F
重 合，下列结论中：①
EF∥AB
且
EF
11
AB
；②< br>BAFCAF
；③
S
四边形ADFE
AFgDE

22
④
BDFFEC2BAC
，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
A
D
E
F
C

o
B
第1题图
4
.
已知等腰三角形的一个内角为
50
，则这个等腰三角形的顶角为（ ）

A．
50

o
B．
80

o
C．
50
或
80

oo
D．
40
或
65

oo
5.如图，已知△ABC为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1＋∠2等于
A．315°
B．270°
C．180°
D．135
第3

6.
如图，在Δ
ABC中，AC=DC=DB，
∠
ACD=100°，则
∠
B
等于( ) 。

A．50° B．40°
C．25° D．20°
A
C
D
B
第4题图
7.
某机器零件的横截面如 图所示，按要求线段
AB
和
DC
的延长线相交成直角才算合格，
一 工人测得
A23
，
D31
，
AED143
，请 你帮他判断该零件是否合格．（填
“合格”或“不合格”）

ooo








A
B
E
C
（12题图）
D