送礼-班队活动设计方案

【3-3三角形的边角关系】
P1

三角形的三边长关系

如图，a、b、c表示△ABC三内角∠A、∠B、∠C的对边长


B
因为两点之间的距离以直线距离为最短
所以 a＋b＞c………
①

a
c
b＋c＞a………
②

c＋a＞b………
③

C
A
b

表示三角形任意两边长的和一定大于第三边的长
不然没办法形成三角形

如果利用移项法则，可从
①
、
③
两式分别得到
a＞c－b和a＞b－c，也就是 a＞∣b－c∣
同理可得 b＞∣c－a∣
c＞∣a－b∣
8年_____班____号_________________

(例6)下列各组数中，哪几组可以作为三角形的三边长？（复选）
(A)5、6、7 (B)10、20、30
(C)4、5、
11
(D)2
a
、3
a
、4
a
（
a
＞0）


(例7)下列各组数中，哪几组可以作为三角形的三边长？（复选）
(A)0.7、0.8、0.9 (B)5、7、13
(C)6、8、
101
(D)
a
＋2、
a
＋ 3、2
a
＋3（
a
＞0）


(例8)如下图， 有一个形状为三角形的公园，小志自
A
点经
B
点以
逆时针方向绕公园 行走，小芳自
A
点经
C
点以顺时针方向绕公
园行走。如果两人于BC
上的
D
点相遇，且
AC
与
BD
等长，则< br>谁行走的距离比较长？

小志 小芳

A


也就是：三角形任意两边长的差，其绝对值小于第三边的长
B D C

综合以上两点，可以知道：

∣任意两边长的差∣＜第三边的长＜任意两边长的和
(例9)如下图，△
ABC
中，已知
AD
＝
CD
， 在下面的空格中填入
＞、
也就是三角形三边中的任一边，都会有上限及下限的限制
＝或＜，完成下列步骤，以比较
AB
和
BC
的大小。

(1)
CD
＋
BD
＞
BC

(例1)设一个三角形的三边长分别是2厘米、9厘米、
a
厘米。若
a
（三角形任意两边长的和一定大于第三边的长），

是整数，则满足此条件的
a
共有多少个？
(2)
AD
＋
BD
＞
BC
（已知
AD
＝
CD
），
(法一) (法二)
C
(3)
AB
＞
BC
。






A
B
D


小结论：若三角形已知其中两边长度，第三边的范围就会被这两边决定
(例10)已知四根吸管的长度分别为2、3、4、5，任选三根吸管拼
成三角形，则：
(例2)若三角形的三边长分别为12、8、x-1，求x的范围

(1)哪些组合可以拼成三角形？

(2)哪些组合不能拼成三角形？


(例3)若三角形三边长由小到大分别为x、x+10、50，求x范围




(例4)已知两条线段的长度分别为5厘米、11厘米，则下列哪些< br>线段长可以和这两线段长围成一个三角形？（复选）
(A)6.9厘米 (B)15厘米 (C)0厘米 (D)

(例5)下列各组数中，哪几组可以作为三角形的三边长？
(A)4、6、7 (B)4、7、3 (C)4、2、7


小结论 ：要检验三线段长是否可形成三角形，只要检验较短两边
总和是否大于最长边即可，不需检验三遍
(所以第一个动作是将三边排大小)
29
厘米
3





(例11)设一个三角形的三边长皆为整数，且周长为13厘米。
(1)如果最长边是6厘米，则满足此条件的三角形有哪些？
（答案不只一个）
(2)如果最长边是5厘米，则满足此条件的三角形有哪些？
（答案不只一个）

１
＋○
２
得
AB
＋
AQ
＋
PQ
＋
CQ
＞_____________________ 由○
【3-3三角形的边角关系】
P2

三角形的外角大于任一内对角

对于任意三角形ABC，∠1是∠
ACB
的外角
且∠1＝∠
A
＋∠
B

因为∠
A
、∠
B
的度数都是正数，
所以∠1＞∠
A
且∠1＞∠
B

可知，三角形的外角大于任一内对角
B
圖3-24
C
1

A

AB
＋（
AQ
＋
CQ
）＞
PB
＋
PC

∴
AB＋
AC
＞
PB
＋
PC
，即
PB
＋PC
＜
AB
＋
AC

8年_____班____号_________________
大边对大角

在一个三角形中，若有两个边不等长，则较长的边所对的角比较大
也就是说，△
AB C
中，若
AC
＞
BC
，则∠
B
＞∠
A < br>(例1)如右图，△
ABC
中，
Q
点在
AC
上，P
点在
BQ
上，比较∠1、
(证明)：若△
ABC
中，
AC
＞
BC
，则将
BC
摺到和
AC
叠合， 并使
∠2和∠
A
的大小关系。
(说明) ∵∠1是△
PQC
的外
A A
角
Q Q
P
2
P
2
∴______________
1
1
∵∠2是△
ABQ
的外
B
C
B
C
角
∴______________
因此∠1＞∠2＞∠
A
。 先看 后看
(利用递移律比较)

(例2)如右图，△
ABC
为 等腰三角形，
AB
＝
AC

，
A
D
点 在
BC
的延长在线，比较∠
B
、∠
D
的大小关
系，并说明其理由。
(说明)
B
C
D
∵
AB
＝
AC
∴_________________
又∠
ACB
为△
ACD
的外角，
所以∠
B
＝∠
ACB_____
∠
D


(例3)如右图，△
ABC
中，
D
点在
AC
上，使 得△
ABD
是正三角形，
比较∠
A
和∠
C
的大小关 系，并说明其理由。


(说明)
B
∠
C
＋∠
CBD
＝∠
BDA
＝60°（三角形的外角定理）
∠
A
＝60°（因为△
ABD
为正三角形）
所以∠
C
＜∠
A
。
C
D
A
(另法) 因为△
ABD
为正三角形
所以∠
A
＝∠
BDA
＝60°＝∠
C
＋∠
CBD
（三角形的外角定理）
得∠
A
＞∠
C

(例4)如图，P 为△
ABC
内部的一点，
试求证：
PB
＋
PC
＜
AB
＋
AC
。
(说明)
做辅助线：延长
BP
交
AC
于 Q
在△ABQ 中 < br>AB
＋
AQ
＞_________（＝
PB
＋
PQ< br>）…………
…○
１

在△PCQ 中
PQ
＋
CQ
＞________………………○
２

摺痕通过
C
点，因为
AC
＞
BC
，所以可以让
B
点落在
AC
上的一点
E
，且摺痕
CD
与
A B
相交于
D
点。
C

E


A
D
B
因为∠
CED
是△
ADE
的 外角，所以∠
CED
＞∠
A
圖
。
3-27
又因为∠
B
＝∠
CED
，所以∠
B
＞∠
A。

(例1)△
ABC
中，
AB
＝6，
BC
＝7，
AC
＝8，比较∠
A
、∠
B
、∠
C
的大小关系


(例2)△
PQR
中，
PQ
＝11，
QR
＝8，
PR
＝8，则∠
P
、∠
Q
、
∠
R
中哪一个角最大？



(例3)△
ABC
为正三角形，
D
点在
AB
上，比较∠1、∠2的大小关
系

A
(说明)
D
因为
D
点在
AB
上，所以_______＞________
1
又
AB
＝
BC
，
2
因此
BC
＞
BD
。
B C
在△
DBC
中，
因为
BC
＞
BD
，所以∠1＞∠2。
(另法)

(例4) 如右图，正方形
ABCD
中，
E
点在
AD
上。
(1)比较
AB
和
AE
的大小关系。
B
(2)比较∠1和∠2的大小关系，并说明其理由。
C

2


1

A

C
E D
(例5)如右图，每一小格皆为边长1的正方形，
A
、
B
、
C
三点皆在格子点上。
B
( 1)求
AB
、
BC
、
CA
的长度，并比较其大小。
A

(2)比较∠
A
、∠
B
、∠
C
的大小关系。





，请问是否正确？为什么？
CD
」
★ 重要结论：如果要使用大边对大角，或是大角对大边的性质
时，一定要符合______________________________
【3-3三角形的边角关系】
P3

大角对大边

在一个三角形中，若有两角不相等，则较大的角所对的边比较长
也就是说，△
ABC
中，若∠
A
＞∠
B
，则
BC
＞
AC

(证明)：△
ABC
中，如果∠
A
＞∠
B
，则 让∠
A
和∠
B
其中一边重叠
时，

8年_____班____号_________________
枢纽定理与逆枢纽定理





∠
B
的另外一边一定会落在∠
A
的内部，这个想法可视为让
B
点和
A
当时钟上两针的夹角增加时，时针顶端与分针顶端的距离也会
点叠合，摺痕即为
DE

增加；反过来说，在时针顶端与分针顶端的距离慢慢增加时，
因为∠
DAE＝∠
B
，所以△
DAB
为等腰三角形，因而
AD
＝BD


在△
ACD
中，因为
AD
＋
DC
＞
AC

（三角形任意两边长的和大于第三边），
所以
BC
＝
BD
＋
DC

＝
AD
＋
DC
＞
AC
。

(例1)直角三角形中，哪一个角所对的边最长？为什么？



(例2)△
ABC
中，∠
A
＝60°，∠
B
＝62°，
比较
AB
、
BC
、
AC
三边长的大小关系。



(例3)如右图，四边形
ABCD
中，∠1＝60°，∠2＝55°，
∠3＝60°，∠4＝65°。



(2)比较
BC< br>、
CD
和
BD
的大小关系，并说明其理由。

< br>(3)综合1、2题，写出
AB
、
BC
、
CD
、DA
和
BD
的大小关系。



★ 如果有 同学的推论如下：「因为∠
A
＝65°，∠3＝60°，根据大
角对大边的原理，可以 推论∠
A
的对边
BD
会大于∠3的对边



(4)∠1和∠3有没有办法比较大小？理由？
C
B
1
3

A
两针的夹角也会慢慢增加。


已知两个三角形有两边对应相等

C
D
A
E
B
枢纽定理：若两边的夹角不相等，则夹角较大的所对的边也较大
(若∠
A
＞∠
D
，则
BC
＞
EF
)

逆枢纽定理：若第三边不相等，则第三边较大的所对夹角也较大
(若
BC
＞
EF
，则∠
A
＞∠
D
)

(例1)已知 △
ABC
和△
DEF
中，
AB
＝
DE
，< br>AC
＝
DF
，在下列空
格中填入＞、＝或＜，比较各线段或各角的大小 关系。
(1)若∠
A
＞∠
D
，则
BC
＞
EF
。
(2)若∠
A
＝∠
D
，则
BC
＝
EF
。
(3)若
BC
＞
EF
，则∠
A
＞ ∠
D
。
(4)若
BC
＝
EF
，则∠
A
＝ ∠
D
。

(例2)如右图，四边形
ABCD
中，
AB
＝8，
BC
＝8，
CD
＝14，
DA
＝12。依序回答下列问题：
也就是说，△
ABC
中，若∠< br>A
＞∠
B
，则
BC
＞
AC

圖3-30

A
60°
62°
B
C < br>(1)比较
AB
、
DA
和
BD
的大小关系，并说明其 理由
2
D
4
(1)比较∠1和∠2的大小关系，并说明其理由。


(2)比较∠3和∠4的大小关系，并说明其理由。
2



其理由。
D
4
A

B
1
3
C
(3)综合(1)、(2)题，写出∠
ABC
和∠
ADC
的大小关系，并说明