直角三角形的边角关系--总结
世界无车日-凤凰劫歌词
直角三角形的边角关系
一. 知识体系：
1.
三种三角函数与直角三角形中边与角的关系，在Rt△中
①tan
<
br>
的对边
的对边
的邻边
②sin
③cos
的斜边
的斜边
的斜边
在此应
注意的问题是无论是求哪一个角的三角函数，一定要先把这个角放在直角三角形中
2.
特殊角的三角函数值，可用表格来说明
30°
60°
45°
sinα cosα tanα
1
2
3
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
3
3
1
3.
三角函数的有关计算（对于一般角的三角函数值可利用计算器）
（1）测山的高度
（2）测楼的高度
4.
三角函数的应用
（3）测塔的高度
（4）其它
二、三角函数的应用
1、等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，
若
tanDBA
1
，求AD的长。
5
2、如图湖泊的中央有一个建筑物
AB，某人在地面C处测得其顶部A的仰角为60°，然后，
自C处沿BC方向行100m到D点，又测
得其顶部A的仰角为30°，求建筑物的高。
A
30° 60°
D
100 C B
3、 如图，某货船以20海里时的速
度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16
小时的航行到达，到达后必须立即卸货，此时接到
气象部门通知，一台风中心正以40海里
时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里
的圆形区域（包括边界）均会
受到影响。（1）问B处是否会受到影响？请说明理由。（2）为避免受到
台风的影响，该船应
在多少小时内卸完货物。
北
C
西 B A
4、如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上
时，梯子的顶端在B点；当它
靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点。已知∠BAC=60°，∠DAE
=45°，点D到地面的垂直距离
DE=3
2
m。求点B到地面的垂直距离BC。
B
D
60
45
C
E
A
5、如图，甲楼每层高都是
3.1
米，乙楼高40米
，从甲楼的第6层往外看乙楼楼顶，仰角为
30
，两楼相距有多远？
（结果精确到<
br>0.1
米）
30
6、如图，
Rt
ABC
是一防洪堤背水波的横截面图，斜坡AB的长为13米，它的坡角为
45
，为
了提高防洪堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比
1:1.5
的斜坡AD，求DB的
长
（结果保留根号）
A
D
B
C
7、燕尾槽的横断面是等腰梯形，如图是一个燕尾槽
的横断面，其中燕尾角B为
65
，
外口宽AD=150mm，燕尾槽的深度为60m
m，求它的里口宽BC
（精确到1mm）
A
D
150
60
65
C
B
三、练习
A
1．计算：
sin60
；
tan60
。
2．在
RtABC
中，已知
sin
3<
br>，则
cos
；
5
B
C
3．等腰直角三角形的一个锐角的余弦值等于 。
4．若
A
是锐角，
cosA
2
，则
A
。
2
5．如图，
B
，
C
是河岸边两点，
A
是对岸边
上的一点，测得
ABC30
，
ACB60
，
BC50
米，则
A
到岸边
BC
的距离是 米。。
6．在
ABC
中，若
C90
，
sinA
1
1
，
AB
，则
ABC
的周长为 。
2
2
7．在一个钝角三角形中，如果一个三角形各边的长度都扩大3倍，那么这个三角形的两个
锐角的余弦值（ ）
A．都没有变化 B．都扩大3倍
C．都缩小为原来的
1
D．不能确定是否发生变化
3
8．在
ABC
中，
A:B:C1:2:1
，
A,B,C
对边
分别为
a,b,c
，则
a:b:c
等于（
）
A．
1:2:1
B．
1:2:1
C．
1:3:2
D．
1:2:3
9．解
RtABC
，
C90
，
A,B,C
对边分别
为
a,b,c
，结果错误的是（ ）
A．
bccosA
B．
abtanA
C．
acsinA
D．
abtanB
10．计算
sin60tan45(
2<
br>1
2
)
结果是（ ）
3
A．
911
911
B． C．
D．
44
44
11．若
sinAcosA2
，则锐角
A
等于（ ）
A．
30
B．
45
C．
60
D．
90
12．等腰三角形的顶角是
120
，底边上的高为30，则三角形的周长是（
）
A．
120303
B．
120603
C．
150203
D．
15033
22
13．在
ABC
中，
C90
，且两条直角边
a,b
满足
a4ab3b0
，
tanA
=（ ）
A．2或4
B．3 C．1或3 D．2或3
ABC
中，
A,B,C
对边分别为
a,b,c
，
a5,b12,c13<
br>，14．下列结论成立是（ ）
A．
sinA
125512
B．
cosA
C．
tanA
D．
cosB
5131213
四、中考题
1、（2013•郴
州）我国为了维护队钓鱼岛P的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在
一次巡航中，轮船和飞机
的航向相同（AP∥BD），当轮船航行到距钓鱼岛20km的A处时，
飞机在B处测得轮船的俯角是4
5°；当轮船航行到C处时，飞机在轮船正上方的E处，此时
EC=5km．轮船到达钓鱼岛P时，测得
D处的飞机的仰角为30°．试求飞机的飞行距离BD
（结果保留根号）．
2、（2013•衡阳）如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C 处时的线长为
20米，此时小方正好站在A处，并测得∠CBD=60°，牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝
离地面的高度（结果精确到个位）
3、（2013•湘西州）钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土，为宣誓主权，我海监船编队奉命
在
钓鱼岛附近海域进行维权活动，如图，一艘海监船以30海里小时的速度向正北方向航行，
海监船在A处
时，测得钓鱼岛C在该船的北偏东30°方向上，航行半小时后，该船到达点B
处，发现此时钓鱼岛C与
该船距离最短．
（1）请在图中作出该船在点B处的位置；
（2）求钓鱼岛C到B处距离（结果保留根号）
4、（2013•益阳）如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有
一条笔直的观光小道AB，
现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据
：AB=80.0米，
∠PAB=38.5°，∠PBA=26.5．请帮助小张求出小桥PD的长并确
定小桥在小道上的位置．（以A，
B为参照点，结果精确到0.1米）
（参考数据：sin3
8.5°=0.62，cos38.5°=0.78，tan38.5°=0.80，sin26.5°=0.4
5，cos26.5°=0.89，
tan26.5°=0.50）
5、（2013•巴中）2013年4月20日，四川雅安发生里氏7
.0级地震，救援队救援时，利用生
命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点C处有生命迹象，已知废墟一
侧地面上两探测点A、
B相距4米，探测线与地面的夹角分别为30°和60°，如图所示，试确定生命
所在点C的深
度（结果精确到0.1米，参考数据≈1.41，≈1.73）
6、（2013，成都）如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角∠BAC=
30°，则该山坡的高BC的长为__________米.
7、（2013•达州
）钓鱼岛自古以来就是中国领土。中国有关部门已
对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测。如图，E
、F为钓鱼岛东西两端。某日，
中国一艘海监船从A点向正北方向巡航，其航线距离钓鱼岛最近距离CF
=
203
公里，
在A点测得钓鱼岛最西端F在最东端E的东北方向（C、F、E在同一
直线上）。求钓鱼
岛东西两端的距离。（
21.41
，
31.73
，结果精确到0.1）
8、2013•广安）如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长40
0米，高8米，背水坡的坡角
为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防
洪指挥部专家组制定
的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF
的坡比
i=1：2．
（1）求加固后坝底增加的宽度AF的长；
（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？
9、（2013•乐山）
如图11,山顶有一铁塔
AB的高度为20米，为测量山的高度BC,
在山脚点D处测得塔顶A和塔基B的仰角分别为60º和4
5º，求山的高度BC.（结
果保留根号）
10、
（2013•内江）如图，某校综合实践活动小组
的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他
们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D
的仰角为30°，朝着这棵树的
方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高
度AB为3米，台
阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B、C、E三点在同一条直线上．请
根据
以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）．
11、
（2013•遂宁）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，
我
国海监和渔政部门对钓鱼岛 海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海
域
有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距
离，某一时刻两
海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船
C，求此时船C与船B的距
离是多少．（结果保留根号）