十七楼的幻想-魔法童话夜

《直角三角形的边角关系》复习教案

教学要求:
1、通过复习进一步理解锐角三角形函数的概念，能熟练地应用sinA， cosA，
ta nA，cotA表示直角三角形(其中有一个锐角是A)中的两边的比，熟记30°，45°，60°
角 的各三角函数的数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个
特殊锐角的三 角数值说出这个角.
2、理解直角三角形中边角之间的关系，会运用勾股定理，直角三角形的 两个锐
角互余及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识来解某些简单
的实 际问题(包括一些能用直角三角形解的斜三角形问题)从而进一步把数和形结合起
来，培养应用数学知识 的意识.
3、通过解答与三角形或四边形有关的问题，增强分析能力和逻辑推理能力.
知识讲解:
1．直角三角形中的边角关系
(1)三边之间的关系：a
2
＋b
2
＝c
2

(2)锐角之间的关系：A＋B＝90°
ab
， cosA＝sinB＝
cc
ab
tanA＝cotB＝， cotA＝tanB＝
ba
(3)边角之间的关系：sinA＝cosB＝
锐角三角函数的概念
如图，在ABC中，∠C为直角，
则锐角A 的各三角函数的定义如下：
(1)角A的正弦：锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，
a
即sinA＝
c
(2)角A的余弦：锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，
b
即cosA＝
c
(3)角A的正切：锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，
a
即tanA＝
b
(4)角A的余切：锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，
b
即cotA＝
a
2．三角函数的关系
(1)同角的三角函数的关系
1)平方关系：sinA
2
＋cosA
2
＝1
2)倒数关系：tanA·cotA＝1

sinAcosA
，cotA＝
cosAsinA
(2)互为余角的函数之间的关系
sin(90°－A)＝cosA， cos(90°－A)＝sinA
tan(90°－A)＝cotA， cot(90°－A)＝tanA
3)商的关系：tanA＝
3．一些特殊角的三角函数值

sinα
cosα
tanα
cotα
0°
0
1
0
-----
30°




1
1
45°




60°

90°
1
0
-----
0
5．锐角α的三角函数值 的符号及变化规律.
(1)锐角α的三角函数值都是正值
(2)若0＜α＜90° 则sinα，tanα随α的增大而增大，cosα，cotα 随α的
增大而减小.
6．解直角三角形
(1)直角三角形中的元素：除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角.
(2)解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知的元素的
过程叫做解直角三角形.
7．解直角三角形的应用，
解直角三角形的应用，主要是测量两点间的距离，测量物体的高度等，常用到下
面几个概念：
(1)仰角、俯角
视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做
俯角
(2)坡度．
坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度，常用字母i表示，
h
即i＝
l
(3)坡角
h
坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示，则tanα＝i＝
l
(4)方位角
从某点的指北方向线，按顺时针方向转到目标方向线所成的角.

例题选讲：
1、在Rt△ABC中，∠C=90°
(1)已知∠A、 c, 则a=__________;b=_________.
(2)已知∠A、 b, 则a=__________;c=_________.
(3)已知∠A、 a，则b=__________;c=_________.
(4)已知a、b，则c=__________.
(5)已知a、c，则b=__________.
2、在下列直角三角形中，不能解的是（ ）
A、已知一直角边和所对的角 B、已知两个锐角
C、已知斜边和一个锐角 D、已知两直角边
3、如图，在△ABC中，已知AC=6，∠C=75°，∠B=45°，求△ABC的面积.



B
A
6
A D

C
B
C
4、求证:平行四边形ABCD的面积S=AB·BC·sinB(∠B为锐角).
5、山顶上有一旗杆，在地面上一点A处测得杆顶B的俯角α =60
0
，杆底C的俯角β =45
0
，
已知旗杆高BC=20米，求山高CD.

课堂练习
1、如图：P是
∠

的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），
则sin（90
0
-

）＝_____________.
2、下列说法正确的是( )
A、a为锐角则 0≤sina≤1 B、cos30°＋cos30°＝cos60°
C、若tanA＝cot(90°－B), 则∠A与∠B互余
D、若α
1
，α
2
为锐角，且α
1
＜α
2
则cosα
1＞cosα
2

3、已知0°＜α＜45° 则sinα，cosα的大小关系为( )
A、sinα＞cosα B、sinα＜cosα C、sinα≥cosα D、sinα≤cosα．
1
4、∠C＝90° 且tanA＝，则cosB的值为( )
3
A、
1010
13310
B、 C、 D
310
1010
A D
5、直角梯形ABCD中，AD∥BC，CD＝10，∠B＝90°，∠C＝30°则AB＝( )
5
53
A、5
3
B、5 C、 D
2
2
B
C

6、一个三角形的一边长为2，这边上的中线长为1，
另两边长之和为1＋
A. 1 B.
， 则这个三角形的面积为( )
D.
3

4
3
C.
2
7、外国船只，除特许外，不得进入我国海洋10 0海里以内的
区域.如图，设A、B是我们的观察站，A和B之间的距离为
160海里，海岸线 是过A、B的一条直线.一外国船只在P点，
在A点测得∠BAP=45
0
，同时在B 点测得∠ABP=60
0
，问此时是
否要向外国船只发出警告，令其退出我国海域.
A
本课小结

P
B
本章的重点是直角三角形中锐角 三角函数的定义，特殊锐角的三角函数值，及互
余两角的三角函数关系，运用这些知识解直角三角形的实 际应用，既是重点也是难点.
解直角三角形四类基本问题的方法是：
a
，求A, B＝90°－A，
c
(1)已知斜边和一直角边(如斜边c，直角边a)：由sinA＝
b＝
(2)已知斜边和一锐角(如斜边c，锐角A)； B＝90°－A， a＝c·sinA， b＝c·cosA
a
(3)已知一直角边和一锐角(如a，A)： B＝90°－A，b＝a·cotA， c＝
sinA
a
(4)已知两直角边(如a，b)： c＝，由tanA＝，求A, B＝90°－A
b
解直角三角形的思路是：
(1)解直角三角形的方法可以概括为“有弦(斜 边)用弦(正弦，余弦)，无弦用切(正切，
余切)，取原避中”其意指：当已知或求解中有斜边时，可 用正弦或余弦；既可由已知
数据又可由中间数据求解时，取原始数据，忌用中间数据.
( 2)解含有非基本元素的直角三角形(即直角三角形的中线，高，角平分线，周长，
面积等)一般将非基 本元素转化为基本元素，或转化为基本元素间的关系式，再通过
解方程组求解.
解直角三角形在实际应用中的解题步骤如下：
(1)审题：要弄清仰角，俯角，坡度，坡角，水平距离，垂直距离，水平等概念的
意义，要审清题意.
(2)画图并构造要求解的直角三角形，对于非直角三角形的图形可添加适当的辅助
线把它 们分割成一些直角三角形和矩形(包括正方形).
(3)选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便，不易出错.
(4)按照题中已知数的精确度进行近似计算，并按照题目要求的精确度确定答案及
注明单位.

课后练习
1
1．α为锐角，若tanα＝，则sinα＝ ，cosα＝ .
5
3sina2cosa
2．若tanα＝2，则的值等于 .
sina4cosa
3．底角为30°的等腰三角形，底边长为4cm，则腰长＝ ，面积
＝ .4．sin
2
18°＋cos45°·tan25°·t an65°＋sin
2
72°＝ .
5．在△ABC中，∠A、 ∠B都是锐角，且sinA=
1
2
，cosB=，则△ABC的三个内
22
角的大小是（ ）
A、∠C＞∠B ＞∠A B、∠C＞∠A＞∠B
C、∠B ＞∠C＞∠A D、∠A＞∠B＞∠C
6、下列各式正确的是（ ）
sin45
0
A、sin25°＋sin35°＝sin60° B、tan45° =
cos450
C、tan
2
60°＋sin
2
60°＝tan
2< br>450° D、tan30°＋sin30°＝cos30°
7．如图，从山顶A望到地面 C、D两点，测得它们的俯角分别是45°和60°，且
CD=100m，点C在BD上，求山高AB.

A
A

C




D

C B

B D

8、如图，在一座高 为10m的建筑物顶C，测得旗杆底部B的俯角为60°，旗杆顶端
A的仰角为30°．
（1）求建筑物与旗杆的水平距离BD；
（2）计算旗杆的高AB．