爱国诗篇-七夕几月几号

例说三角形三边关系的几种典型运用

三角形的三条边之间主要有这样的关系 ：三角形的两边的和大于第三边，三角形的两边
的差小于第三边．利用这两个关系可以解决许多典型的几 何题目．现举例说明．
一、已知两边求第三边的取值范围
例1 用三条绳子打结成三角形 (不考虑结头长)，已知其中两条长分别是3m和7m，问
第三条绳子的长有什么限制．
解析 根据三角形三边之间关系定理和推论可得结论：已知三角形的两边为a、b，则
第三边c满足|a－b| ＜c＜a＋b．
设第三条绳子的长为xm，则7－3＜x＜7＋3，即4＜x＜10．故第三条绳子的 长应大于
4m且小于10m．
二、判定三条线段能否围成三角形
例2 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，4cm B．8cm，6cm，4cm C．12cm，5cm，6cm D．2cm，3cm
，
6cm
解析 根据三角形的三边关系，只需判断较小的两 边之和是否大于最大边即可．因为
6+4＞8，由三角形的三边关系可知，应选B．
例3 有下列长度的三条线段能否组成三角形？
（1）a－3，a，3(其中a＞3)；
（2）a，a＋4，a＋6(其中a＞0)；
（3）a＋1，a＋1，2a(其中a＞0)．
解析 （1）因为(a－3)＋3=a，所以以线段a－3，a，3为边的三条线段不能组成三角
形．
（2）因为(a＋6)－a =6，而6与a＋4的大小关系不能确定，所以以线段a，a＋4，a＋< br>6为边的三条线段不一定能组成三角形．
（3）因为(a＋1)＋(a＋1)=2a＋2＞2， (a＋1)＋2a=3a＋1＞(a＋1)，所以以线段a＋1，a
＋1，2a为边的三条线段一定能组 成三角形．
三、确定组成三角形的个数问题
例4、现有长度分别为2cm、3cm、4cm 、5cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形

的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 要确定三角形的个数只需根据题意，首先确定有几 种选择，再运用三角形三边关
系逐一验证，做到不漏不重．
由三角形的三边关系知：若以长度 分别为2cm、3cm、4cm，则可以组成三角形；若以
长度分别为3cm、4cm、5cm，则可以 组成三角形；若以长度分别为2cm、3cm、5cm，则不
可以组成三角形；若以长度分别为2cm、 4cm、5cm，则也可以组成三角形．即分别为2cm、
3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三 根，能组成三角形的个数为3，故应选C．
例5 求各边长互不相等且都是整数、周长为24的三角形共有多少个？
1
(a
2
11
＋b＋c)．又a＋a＞b＋c，即2a＞b＋c．所以3a＞a＋b＋c，a＞(a＋b＋c)． 所以，(a
33
111
＋b＋c)＜a＜(a＋b＋c)．×24＜a＜×24．所以 8＜a＜12．即a应为9，10，11．由
232
解析 设较大边长为a，另两边长为b、c ．因为a＜b＋c，故2a＜a＋b＋c，a＜

a9,

a10,
a10,

a11,

三角形三边关系定理和推论 讨论知：

b8,


b8,


b9,


b7,


c7 ,

c6,

c5,

c6,

a11,

a11,

a11,


b8,

b9,

b10,


c5,

c4,

c3.

由此知符合条件的 三角形一共有7个．
四、确定三角形的边长
例6、一个三角形的两边分别是2厘米和9厘米 ，第三边长是一个奇数，则第三边长为
______．
解析 先利用三角形的三边关系求出 第三边的范围，然后再从所请求的范围内确定奇数
即可．设第三边长为x厘米，因为9-2上9厘米．
例10 已知等腰三角形 一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，
求这个三角形的腰长．
解析 如图1，设腰AB=xcm，底BC=ycm，D为AC边的中点．根据题意，得x+
1
x
2

＝12，且y+
111
x＝21；或x+x＝2 1，且y+x＝12．解得x＝8，y＝17；或x＝14，y＝5．显
222
然当x=8，y =17时，8＋8＜17不符合定理，应舍去．故此三角形的腰长是14cm．
注意：本题有陷阱， 即在根据题设条件求得结论时，其中可能有一个答案是错误的，即
求出的三角形的三边长不满足三角形三 边关系，需要我们去鉴别，而鉴别的依据就是三角形
三边关系定理及推论．
五、化简代数式问题
例7、 已知三角形三边长为a、b、c，且|a＋b－c|＋|a－b－c|=10，求b的值．
解析 这里可运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，从而确定代数式的符号．
因a＋b＞c，故a＋b－c＞0`因a－b＜c，故a－b－c＜0．
所以|a＋b－c|＋|a－b－c|= a＋b－c－(a－b－c)=2b=10．故b=5．