双拥办-儿童图片故事

第14章 勾股定理
单元要点分析
教材内容
勾股定理是我国古代数学的一项伟大成就，勾股定理为我们提供了直角三角形的三边
间的数量关系，它的 逆定理为我们提供了判断三角形是否属于直角三角形的依据，也是判
定两条直线是否互相垂直的一个重要 方法，这些成果被广泛应用于数学和实际生活的各个
方面．
本单元通过数据格子的办 法发现直角三角形的三边间的数量关系，得到了“直角三角
形两直角边的平方和等于斜边平方”这个著名 的勾股定理，又利用拼图的方法论证勾股定
理的合理性．书中介绍了古埃及人做直角的方法，通过学生动 手制作，利用勾股数为边的
三角形，通过量角器发现所得的三角形是直角三角形，从而推出“如果三角形 的三边长a、
b、c满足a
2
+b
2
=c
2
时，那 么这个三角形是直角三角形”这个勾股定理的逆定理．在使用勾
股定理时，应强调直角的前提并分清斜边 和直角边，千万不能变成“三角形两边的平方和
等于第三边的平方”在使用勾股定理时，只要三角形三边 a、b、c满足a
2
+b
2
=c
2
，这个三
角形是 直角三角形，而不应为三角形只有三边具有勾股数，才是直角三角形．因为勾股数
只局限于正整数，在信 息闭塞的几千年前人们在人同的地方都发现勾股定理，这就是人们
想通过勾股定理与外星人沟通的理由．
数学目标（三维目标）
知民技能：掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定 理的方法，并能运用勾股定理解
决一些实际问题；掌握制定一个三角形是直角三角形的条件，并能运用它 解决一些实际问
题．
过程与方法：经历探索勾股定理及一个三角形是直角三角形的条 件的过程，发展合情
推理能力，体会数形结合的思想．
情感态度与价值观：通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值．
教学重点
本单元教学重点是掌握勾股定理及其逆定理的应用．
教学难点
本单元教学难点是对勾股定理及其逆定理的认识．
教学关键
本单元为了使学生更好地认识勾股定理，采用了在方格纸上通过计算面积的方法探索
勾股定理，再利用拼 图方法验证勾股定理的内容．
课时划分
直角三角形三边的关系 2课时
直角三角形的判定 1课时
勾股定理的应用 2课时
小结与复习 1课时

14.1.1 直角三角形三边的关系（1）

教学目标
知识与技能：掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法．
过程与方法：经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，发展合情推理能力．
情感态度与价值观：培养合作、探索的意识，体会数形结合的思想，以及识图能力．
重点、难点、关键
重点：了解勾股定理的由来，并应用勾股定理解决一些简单问题．
难点：对勾股定理的认识．
关键：让学生经历观察、归纳、猜想和验证勾股 定理，再将a
2
、b
2
、c
2
与正方形面积
联系起 来，通过比较得到勾股定理．
教学准备
教师准备：投影仪、补充资料、直尺、圆规．
学生准备：两块直角三角尺，其中如下图1的直角三角形带4块来．
a
b
c

图1
教学过程
一、创设情境
1．教师叙述：人类一直想要弄清其他星球上是否存在着“人”，•并试图与“他们”
取得联系，那么我们怎样才能与“外星人”接触呢？数学家曾建议用“勾股定理”的图来
作为与“外星人 ”联系的信号．勾股定理有着悠久的历史，古巴比伦人和古代中国人看出
了这个关系，古希腊的毕达哥拉 斯学派首先证明了这个关系，很多具有古老文化的民族和
国家都会说：我们首先认识的数学定理是勾股定 理．
教师边叙述边利用投影仪，展示有关勾股定理的图片．其中重点说明“希腊发行的一
枚纪念邮票”． < br>投影显示问题情境：这是1955年希腊发行的一枚纪念邮票（如图2所示），请你观察
这枚邮票 图案小方格的个数，你发现了什么？

图2 图3 图4

学生活动：观察邮票，在教师的引导下发现最大的正方形面积是两个中、小正方形面积的
和， 即3
2
+4
2
=5
2
，同时发现中间的直角三角形两直角边 分别3和4，•斜边是5．
继续探究．
投影显示下图：图3和图4．
教师提出问题：
（1）观察图3，正方形A中含有____个小方格，即A的面积是____•个单位面积；
正方形B中含有_____个小方格，即B的面积是______个单位面积；
正方形C中含有_____个小方格，即C的面积是______个单位面积．
你是怎样得到上面的结果呢？
学生活动：小组合作讨论，然后交流答案．在图3中，A有9个 小方格，所以A面积
是9个单位面积，B有9个小方格，所以B面积是9个单位面积，C有18个小方格 ，•所
以C面积是18个单位面积．
教师提出问题：
（2）在图4中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？
（3）你发现图3中三个正方形A、B、C的面积之间有什么关系呢？图4中的呢？
学生活动 ：小组合作讨论，然后回答问题．解决（2）的方法和（1）类似，解决（3）
•的问题中可以发现：两 块小正方形面积和等于大正方形面积．
2．试一试
测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：
三角尺 直角边a 直角边b 斜边c 关系
1
2








请你根据已经得到的数据，猜想三边的长度a、b、c之间的关系．
学生活动：小组合作交流 ，动手测量，从中发现a
2
+b
2
=c
2
，即两直角边的平 方和等于
斜边的平方．
二、特殊→一般
问题提出．
教 师提问：是否所有的直角三角形都有这个性质呢？即任作Rt△ABC，∠=90°，
BC=a，AC= b，AB=c，如图5，那么，也就是说a
2
+b
2
=c
2
．

图5 图6
学生活动：拿出准备好的学具：4块大小相同的任意直角三角形，小组合作，讨论，

寻求答案．
分析与点拨：
如图6（甲）那样，将四个 与Rt△ABC全等的直角三角形放入边长为a+b•的正方形
内，得到正方形I
3
， 并且I
3
的边长等于Rt△ABC的斜边C．
又如图6（乙）那样，将四个 与Rt△ABC全等的直角三角形放入边长为a+b•的正方
形内，得到边长分别为a，b的两个正方形 I
1
，I
2
．
图14-1-6（甲）与图14-1-6（ 乙）中的两个大正方形的边长都是a+b，所以它们的面
积相等，即c
2
+4·
11
ab=a
2
+b
2
+4·ab
22
a
2
+b
2
=c
2

师生共识：
勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方．
a
2
+b
2
=c
2

评析：勾股定理的证 明据不完全统计已有400余种证明方法，教学中可以先让学生查
阅大量资料，了解勾股定理的背景及其 证明，然后在教学时进行交流讨论．
三、阅读与思考
1．阅读课本P48～50内容．
2．思考下列问题．
投影显示：如图7所示，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13厘米，BC=10厘米．
（1）你能算出BC边上的高AD的长吗？
（2）△ABC的面积是多少呢？

图7 图8
教师活动：操作投影仪，引导学生思考问题，关注“学困生”．
学生活动：小组合作，讨论，应用所学知识解决问题，然后上讲台演示．
答案：（1）12厘米 （2）60平方厘米．
四、范例学习
例1 如图8所示，将长为5．41米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为2.16米，求梯
子上端A到墙的底边 的垂直距离AB．（精确到0.01米）
思路点拨：本题是勾股定理的应用，关键是确定好R t△ABC，AB、BC是两条直角边，
AC是斜边，然后根据勾股定理可得AB=，应
AC< br>2
BC
2
5.41
2
2.16
2
≈4 .96（米）
该注意的是，•斜边的平方减去其中一条直角边的平方的开平方运算问题．

教师活动：板演例1，对书写表达格式进行要求．
学生活动：参与教师讲例，理解勾股定理的实际应用．
媒体使用：投影显示例1．
五、随堂练习
1．课本P51练习第1，2题．
2．补充题：分别以图9（a）的 直角三角形三边长为边作正方形，得到图9（b），那
么这三个正方形的面积有什么关系呢？

图9
六、课堂总结
1．勾股定理：直角三角形两直角边a、b的 平方和等于斜边c的平方，即a
2
+b
2
=c
2
；
2．勾股定理应用提示：
（1）勾股定理只在直角三角形中成立，运用时， 必须分清斜边、直角边，•然后再使
用；若没有告诉斜边的情况下，经常有两解，勿漏解．
（2）勾股定理将“形”转化为“数”，•而这对于实际问题的解决起着积极的作用．
3．勾股定理的作用：
（1）已知直角三角形任意两边，求第三边；
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系；
（3）用于说明平方关系；
（4）作长为
n
的线段．
七、布置作业
1．课本P54习题14．1第1，2，3题．
2．选用课时作业设计．
八、课后反思（略）．
第一课时作业设计

一、填空题
1．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．
（1）若a=8，b=15，则c=________．
（2）c=10，a：b=3：4，则a=______，b=_______．
（3）若a=b，c
2
=m，则a
2
=________．
（4）若c=61，a=60，则b=________．
2．请写出满足勾股定理：a2
+b
2
=c
2
的三组数组________．
3．要登上12m高的建筑物，为安全起见，•需使梯子的底端离建筑物5m，•至少需要
______ _m长的梯子．
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，S
△ABC
=30cm
2
，则AB=_______．
5．等腰△ABC的腰长AB=10cm，底BC=16cm，则底边上的高为______．面积为____．
6．已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=8，AD=4，BC=6，则 以DC为
边的正方形面积为_______．
7．在△ABC中，∠C=90°，若a=5，b=12，则c=_______．
8．一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为_______．
二、判断
9．若a，b，c是△ABC的三边，则a
2
+b
2
=c< br>2
．（ ）
10．若a，b，c是直角△ABC的三边，则a
2< br>+b
2
=c
2
．（ ）
11．若正方形的面积为2cm
2
，则它的对角线长为2cm．（ ）
三、选择题
12．下列几组数中，能满足勾股定理的是（ ）．
A．3，4，6 B．4，5，6 C．6，7，8 D．9，40，41
13．直角三角形两直角边分别为5cm，12cm，其斜边上的高为（ ）．
A．6cm B．8cm C．
80
cm
13
D.
60
cm
13
14．正方形的对角线长10m，正方形的面积是（ ）m
2
．
A．100 B．75 C．50 D．25
四、解答题
15．如图所示，在△ABC中，AB=20cm，AC=1 3cm，BC边上的高AD=12cm，•求
BC的长．
A
BD
C

16．如图所示，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA垂 直AB•于A，
CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km，现在要在铁路AB上建一个 土特产品收购
站E，•使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少km处？

17．已知△ABC为直角三角形（如图所示），且∠B=90°，D、E分别在BC•和AB
上，AD
2
+CE
2
=AC
2
+DE
2
吗 ？为什么？

18．某车间的人字形层架（如图所示）为等腰三角形ABC，跨度A B=24m，•上弦
AC=13m，求中柱CD（D为底AB的中点）．
C
A
答案:
一、1．（1）17 （2）6 8 （3）
D
B

m
（4）11
2
2．8，15，17或3，4，5或5，12，13 3．•13 •4．13cm
5．6m 48cm
2
7．13 8．6 8 10
二、9．× 10．× 11．∨
三、12．D 13．D 14．D
四、15．在Rt△ABC中，由勾股定理得BD=16cm，
同理CD=5cm，则BC=BD+DC=21cm．
16．设AE=xkm，由勾股定理得 AE
2
+AD
2
=DE
2
，BE
2
+BC
2
=CE
2
，
又DE=CE，所以AE
2
+AD
2
=BE
2
+BC
2
，•即x
2
+15< br>2
=（25-x）
2
+10
2
，
解得x=10，故E站应建在距A站10km处．
17．提示：运用勾股定理列等式，•再进行恒等变形
18．CD=5.

14.1.1 直角三角形三边的关系（2）

教学目标
知识与技能：掌握勾股定理的运用方法．
过程与方法：经历理解勾股定理的运用过程，感悟勾股定理的内涵．
情感态度与价值观：通过 数学思维活动，发展学生探究意识和合作交流的思想，体会
勾股定理对人类发展的重要作用以及它的重大 意义和文化价值．
重点、难点、关键
重点：理解并熟练运用勾股定理．
难点：对勾股定理函数的领会．
关键：教学中，应鼓励学生经历观察、归纳过程，通过数形结合达到领会和应用的要
求．
教学准备
教师准备：投影仪，投影片、直尺、圆规．
学生准备：复习上一节内容．
教学过程
一、回顾交流、课堂小测
1．教师提问：
（1）什么叫勾股定理？
（2）请你以5cm，12cm为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度，•来验
证勾股定理．
学生活动：举手发言，讲出勾股定理的内容，然后动手做（•2）•，•验证出斜边长为
13cm，而5
2
+12
2
=13
2
，加深对勾股定理的 理解．
2．课堂小测．
投影显示：
（1）求下列直角三角形未知边的长．（如图所示）

（2）求下列图中未知数x，y，z的值．

教师活动：操作投影仪，显示“课堂小测”，组织学生进行小测，巡视．
学生活动：认真小测，以测促思，学会勾股定理的应用．
媒体使用：小测之后，教师与学生共同解决上述问题，巩固勾股定理的应用．
二、范例学习
例2 如图所示，为了求出位于湖两岸的两点A、B之间的
距离，•一个观测者在点C设桩， 使三角形ABC恰好为直角三
角形，通过测量，得到AC长160•米，•BC•长128米，问从点< br>A穿过湖到点B有多远？
思路点拨：由于构建了Rt△ABC，因此，利用勾股定理，
可以求出AB=．
AC
2
BC
2
160
2
128
2
=96（米）< br> 教师活动：操作投影仪，讲例，让学生明确在勾股定理的应用中，要先构建Rt△，•
分 清斜边和直角边，然后应用．
三、随堂练习
课本P53练习第1，2题．
探研时空．
1． 如图所示，把火柴盒放倒，在这个过程中也能验证勾股定理，你能利用下图验证
勾股定理吗？

教师活动：组织学生进行随堂练习，巡视、关注“学困生”，请部分学生上讲台演示．
学生活动：进行练习，讨论、交流“探研时空”．继续理解勾股定理的内涵，加深印
象．
2． 如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大
的正方形G的边长为7c m，求正方形A，B，C，D的面积．
C
B
A
E
G
F
D
7cm

思路点拨：此题揭示了三个正方形的面积关系与直角三角形三边的联系，即S< br>E
+S
F
=S
G
．
同理S
A+S
B
=S
E
，S
C
+S
D
=SF

所以S
A
+S
B
+S
C
+S
D
=S
G
=49cm
2
教师活动：操作投影仪，显示“探研时空”，引导学生进行思考．
学生活动：分四人小组，合作探研，然后踊跃在全班发表自己的看法．
3．小红家住在18层的高楼上，一天，她与妈妈去买竹竿．（如图所示）

如果电 梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5米、2.2米，那么，•能放入电梯内的竹竿的
最大长度约是多 少米？你能估计出小红买的竹竿至少是多少米吗？
教师活动：操作投影仪，显示第3题，引导学生两次运用勾股定理，求得问题．
学生活动：小组合作交流，通过分析学生明白应该使用勾股定理，在应用中发现需重
复使用勾股定理．
答案：能放入电梯内的竹竿的最大长度约为3米，小红买的竹竿至少为3．1米．
媒体使用：借助投影仪．
教学形式：师生互动，生生互动．

四、实际应用
问题提出：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方4000 米处，
过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？
思路点拨 ：根据题意，可以先画出符合题意的图形，如图•所示，•图中△ABC的∠
C=90°，AC=400 0米，AB=5000米，欲求飞机每小时飞行多少千米，•就要知道飞机在
20秒时间里飞行的路程， 即图中的CB的长度．
C
B

由于直角△ABC的斜边AB=50 00米，AC=4000米，这样BC就可以通过勾股定理得
出，这里一定要注意单位的换算．
解：由勾股定理得
BC
2
=AB
2
-A C
2
=5
2
-4
2
=9（千米
2
）
即BC=3千米
飞机20秒飞行3千米，那么它1小时飞行的距离为：

A
3600
×3=540（千米时）
20
答：飞机每小时飞行540千米．
五、课堂总结
由学生自己总结勾股定理的应用．
1．方法：分四人小组，先由小组总结，然后由各小组代表进行发言，•最后由教师归
纳．
2．内容：
（1）勾股定理的概念．
（2）如何在实际问题中确定好RT△．
（3）你对本节课内容学习中，在哪些方面有自己的见解．
六、布置作业
1．课本P54习题14．1第4，5题．
2．选用课时作业设计．
七、课后反思（略）

第二课时作业设计
一、判断题
1．△ABC的两边AB=5，AC=12，则BC=13．（ ）
2．△ABC中，a=6，b=8，则c=10．（ ）
二、填空题
3 ．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：1：2，AB
2
=50，则BC=_______．
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，a：b=3：4，c=15cm，则a=________cm．
5．在Rt△ABC中，a=3，b=4，则c=______．
6．一艘 轮船以16海里时的速度离开A港向东南方向航行，•另一艘轮船同时以12
海里时的速度离开A港向西 南方向航行，经过1.5小时后它们相距_______海里．
7．在△ABC中，∠C=90°，若AC=6，CB=8，则AB上的高为_______．
8．在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D．
（1）若AC=61，CD=11，则AD=______．
（2）若CB=113，CD=15，则BD=________．
9．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为_______．
三、选择题
10．若等腰△ABC的腰长AB=2，顶角∠BAC=120°，以BC为边的正方形面积为（ ）．
A．3 B．12 C．
27
4
D.
16

3
11．已知等腰三角形斜边上中线为5cm，则以直角边为边的正方形面积为（ ）．
A．10cm
2
B．15cm
2
C．50cm
2
D．25cm
2
12．等腰三角形底边上的高为8，腰长为10，则三角形的面积为（ ）．
A．56 B．48 C．40 D．32
13．一个长方形的长是宽的2倍，其对角线的长是5cm，则长方形的长是（ ）．
A．2.5cm B．
5
cm C．2
5
cm D．
5
cm
2
14．如图所示，长方形ABCD中，AB=3，B C=4，若将该矩形折叠，使点C•与点A
重合，则折痕EF的长为（ ）．
A．3.74 B．3.75 C．3.76 D．3.77
A
ED

四、解答题．
15．用尺规在数轴上找出坐标为
5
的点．
16．如图（a～c）所示，求下列直角三角形中未知边的长．
B
FC

17．如图所示，长2.5m的梯子靠在墙上，梯子 的底部离墙角1.5m，•求梯子的顶端与
地面的距离h．

18．如图所示，小方格的面积为1，找出图中以格点为端点且长度为5的线段．

19．如图所示，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，AD=4，AB=3，BC=12，•求正
方形DCEF的面积．

五、探索题
20．做8个全等的直角三 角形（2条直角边长分别为a、b，斜边长为c），再做3•条
边长分别为a、b、c的正方形，把它们 拼成2个正方形（如图所示）
你能利用这2个图形验证勾股定理吗？写出你的验证过程．

答案:
一、1．× 2．×
二、3．5 4．9 5．5或
7
6．30 7．4．8 8．（1）60 （2）112 9．12cm
2

三、10．B 11．C 12．B 13．C 14．B
四、15．提示：用勾股定理 16．•略 17．提示：利用勾股定理h=
2.5
2
1.5
2

18．动手题
19. 在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=5，同理CD=13，S
正方形
DCEF
=CD
2
=169．
五、20．能.