名人故事有哪些-日出

第2讲 三角形一边的平行线（一）

知识框架

本讲主 要讲解三角形一边平行线性质定理及推论，重点是掌握该定理及其推论，分清
该定理及其推论之间的区别 和联系，难点是理解该定理和推论的推导过程中所蕴含的分类
讨论思想和转化思想，并认识“
A
”字型和“
X
”字形这两个基本图形，为后面学习相似
三角形奠定基础．





2.1 三角形一边的平行线性质定理
知识精讲

如图，已知
△ABC
，直线
l
与边< br>AB
、
AC
分别相交于点
D
、
E
，且
l

BC
，试证明
ADAE
．

DBEC
解析：利用同高（或等高）的三角形的面积之比等于底边之比，将题目中的线段的比
转化成三角形的面 积比．
证明：如图，分别连接
EB
、
DC
，设点
E
到
AB
的距离为
h
，则






11
ADh
，
S
EDB
DBh
，
22
S
S
AD
AE
得
EAD

； 同理可得
EAD

．
S
EDB
DB
S
EDC
EC
S
EAD

∵
DE

BC

∵
S
EDB
S
EDC
，得
ADA E
．

DBEC
ADAEDBEC
在图中，还可以得到，等． < br>
ABACABAC
思考：已知
△ABC
，直线
l
与边
AB
、
AC
的延长线（或反向延长线）分别相交于点
D
、
E
，
且
l

BC
，那么
ADAE
成立吗？

DBEC
解析：①当点
D
、
E
在边< br>AB
、
AC
的延长线时：
如图可以看作
△ADE
的两边
AD
、
AE
被平行于
DE
的直线
BC
所截，由以上证明可知
ADAE
成立．

DBEC

1

②当点
D
、E
在边
AB
、
AC
的反向延长线时：
如图，过点D
作直线
AC
的平行线
l'
，设直线
l'
与直 线
BC
相交于点
C'
，在过点
A
作
直线
l
的平行线，交直线
l'
于点
A'
，得
AEA'D
，
ECDC'
．在
△DBC'
中，由
AA'

BC '
，
得
ADA'DADAE
，可知也成立．

DBDC'DBEC

由上述问题的结论，我们得到：
三角形一边平行线的性质定理 平行于三角形一边的直线截三角形其它两边所在的直
线，截得的对应线段成比例．

例题分析

例1. 如图，在
△ABC
中，
AB15< br>，
AC10
，
DE

BC
，
BD6
，则
CE
__________．
例2. 在
△ABC
中，点
D
、若
AD:AB2:3
，
AC
的反向延长线上，
E
分别在
AB
、
DE

BC
，
EC12
厘米，则
AC
________．

例1题图

例2题图

例3题图
例3. 如图，阳光通过窗口照在教室内，在地面上留下2.7米宽的 亮区
ED
．已知亮区一边到
窗下的墙角距离
CE8.7
米，窗口< br>AB1.8
米，求窗口底边离地面的高
BC
____．
例4. 如图在
△ABC
中，
CD
平分
ACB
，
DE
BC
，
AC5
厘米，
长为___________．
例5. 如图，已知
△ABC
是边长为2的等边三角形，
DE

BC
，
S
ECD
:S
BCD
3:4
，则< br>EC
的
长为__________．

AD
3:5
，则
DE
的
AB

例4题图 例5题图


2

例6. 如图，在
△ABC< br>中，
AB10
，
AC8
，点
D
在直线
A B
上，过点
D
作
DE

BC
交直
线
AC
于点
E
．如果
BD4
，求
AE
的长．






例7. 如图，已知在
△A BC
中，
DE

BC
，
EF

AB
，
AE2CE
，
AB6
，
BC9
，求四
边形< br>BDFE
的周长．








例8. 如图，在
△ABC
中，
ABAC
，
A DBC
于点
D
，点
F
是
BC
中点，过点
F
作
BC
的
垂线交
AB
于点
E
，
BD:DC3:2
，求
BE
的值．
EA







3

例9. 如图，已知
P
是
△ABC
的中线
AD
上一点，
PE

A B
，
PF

AC
．求证：
BECF
．




例10. 如图，为
ABCD
对角线
BD< br>上任意一点．求证：
PQPIPRPS
．





例11. 如图，
△ABC
的面积是10，点
D
、
E
、
F
（与
A
、
B
、
C不重合）分别位于
AB
、
BC
、
CA
各边上，而且AD2
，
DB3
，如果
△ABE
的面积和四边形
D BEF
的面积
相等，求
△ABE
的面积．











4

2.2 三角形一边的平行线性质定理推论
知识精讲

如图，已知点
D
、
E
分别在
△ABC
的边
AB
、
AC
上，
DE

BC< br>．那么
成立吗？
解析：三角形一边的平行线性质定理是判断线段成比例的一个依据.这 个定理的条件中
有一条平行于三角形一边的直线，结论中有关的比例线段分别在三角形两边所在的直线< br>上．因此考虑将
DE
平移到边
BC
上去，然后尝试证明
证明： 过点
D
作
DF

AC
，交
BC
于点
F
．








又∵
DE

BC
，
∵ 四边形
DFCE
为平行四边形，得
FCDE
．
∵
DF

AC
， ∵
∵
DEADAE

BCABAC
DEADAE
．

BCABAC
FCAD
．

BCAB
DEAD
．

BCAB
ADAE


ABAC
DEADAE
∵


BCABAC
DEADAE
于是我们证明了．

B CABAC
类似于前一小节的讨论，当
D
、
E
分别在
△AB C
的边
AB
、
AC
的延长线或反向延长
由
DE

BC
，得
线上时，可证明结论同样成立．
由此得到：
三角形一边平行线的性质定理的推论 平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直
线，截得三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．

例题分析

例1. 如图，点
F
是平行四边形
ABCD
的边
CD
上的一点，直线
BF
交
AD
的延 长线于点
E
，
则下列结论错误的是（ ）
EDDFDEEFBCBFBFBC
（A）； （B）； （C）； （D）．

EAABBCFBDEBEBEAE


例1题图


5

例2. 已知小千的身高是
CD1.6
米，他在路灯下的影长
DE2
米，小智与路灯灯杆的底部
B
的距离为
DB3
米，则路灯灯泡
A
距地面的高度
AB< br>___________米．
例3. 如图，在
ABCD
中，点
E< br>在边
DC
上，若
DE:EC1:2
，则
BF:BE
________．
例4. 如图，
E
为平行四边形
ABCD
的 对角线
AC
上一点，
AE2

，
BE
的延长线交< br>CD
的
EC5
延长线于点
G
，交
AD
于点< br>F
，则
BF:FG
的值为___________．


例2题图 例3题图 例4题图

例5. 如图，
△ABC
中，
DE

BC
，
AE3
，
DE4
，
DF2
，
CF 5
，则
EC
______．
例6. 如图，
l
1
l
2
，
AF:FB2:5
，
BC:CD4:1，则
AE:EC
的值为___________．

例5题图 例6题图



例7. 如图，在梯形
ABCD
中，
AD

BC
，对角线
AC
、
BD
交于点
O
，点
E
在
AB
上，且
EO

BC
，已知< br>AD3
，
BC6
．求
EO
的长．




例8. 如图，在梯形
ABCD
中，
AD
BC
，
AD3
，
BC5
，
E
、
F
是两腰上的点，且
EF

AD
，
AE:EB1:2
，求
EF
的长．



6

例9. 如图，在
△ABC
中，
D
是
BC< br>边上的一点，
BD:DC3:1
，
G
为
AD
的中点 ，联 结
BG
并延长
AC
交于
E
，求
EG:GB< br>的值．



例10. 如图，平行四边形
ABCD
中，点
E
、
F
分别在
AB
、
AD
上，< br>EF
交
AC
于点
G
，若
AE:EB2:3
，
AF:AD1:2
，求
AG:AC
的值．







例11. 如图，已知
△ABC
中，点
D
、且
AD:DB3:2
，
AC
上，
A E:EC1:2
，
E
分别在边
AB
、
直线
ED< br>和
CB
的延长线交于点
F
，求
FB:FC
．











7

例12. 如图，在
△ABC
中，设
D
、
E
是
AB
、
AC
上的两点，且
BD CE
，延长
DE
交
BC

的延长线于点
F
，
AB:AC3:5
，
EF12cm
，求
DF
的长．










2.3 三角形的重心
知识精讲

如图，已知
BE
、
CF
是
△ ABC
的中线，交于点
G
，求证：
解析：要证明
GEGF1

．
GBGC2
GEGF
，只要证明
EF

BC
．根据条件，可知
EF
是
△ABC
的中位线，

G BGC
由此可推出所要证明的结论．
证明：联结
EF
，由
BE、
CF
是
△ABC
的中线，可知
EF
是
△AB C
的中位线．
∵
EFBC
；
EF
1
E F1
BC
，即

．
2
BC2
∵
EF

BC
，

GEGFEF
．

GBGCBC
GEGF
∴．

GBGC
想一 想：如果
△ABC
的另一条中线
AD
与
BE
相交于点
G'
，如图，那么这个点
G'
与交
∵
点
G
是否为同一个点？
G'EG'D1

，因为点
G'BG'A2
G'E1
GE1

，且
G'
与点< br>G
同在中线
BE
上，

，所以点
G'
G'B2
GB2
与点
G
是同一点．这就是说三角形三条中线相交于一点．
通过运用上题的证明方法，可得
由此我们得到三角形重心的定义和性质：

8

三角形三条中线交于一点，这一交点叫做三角形的重心．


三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点距离的两倍．
例题分析
AG
=
__________．
AD
例2. 如图，在
△ABC
中，
BC6
，
G
是
△ABC< br>的重心，过
G
作边
BC
的平行线交
AC
于
例 1. 在
△ABC
中，
ABAC
，如果中线
BM
与高AD
相交于点
G
，则
点
H
，则
GH
的 长为____________-．


例1题图 例2题图


2.4 课堂检测
1. 如图，
EF

AB
，
DE

BC
，下列各式正确的是（ ）
（A）
ADBF
；

BDCF
（B）
AECE
；

EDBC
（C）
AEBD
；

ECAD
ADAB
（D）．

EDBC
第
1题图
第2
题图
第3
题图


2. 如图，已知在
△ABC
中，点
D
、
E
分别在边
AB
、
AC
上，
DE

BC
，
AD6
，
BD8
，
AE 4
，则
AC
___________．
3. 如图，已知在
△A BC
中，点
D
、
E
分别在边
BA
、
CA< br>的延长线上，且
DE

BC
，
AE:EC2:7
，< br>AB10
，则
AD
___________．
4. 如图，已知 在
△ABC
中，
DE

BC
，且
AD:AB2:3
，则
EO:EB
的值为_________．
5. 如图，已知点
G
是
△ABC
的重心，
AGC90
，
BG4
，那么
AC=
_________．


第4
题图
第5
题图


9

6. 如图， 已知在
△ABC
中，点
D
、
E
分别在
BC
、
AC
上，
BE
平分
ABC
，
DE
AB
，
CE12
，
AE20
，
AB40
，求
DE
和
CD
的长．







7. 如图，菱形
ADEF
内接于
△ABC
，
AB16
，
BC14
，
AC12
，求BE
的长．






12
8. 如图，在
△ABC
中，点
D
、
F
分别在边
BC
、
AC
上，
CDBC
，
AFA C
，
BF
35
与
AD
相交于点
E
，，求< br>AE:AD
的值．








10

9. 如图，点
G
是
△ABC的重心，过点
G
作直线
l
，交
AB
于点
E，交
AC
于点
F
．
求证：
BECF
1
．
AEAF



10. 如图，
AD
为
△ABC
的角平分线，
BFAD< br>，交
AD
的延长线于点
F
，
AMAD
于
A
，
交
BC
的延长线于
M
，
FC
的延长线交
AM
于
E
．求证：
AEEM
．









2.5 课后作业
ABACAB5
，

，
DE

AC
，则< br>AB:BD
的值为______．
BEECAC3
2. 如图，
AB

EF

CD
，已知
AB20
，
CD30
，则
EF
的长为___________．
3. 如图，在
△AB C
中，
D
是边
BC
上一点，
DF

AB，
DE

CA
．如果
CF2
，
AC5
，
1. 如图，已知在
△ABC
中，
AB6
，那么
DE 
____________．

第1
题图
第2
题图
第3
题图


11

4. 如图，在平行四边形
ABCD中，
E
是
AD
上一点，
CE
与
BD
相 交于点
O
，
CE
与
BA
的
延长线相交于点
G
，已知
DE2AE
，
CE10
，求
GE
和< br>CO
的长．






5. 平行四边形
ABCD
，
E
是
AB
的中点，在直线
A D
上截取
AF2FD
，
EF
交
AC
于
G
，
求
AG
的值．
GC









6. 如图， 在
△ABC
中 ，
DE

BC
，
S
ADE
3
，
S
CBD
18
，求
S
ABC
．







12

7. 如图，< br>M
、
N
分别为
△ABC
中边
AB
、
BC
边上的点，
线
BD
相交于点
O
，求
AM3CN 1

，

，
MN
与中
MB2BN4
DO< br>的值．
BO




8. 如图，在平行四边形< br>ABCD
中，
CD
的延长线上有一点
E
，
BE
交
AC
于点
F
，交
AD
于
点
G
．求证：
BF
2
FGEF
．




9. 已知：在
△ABC
中，
D
、
E
是
BC
上的两点，且
AD

EG
，
EG
交AC
于
F
，交
BA
的
延长线于
G
，若
EFEG2AD
．求证：
AD
是
△ABC
的中线．


13