三角形一边的平行线(一)
名人故事有哪些-日出
第2讲 三角形一边的平行线(一)
知识框架
本讲主
要讲解三角形一边平行线性质定理及推论,重点是掌握该定理及其推论,分清
该定理及其推论之间的区别
和联系,难点是理解该定理和推论的推导过程中所蕴含的分类
讨论思想和转化思想,并认识“
A
”字型和“
X
”字形这两个基本图形,为后面学习相似
三角形奠定基础.
2.1 三角形一边的平行线性质定理
知识精讲
如图,已知
△ABC
,直线
l
与边<
br>AB
、
AC
分别相交于点
D
、
E
,且
l
BC
,试证明
ADAE
.
DBEC
解析:利用同高(或等高)的三角形的面积之比等于底边之比,将题目中的线段的比
转化成三角形的面
积比.
证明:如图,分别连接
EB
、
DC
,设点
E
到
AB
的距离为
h
,则
11
ADh
,
S
EDB
DBh
,
22
S
S
AD
AE
得
EAD
;
同理可得
EAD
.
S
EDB
DB
S
EDC
EC
S
EAD
∵
DE
BC
∵
S
EDB
S
EDC
,得
ADA
E
.
DBEC
ADAEDBEC
在图中,还可以得到,等. <
br>
ABACABAC
思考:已知
△ABC
,直线
l
与边
AB
、
AC
的延长线(或反向延长线)分别相交于点
D
、
E
,
且
l
BC
,那么
ADAE
成立吗?
DBEC
解析:①当点
D
、
E
在边<
br>AB
、
AC
的延长线时:
如图可以看作
△ADE
的两边
AD
、
AE
被平行于
DE
的直线
BC
所截,由以上证明可知
ADAE
成立.
DBEC
1
②当点
D
、E
在边
AB
、
AC
的反向延长线时:
如图,过点D
作直线
AC
的平行线
l'
,设直线
l'
与直
线
BC
相交于点
C'
,在过点
A
作
直线
l
的平行线,交直线
l'
于点
A'
,得
AEA'D
,
ECDC'
.在
△DBC'
中,由
AA'
BC
'
,
得
ADA'DADAE
,可知也成立.
DBDC'DBEC
由上述问题的结论,我们得到:
三角形一边平行线的性质定理
平行于三角形一边的直线截三角形其它两边所在的直
线,截得的对应线段成比例.
例题分析
例1. 如图,在
△ABC
中,
AB15<
br>,
AC10
,
DE
BC
,
BD6
,则
CE
__________.
例2. 在
△ABC
中,点
D
、若
AD:AB2:3
,
AC
的反向延长线上,
E
分别在
AB
、
DE
BC
,
EC12
厘米,则
AC
________.
例1题图
例2题图
例3题图
例3. 如图,阳光通过窗口照在教室内,在地面上留下2.7米宽的
亮区
ED
.已知亮区一边到
窗下的墙角距离
CE8.7
米,窗口<
br>AB1.8
米,求窗口底边离地面的高
BC
____.
例4.
如图在
△ABC
中,
CD
平分
ACB
,
DE
BC
,
AC5
厘米,
长为___________.
例5. 如图,已知
△ABC
是边长为2的等边三角形,
DE
BC
,
S
ECD
:S
BCD
3:4
,则<
br>EC
的
长为__________.
AD
3:5
,则
DE
的
AB
例4题图 例5题图
2
例6. 如图,在
△ABC<
br>中,
AB10
,
AC8
,点
D
在直线
A
B
上,过点
D
作
DE
BC
交直
线
AC
于点
E
.如果
BD4
,求
AE
的长.
例7. 如图,已知在
△A
BC
中,
DE
BC
,
EF
AB
,
AE2CE
,
AB6
,
BC9
,求四
边形<
br>BDFE
的周长.
例8. 如图,在
△ABC
中,
ABAC
,
A
DBC
于点
D
,点
F
是
BC
中点,过点
F
作
BC
的
垂线交
AB
于点
E
,
BD:DC3:2
,求
BE
的值.
EA
3
例9. 如图,已知
P
是
△ABC
的中线
AD
上一点,
PE
A
B
,
PF
AC
.求证:
BECF
.
例10. 如图,为
ABCD
对角线
BD<
br>上任意一点.求证:
PQPIPRPS
.
例11. 如图,
△ABC
的面积是10,点
D
、
E
、
F
(与
A
、
B
、
C不重合)分别位于
AB
、
BC
、
CA
各边上,而且AD2
,
DB3
,如果
△ABE
的面积和四边形
D
BEF
的面积
相等,求
△ABE
的面积.
4
2.2 三角形一边的平行线性质定理推论
知识精讲
如图,已知点
D
、
E
分别在
△ABC
的边
AB
、
AC
上,
DE
BC<
br>.那么
成立吗?
解析:三角形一边的平行线性质定理是判断线段成比例的一个依据.这
个定理的条件中
有一条平行于三角形一边的直线,结论中有关的比例线段分别在三角形两边所在的直线<
br>上.因此考虑将
DE
平移到边
BC
上去,然后尝试证明
证明:
过点
D
作
DF
AC
,交
BC
于点
F
.
又∵
DE
BC
,
∵
四边形
DFCE
为平行四边形,得
FCDE
.
∵
DF
AC
, ∵
∵
DEADAE
BCABAC
DEADAE
.
BCABAC
FCAD
.
BCAB
DEAD
.
BCAB
ADAE
ABAC
DEADAE
∵
BCABAC
DEADAE
于是我们证明了.
B
CABAC
类似于前一小节的讨论,当
D
、
E
分别在
△AB
C
的边
AB
、
AC
的延长线或反向延长
由
DE
BC
,得
线上时,可证明结论同样成立.
由此得到:
三角形一边平行线的性质定理的推论
平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直
线,截得三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
例题分析
例1. 如图,点
F
是平行四边形
ABCD
的边
CD
上的一点,直线
BF
交
AD
的延
长线于点
E
,
则下列结论错误的是( )
EDDFDEEFBCBFBFBC
(A); (B); (C); (D).
EAABBCFBDEBEBEAE
例1题图
5
例2. 已知小千的身高是
CD1.6
米,他在路灯下的影长
DE2
米,小智与路灯灯杆的底部
B
的距离为
DB3
米,则路灯灯泡
A
距地面的高度
AB<
br>___________米.
例3. 如图,在
ABCD
中,点
E<
br>在边
DC
上,若
DE:EC1:2
,则
BF:BE
________.
例4. 如图,
E
为平行四边形
ABCD
的
对角线
AC
上一点,
AE2
,
BE
的延长线交<
br>CD
的
EC5
延长线于点
G
,交
AD
于点<
br>F
,则
BF:FG
的值为___________.
例2题图 例3题图
例4题图
例5. 如图,
△ABC
中,
DE
BC
,
AE3
,
DE4
,
DF2
,
CF
5
,则
EC
______.
例6. 如图,
l
1
l
2
,
AF:FB2:5
,
BC:CD4:1,则
AE:EC
的值为___________.
例5题图 例6题图
例7. 如图,在梯形
ABCD
中,
AD
BC
,对角线
AC
、
BD
交于点
O
,点
E
在
AB
上,且
EO
BC
,已知<
br>AD3
,
BC6
.求
EO
的长.
例8. 如图,在梯形
ABCD
中,
AD
BC
,
AD3
,
BC5
,
E
、
F
是两腰上的点,且
EF
AD
,
AE:EB1:2
,求
EF
的长.
6
例9. 如图,在
△ABC
中,
D
是
BC<
br>边上的一点,
BD:DC3:1
,
G
为
AD
的中点
,联 结
BG
并延长
AC
交于
E
,求
EG:GB<
br>的值.
例10. 如图,平行四边形
ABCD
中,点
E
、
F
分别在
AB
、
AD
上,<
br>EF
交
AC
于点
G
,若
AE:EB2:3
,
AF:AD1:2
,求
AG:AC
的值.
例11. 如图,已知
△ABC
中,点
D
、且
AD:DB3:2
,
AC
上,
A
E:EC1:2
,
E
分别在边
AB
、
直线
ED<
br>和
CB
的延长线交于点
F
,求
FB:FC
.
7
例12. 如图,在
△ABC
中,设
D
、
E
是
AB
、
AC
上的两点,且
BD
CE
,延长
DE
交
BC
的延长线于点
F
,
AB:AC3:5
,
EF12cm
,求
DF
的长.
2.3 三角形的重心
知识精讲
如图,已知
BE
、
CF
是
△
ABC
的中线,交于点
G
,求证:
解析:要证明
GEGF1
.
GBGC2
GEGF
,只要证明
EF
BC
.根据条件,可知
EF
是
△ABC
的中位线,
G
BGC
由此可推出所要证明的结论.
证明:联结
EF
,由
BE、
CF
是
△ABC
的中线,可知
EF
是
△AB
C
的中位线.
∵
EFBC
;
EF
1
E
F1
BC
,即
.
2
BC2
∵
EF
BC
,
GEGFEF
.
GBGCBC
GEGF
∴.
GBGC
想一
想:如果
△ABC
的另一条中线
AD
与
BE
相交于点
G'
,如图,那么这个点
G'
与交
∵
点
G
是否为同一个点?
G'EG'D1
,因为点
G'BG'A2
G'E1
GE1
,且
G'
与点<
br>G
同在中线
BE
上,
,所以点
G'
G'B2
GB2
与点
G
是同一点.这就是说三角形三条中线相交于一点.
通过运用上题的证明方法,可得
由此我们得到三角形重心的定义和性质:
8
三角形三条中线交于一点,这一交点叫做三角形的重心.
三角形的重心到一个顶点的距离,等于它到这个顶点对边中点距离的两倍.
例题分析
AG
=
__________.
AD
例2.
如图,在
△ABC
中,
BC6
,
G
是
△ABC<
br>的重心,过
G
作边
BC
的平行线交
AC
于
例
1. 在
△ABC
中,
ABAC
,如果中线
BM
与高AD
相交于点
G
,则
点
H
,则
GH
的
长为____________-.
例1题图
例2题图
2.4 课堂检测
1. 如图,
EF
AB
,
DE
BC
,下列各式正确的是( )
(A)
ADBF
;
BDCF
(B)
AECE
;
EDBC
(C)
AEBD
;
ECAD
ADAB
(D).
EDBC
第
1题图
第2
题图
第3
题图
2. 如图,已知在
△ABC
中,点
D
、
E
分别在边
AB
、
AC
上,
DE
BC
,
AD6
,
BD8
,
AE
4
,则
AC
___________.
3. 如图,已知在
△A
BC
中,点
D
、
E
分别在边
BA
、
CA<
br>的延长线上,且
DE
BC
,
AE:EC2:7
,<
br>AB10
,则
AD
___________.
4. 如图,已知
在
△ABC
中,
DE
BC
,且
AD:AB2:3
,则
EO:EB
的值为_________.
5. 如图,已知点
G
是
△ABC
的重心,
AGC90
,
BG4
,那么
AC=
_________.
第4
题图
第5
题图
9
6. 如图,
已知在
△ABC
中,点
D
、
E
分别在
BC
、
AC
上,
BE
平分
ABC
,
DE
AB
,
CE12
,
AE20
,
AB40
,求
DE
和
CD
的长.
7. 如图,菱形
ADEF
内接于
△ABC
,
AB16
,
BC14
,
AC12
,求BE
的长.
12
8. 如图,在
△ABC
中,点
D
、
F
分别在边
BC
、
AC
上,
CDBC
,
AFA
C
,
BF
35
与
AD
相交于点
E
,,求<
br>AE:AD
的值.
10
9. 如图,点
G
是
△ABC的重心,过点
G
作直线
l
,交
AB
于点
E,交
AC
于点
F
.
求证:
BECF
1
.
AEAF
10. 如图,
AD
为
△ABC
的角平分线,
BFAD<
br>,交
AD
的延长线于点
F
,
AMAD
于
A
,
交
BC
的延长线于
M
,
FC
的延长线交
AM
于
E
.求证:
AEEM
.
2.5 课后作业
ABACAB5
,
,
DE
AC
,则<
br>AB:BD
的值为______.
BEECAC3
2. 如图,
AB
EF
CD
,已知
AB20
,
CD30
,则
EF
的长为___________.
3. 如图,在
△AB
C
中,
D
是边
BC
上一点,
DF
AB,
DE
CA
.如果
CF2
,
AC5
,
1. 如图,已知在
△ABC
中,
AB6
,那么
DE
____________.
第1
题图
第2
题图
第3
题图
11
4. 如图,在平行四边形
ABCD中,
E
是
AD
上一点,
CE
与
BD
相
交于点
O
,
CE
与
BA
的
延长线相交于点
G
,已知
DE2AE
,
CE10
,求
GE
和<
br>CO
的长.
5.
平行四边形
ABCD
,
E
是
AB
的中点,在直线
A
D
上截取
AF2FD
,
EF
交
AC
于
G
,
求
AG
的值.
GC
6. 如图, 在
△ABC
中
,
DE
BC
,
S
ADE
3
,
S
CBD
18
,求
S
ABC
.
12
7. 如图,<
br>M
、
N
分别为
△ABC
中边
AB
、
BC
边上的点,
线
BD
相交于点
O
,求
AM3CN
1
,
,
MN
与中
MB2BN4
DO<
br>的值.
BO
8. 如图,在平行四边形<
br>ABCD
中,
CD
的延长线上有一点
E
,
BE
交
AC
于点
F
,交
AD
于
点
G
.求证:
BF
2
FGEF
.
9. 已知:在
△ABC
中,
D
、
E
是
BC
上的两点,且
AD
EG
,
EG
交AC
于
F
,交
BA
的
延长线于
G
,若
EFEG2AD
.求证:
AD
是
△ABC
的中线.
13