高山流水是成语吗-压岁钱的由来

八年级数学巧用换元法解题

1．精选妙题：
计算

yx

zx

zy

xy

xz

yz


．

x z2y

xy2z

xy2z

yz 2x

yz2x

xz2y

2．常规策略 ：
一般可用全部通分解．
3．巧妙解法：
设
xya
，
yzb
，
zxc
．
acabbc
原式



abbcbccacaab



ac

ca

ab

ab
bc

bc


abbcca




a b

bc

ca

1
．
< br>ab

bc

ca

4．画龙点睛：
通过观察发现，
xy2z

yz



zx

，
xz2y

xy



yz

，
yz2x

zx



xy

，从而启发我们可用换元法．
5．相关链接：

2x3y

⑴计算
⑵求证：
3
2x3y1


3y2x


2
2x3y
2x3y
．
2x3y1
bccaab222
．


ab

ac

bc

ba
< br>ca

cb

abbcca
⑶已知
x yz3a
，且
a0
，
x
、
y
、
z< br>不全相等．求

xa

ya


< br>ya

za



za

xa

的值．
222

xa



ya



za

14

11






2

ab
ab

ab

1

11






ab

ab
2
2< br>⑷化简．
111
⑸已知
1997x
2
1999y
2
2001z
2
，
x0
、
y0
、
z 0
且
1
，
xyz
求证：
1997x1999y 2001z199719992001
．
八年级数学巧用换元法解题

参考答案
1．设
2x3yt
．
原式

t
3
t
2
ttt
2
t12

t

22

tt

t

 tt

1


t


．
t1t1t1t1t1t1t1t1t1t1




t


2t

t 1

t1

．把
2x3yt
代入上式，得原式
2

2x3y

6y4x

． 
2x3y1

2x3y1

2x3y1
2x3y1

nlmn
2
l
2
m
2
2．设
abm
，
bcn
，
cal< br>．左边

．因

m

l

n

m

l

n

mnl为
mnl0
，
所以

mnl

2
0
，即
m
2
n
2
l
2
2 mn2nl2lm0
．所以
m
2
n
2
l
2
2

mnnllm

，
整体代入上式，得：原 式
2

mnnllm

222

，再将所 设代入此式得原式
mnlmnl
222
．

abbcca
3．设
xam
，
yan
，
zat
，不 全相等．原式

xyz3a
，
mnnttm
．因为m
2
n
2
t
2
所以
xayaz a0
，故
mnt0
，即
m
2
n
2
t
2
2

mnnttm

0
，
所以原式
mnnttm1
．

m
2
n< br>2
t
2
2
2
4．原式

14
< br>11




3
ab

ab

2

aa

1

11






ab

ab
2
< br>14

ab


3
ab

ab

2

ab

2

ab

a
2
b
2
2

1
ab
．
设
abm
，
原
m
2
n
2
3n

1
n
．
ab
式
4
222
2
422
mn1mn4
2

ab4 ab
mn3mn444abab


m
1
2
1

22
22
nmnn
2
m4
m
2
nmn
nm
2

m
2
n1


ab


ab

a b

1997x
2
1999y
2
2001y
2
2001z
2
k

k0

．
5． 令，则

1997x1999y2001z
kkk
k
．
xyz
又因为
1997
k
x
2
，< br>1999
k
y
2
，
2001
k
z
2
．所以
199719992001
kkk
k
，
xyz
所以
1997x1999y2001z199719992001
．