（
2
）根据
BE
是
⊙O
的切线，则
∠EBA=90°
，即可求得
∠P=30°
，再由
PD
为
⊙O
的切线，得
∠PDO=9 0°
，根据三角函数的定义求得
OD
，由勾股定理得
OP
，即可得出
PA
；

（
3
）根据题意可证得
∠ADF=∠PD A=∠PBD=∠ABF
，由
AB
是圆
O
的直径，得
∠AD B=90°
，
设
∠PBD=x°
，则可表示出
∠DAF=∠PAD= 90°+x°
，
∠DBF=2x°
，由圆内接四边形的性质得出
x
的 值，可得出
△BDE
是等边三角形．进而证出四边形
DFBE
为菱形．

【详解】

（
1
）直线
PD
为
⊙O
的切线，

理由如下：

如图
1
，连接
OD
，


∵AB
是圆
O
的直径，

∴∠ADB=90°
，

∴∠ADO+∠BDO=90°
，

又
∵DO=BO
，

∴∠BDO=∠PBD
，

∵∠PDA=∠PBD
，

∴∠BDO=∠PDA
，

∴∠ADO+∠PDA=90°
，即
PD⊥OD
，

∵
点
D
在
⊙O
上，

∴
直线
PD
为
⊙O
的切线；

（
2
）
∵BE
是
⊙O
的切线，

∴∠EBA=90°
，

∵∠BED=60°
，

∴∠P=30°
，

∵PD
为
⊙O
的切线，

∴∠PDO=90°
，

在
Rt△PDO
中，
∠P =30°
，
PD=
3
，

∴
tan30
∴
PO
0
OD
，解得
OD=1
，

PD
PD
2
OD
2
=2
，

∴PA=PO
﹣
AO=2
﹣
1=1
；

（
3
）如图
2
，

依题意得：
∠ADF=∠PDA
，
∠PAD=∠DAF
，

∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF
，

∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF
，

∵AB
是圆
O
的直径，

∴∠ADB=90°
，

设
∠PBD=x°
，则
∠ DAF=∠PAD=90°+x°
，
∠DBF=2x°
，

∵
四边形
AFBD
内接于
⊙O
，

∴∠DAF+∠DBF=180°
，

即
90°+x+2x=180°
，解得
x=30°
，

∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°
，

∵BE
、
ED
是
⊙O
的切线，

∴DE=BE
，
∠EBA=90°
，

∴∠DBE=60°
，
∴△BDE
是等边三角形，

∴BD=DE=BE
，

又
∵∠FDB=∠ADB
﹣
∠ADF=90°
﹣
30°=60°∠DBF=2x°=60°
，

∴△BDF
是等边三角形，

∴BD=DF=BF
，

∴DE=BE=DF=BF
，

∴
四边形
DFBE
为菱形
.


【点睛】

本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的 性质，是中档
题，难度较大．


7
．如图，在平面直角坐标系中， 直线
DE
交
x
轴于点
E
（
30
，
0
），交
y
轴于点
D
（
0
，
1
x +5
交
x
轴于点
A
，交
y
轴于点
B
，交直线
DE
于点
P
，过点
E
作
3
EF ⊥x
轴交直线
AB
于点
F
，以
EF
为一边向右作正 方形
EFGH
．

（
1
）求边
EF
的长；

40
），直线< br>AB
：
y
＝
（
2
）将正方形
EFGH
沿射线
FB
的方向以每秒
10
个单位的速度匀速平移，得到正方形
E
1
F
1
G
1
H
1
，在平移过程中边F
1
G
1
始终与
y
轴垂直，设平移的时间为
t
秒（
t
＞
0
）．

①
当点
F1
移动到点
B
时，求
t
的值；

②
当
G
1
，
H
1
两点中有一点移动到直线
DE
上时，请直接写出此时正方形
E
1
F
1
G
1
H1
与
△APE
重叠部分的面积．

【 答案】（
1
）
EF
＝
15
；（
2
）
①10
；
②120
；

【解析】

【分析】

（
1
）根据已知点
E
（
30< br>，
0
），点
D
（
0
，
40
），求出 直线
DE
的直线解析式
y=-
求出
P
点坐标，进而求出F
点坐标即可；

（
2
）
①
易求
B< br>（
0
，
5
），当点
F
1
移动到点
B
时，
t=10
10
÷
10
=10
；
②F
点移动到
F'
的距离是
10
t
，
F
垂直
x
轴方向移动的距离是
t
，当点
H
运动到直线
DE
上时，在
Rt△F'NF
中，
t=4
，
S=
4
x+40
，可
3
NF1MH

4

，< br>=
，
EM=NG'=15-F'N=15-3t
，在
Rt△DMH'< br>中，
NF

3EM3
1451023PK1
×(12+)×1 1==
，；当点
G
运动到直线
DE
上时，在
Rt△F'PK
中，
248F

K3
PKt34
＝＝，
t=7< br>，
S=15×
（
15-7
）
=120.

K G

153t93
PK=t-3
，
F'K=3t-9
， 在
Rt△PKG'
中，
【详解】

（
1
）设直线< br>DE
的直线解析式
y
＝
kx+b
，

将点< br>E
（
30
，
0
），点
D
（
0
，
40
），

∴


30kb0
，

b40
< br>4


k
∴

3
，



b40
∴y
＝﹣
4
x+40
，
< br>3
直线
AB
与直线
DE
的交点
P
（
21
，
12
），

由题意知
F
（
30
，
15
），

∴EF
＝
15
；

（
2
）
①易求
B
（
0
，
5
），

∴BF
＝
10
10
，

∴
当点
F
1
移动到点
B
时，
t
＝
10
1010< br>＝
10
；

②
当点
H
运动到直线
DE
上时，


F
点移动到
F'
的距离是
10
t
，

在
Rt△F'NF
中，
NF1
=
，

NF

3
∴FN
＝
t
，
F'N
＝
3t
，

∵MH'
＝
FN
＝
t
，
< br>EM
＝
NG'
＝
15
﹣
F'N
＝
1 5
﹣
3t
，

在
Rt△DMH'
中，

MH

4

，

EM3
t4

，

153t3
∴t
＝
4
，

∴
∴EM＝
3
，
MH'
＝
4
，

1451023
(12)11
；

248
当点
G
运动到直线
DE
上时，

∴S
＝

F
点移动到
F'
的距离是
10
t
，

∵PF
＝
3
10
，

∴PF'
＝
10
t
﹣
3
10
，

在
Rt△F'PK
中，

PK1

，
< br>F

K3

∴PK
＝
t
﹣
3< br>，
F'K
＝
3t
﹣
9
，

在
Rt△PKG'
中，
∴t
＝
7
，
∴S
＝
15×
（
15
﹣
7
）＝
120 .

【点睛】

本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数 法求函数解析式，利用三角
形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准 确确定阴影
部分的面积是解题的关键．

PKt34
＝＝，

KG

153t93

8
．如图（
1
），已知正方形
ABCD
在直线
MN
的上方
BC
在直线MN
上，
E
是
BC
上一点，
以
AE
为 边在直线
MN
的上方作正方形
AEFG
．

（
1< br>）连接
GD
，求证：
△ADG≌△ABE
；

（2
）连接
FC
，观察并直接写出
∠FCN
的度数（不要写出解答 过程）

（
3
）如图（
2
），将图中正方形
ABC D
改为矩形
ABCD
，
AB
＝
6
，
BC< br>＝
8
，
E
是线段
BC
上一
动点（不含端点< br>B
、
C
），以
AE
为边在直线
MN
的上方作 矩形
AEFG
，使顶点
G
恰好落在射
线
CD
上．判 断当点
E
由
B
向
C
运动时，
∠FCN
的大 小是否总保持不变，若
∠FCN
的大小不
变，请求出
tan∠FCN
的值．若
∠FCN
的大小发生改变，请举例说明．


【答案】（< br>1
）见解析；（
2
）
∠FCN
＝
45°
，理 由见解析；（
3
）当点
E
由
B
向
C
运动时 ，
∠FCN
的大小总保持不变，
tan∠FCN
＝
【解析】

【分析】

（
1
）根据三角形判定方法进行证明即可．
< br>（
2
）作
FH⊥MN
于
H
．先证
△ABE≌ △EHF
，得到对应边相等，从而推出
△CHF
是等腰直角
三角形，
∠FCH
的度数就可以求得了．

（
3
）解法同（
2
），结合（
1
）（
2
）得：
△EFH≌△GAD
，
△EFH∽△ABE
，得出
EH=AD=BC=8
，由三角函数定义即可得出结论．

【详解】

（
1
）证明：
∵
四边形ABCD
和四边形
AEFG
是正方形，

∴AB
＝AD
，
AE
＝
AG
＝
EF
，
∠BAD
＝
∠EAG
＝
∠ADC
＝
90°
，
∴∠BAE+∠EAD
＝
∠DAG+∠EAD
，
∠ADG
＝90°
＝
∠ABE
，

∴∠BAE
＝
∠DAG
，

4
．理由见解析
.

3

在
△ADG
和
△ABE
中，


ADGABE


DAGBAE
，


ADAB

∴△ADG≌△ABE
（
AAS
） ．

（
2
）解：
∠FCN
＝
45°
，理由 如下：

作
FH⊥MN
于
H
，如图
1
所示：


则
∠EHF
＝
90°
＝
∠ABE
，

∵∠AEF
＝
∠ABE
＝
90°
，

∴∠ BAE+∠AEB
＝
90°
，
∠FEH+∠AEB
＝
90°
，

∴∠FEH
＝
∠BAE
，在
△EFH
和
△ABE
中，


EHFABE


FEHBAE
，


EFAE

∴△EFH≌△ABE
（
AAS
） ，

∴FH
＝
BE
，
EH
＝
AB
＝
BC
，

∴CH
＝
BE
＝
FH
，

∵∠FHC
＝
90°
，

∴∠FCN
＝
45°
．

（
3
）当点E
由
B
向
C
运动时，
∠FCN
的大小总保持不 变，理由如下：

作
FH⊥MN
于
H
，如图
2
所示：


由已知可得
∠EAG
＝
∠BAD
＝
∠AEF＝
90°
，

结合（
1
）（
2
）得：
△EFH≌△GAD
，
△EFH∽△ABE
，

∴EH
＝
AD
＝
BC
＝
8
，

∴CH
＝
BE
，

∴
EHFHFH

；

ABBECH
FHEH84

，

CHAB63
在
Rt△FEH
中，
tan∠FCN
＝
∴
当点
E
由
B
向
C
运动时，
∠FCN
的大小总保持不变，< br>tan∠FCN
＝
【点睛】

4
．

3本题是四边形综合题目，考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的
综合运用， 其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例．


9
．如图 ，在平面直角坐标系中，菱形
ABCD
的边
AB
在
x
轴上， 点
B
坐标（﹣
6
，
0
），点
C
在
y
轴正半轴上，且
cosB
＝
3
，动点
P
从点C
出发，以每秒一个单位长度的速度向
D
点
5
移动（
P
点到达
D
点时停止运动），移动时间为
t
秒，过点
P
作平行于
y
轴的直线
l
与菱形
的其它边交于点
Q
．

（
1
）求点
D
坐标；

（
2
）求
△OPQ
的面积
S
关于
t
的函数关系式，并求 出
S
的最大值；

（
3
）在直线
l
移动过 程中，是否存在
t
值，使
S
＝
不存在，请说明理由．
3
S
？若存在，求出
t
的值；若
20
菱形ABCD
【答案】（
1
）点
D
的坐标为（
10
，8
）．（
2
）
S
关于
t
的函数关系式为
S
＝
t4)

4t(0剟
50

，
S< br>的最大值为．（
3
）
3
或
5+
7
.


2
2
20
tt(4t
„
10)
3

3

3
【解析】

【分析】

（
1
）在
Rt△BOC
中，求
BC,OC,
根据菱形性质再 求
D
的坐标；（
2
）分两种情况分析：
①
当
0≤t ≤4
时和
②
当
4
＜
t≤10
时，根据面积公式列出 解析式，再求函数的最值；（
3
）分两
种情况分析：当
0≤t≤4
时 ，
4t
＝
12
，；当
4
＜
t≤10
时，< br>
【详解】

2
2
20
tt12
33

解：（
1
）在
Rt△BOC
中，
∠ BOC
＝
90°
，
OB
＝
6
，
cosB< br>＝
3
，

5
BC
OB
10

cosB
OCBC
2
OB
2
8
∵
四边形
ABCD
为菱形，
CD∥x
轴，

∴
点
D
的坐标为（
10
，
8
）．

（
2
）
∵AB
＝
BC
＝
10
，点
B
的坐标为（﹣
6
，
0
），

∴
点
A
的坐标为（
4
，
0
）．

分两种情况考虑，如图
1
所示．

①
当
0≤t≤4
时，
PQ
＝
OC
＝
8
，
OQ
＝< br>t
，

1
PQ•OQ
＝
4t
，

2
∵4
＞
0
，

∴S
＝
∴
当
t
＝
4
时，
S
取得最大值，最大值为
16；

②
当
4
＜
t≤10
时，设直线
A D
的解析式为
y
＝
kx+b
（
k≠0
），

将
A
（
4
，
0
），
D
（
10
，
8
）代入
y
＝
kx+b
，得：
< br>4

k


4kb0

3
， 解得：

，


16
10kb8


b

3

∴
直线
AD
的解析式为y
当
x
＝
t
时，
y
416
x< br>．

33
416
t
，

33
< br>416

4
PQ8

t

(10 t)

3

3

3
S
1220PQOPt
2
t

233
2202502
QS tt(t5)
2
,0
∴
当
t
＝
5
时，
S
取得最大值，最大值为
33333
50
．

3
t4)

4t(0剟
50

综上所述：
S
关于
t
的函数关系式为
S
＝

2
220
，
S
的最大值为．

tt(4t
„
10)
3

3

3
（
3
）
S菱形
ABCD
＝
AB•OC
＝
80
．

当
0≤t≤4
时，
4t
＝
12
，

解得：
t
＝
3
；

当
4< br>＜
t≤10
时，

2
2
20
tt
＝
12
，

33
3
S
菱形ABCD
，t
的值为
3
或
5+
7
．

20
解得：
t
1
＝
5
﹣
7
（舍去），
t2
＝
5+
7
．

综上所述：在直线
l
移动过程中，存在
t
值，使
S
＝

【点睛】
< br>考核知识点：一次函数和二次函数的最值问题
.
数形结合，分类讨论是关键
.< br>

10
．现有一个
“Z“
型的工件（工件厚度忽略不计）， 如图所示，其中
AB
为
20cm
，
BC
为
60cm
，
∠ABC
＝
90
，
∠BCD
＝
60°< br>，求该工件如图摆放时的高度（即
A
到
CD
的距
离）．（结果 精确到
0.1m
，参考数据：
≈1.73
）


【答案】工件如图摆放时的高度约为
61.9cm
．

【解析】

【分析】

过点
A
作
AP⊥C D
于点
P
，交
BC
于点
Q
，由
∠CQP< br>＝
∠AQB
、
∠CPQ
＝
∠B
＝
90°知
∠A
＝
∠C
＝
60°
，在
△ABQ
中求得分别求得
AQ
、
BQ
的长，结合
BC
知
CQ
的长，在
△CPQ
中可得
PQ
，根据
AP
＝
AQ+PQ
得出答案．

【详解】

解：如图，过点
A< br>作
AP⊥CD
于点
P
，交
BC
于点
Q
，

∵∠CQP
＝
∠AQB
，
∠CPQ
＝
∠B
＝
90°
，

∴∠A
＝
∠C
＝
60°
，

在
△ ABQ
中，
∵AQ
＝
BQ
＝
ABtanA
＝
20tan60°
＝
20
∴CQ
＝
BC
﹣
BQ< br>＝
60
﹣
20
∴AP
＝
AQ+PQ
＝
40+30
（
【点睛】

本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角 函数的定义求得相关线段的长度是解题
的关键．

（
cm
），

（
cm
），

）< br>sin60°
＝
30
（﹣
1
）
cm
，

（
cm
），

﹣
1
）
≈61.9
（
cm
），

在
△CPQ
中，
∵PQ
＝
CQsinC
＝（
60< br>﹣
20
答：工件如图摆放时的高度约为
61.9cm
．


11．如图，某次中俄“海上联合”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°．位于 军
舰A正上方1000米的反潜直升机B侧得潜艇C的俯角为68°．试根据以上数据求出潜艇C
离开海平面的下潜深度．（结果保留整数．参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，
tan68°≈2.5，
3
≈1.7）


【答案】潜艇
C
离开海平面的下潜深度约为
308
米
【解析】试题分析：过点
C
作
CD⊥AB
，交
BA
的延 长线于点
D
，则
AD
即为潜艇
C
的下潜
深度，用锐 角三角函数分别在
Rt
△
ACD
中表示出
CD
和在
Rt
△
BCD
中表示出
BD
，利用
BD=AD+AB
二者之间的关系列出方程求解．

试题解析：过点
C
作
CD
⊥
AB
，交
BA
的延长线于点
D
，则
AD
即为潜艇
C
的下潜深度，根
据题意得：
∠
ACD=30°
，
∠
BCD=68°
，

设
AD=x
，则
BD=BA+AD=1000+x
，

ADx
= =
3x


tanACDtan300
在
Rt
△
BCD
中，
BD=CD•tan68°，

在Rt
△
ACD中，CD=
∴325+x=
3x
•tan68°

解得：
x≈100
米，

∴
潜艇
C
离开海平面的下潜深度为
100
米．

点睛：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，从题目中 找出直角三
角形并选择合适的边角关系求解．

视频


1 2
．近几年，我国国家海洋局高度重视海上巡逻．如图，上午
9
时，巡逻船位于
A
处，观
测到某港口城市
P
位于巡逻船的北偏西
67.5°
，巡逻船以
21
海里

时的速度向正北方向行
驶，下午
2< br>时巡逻船到达
B
处，这时观测到城市
P
位于巡逻船的南偏西
3 6.9°
方向，求此时
巡逻船所在
B
处与城市
P
的距离？（ 参考数据：
sin36.9°≈
tan67.5°≈
3
312
，tan36.9°≈
，
sin67.5°≈
，
513
4
12
）

5

【答案】
100
海里

【解析】

【分析】

过点
P
作
PC⊥A B
，构造直角三角形，设
PC=x
海里，用含有
x
的式子表示
AC
，
BC
的值，
从而求出
x
的值，再根据三角函数值求 出
BP
的值即可解答．

【详解】

解：过点
P< br>作
PC⊥AB
，垂足为
C
，设
PC=x
海里．

在
Rt△APC
中，
∵tan∠A=
，

∴AC=
，

在
Rt△PCB
中，
∵tan∠B=
，

∴BC=
∴
∵
∴
【点睛】

本题考查了方向角问题 ，注意结合实际问题，利用解直角三角形的相关知识求解是解此题
的关键，注意数形结合思想的应用.

，

，解得
x=60
，

，

（海里）．

∵AC+BC=AB=21×5
，

∴
巡逻船所在
B
处与城市
P
的距离为
100
海里．