增肥方法-圆的认识练习题

第三课时
排列组合问题的解题方法（三）
教学目标：
掌握几类特殊的排列问题的解决技巧.
教学重点：掌握“容斥原理”、“错位排列”、“圆桌排列”等问题的解题技巧.
教学难点：如何应用“技巧”解题．
教学过程：
【例析技巧】
七. 用容斥原理解排列问题
有些排列组合问题可转化为求集合的元素的个数来求.充分应用容斥原理：
n(AB)n(A)n(B)n(AB)

n(ABC)n(A) n(B)n(C)n(AB)n(BC)n(AB)n(ABC)
.
例14 五人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少种不同的站法.
解： 这个问题在高中很多参考书上都有，有几种解法，其中一解法是用排除法：先考虑
544
5个有 的全排列，有
A
5
种不同的排法，然后除去甲排第一（有
A
4
种）与乙排第二（也有
A
4
种），但两种又有重复部分，因此多减，必须加上多减部 分，这样得到共有：
543
A
5
2A
4
A
3
78
种.
例15 有5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，丙不站第三位，共
有多少种不同的站法. 5432
仿上分析可得：
A
5
3A
4
3A
3
A
2
64
种.
八.均匀分组问题．
CC C
m
一般地：将
mn
个不同元素均匀分成
n
组（每组
m
个元素），共有
mnmnm
种
n
A
n
方法．
例16 有6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：
（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；
（2）分为三份，每份2本；
（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；
（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；
mmm

（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本.
222
解：（1）根据分步计数原理得到：
C
6
C
4
C
2
90
种；
222
（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有
C
6< br>C
4
C
2
种方法，这个过程可以分两步完成：
第一步分为三份 ，每份两本，设有
x
种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有
A
3
3
种方法．根据分步计数原理可得：
CCCxC
2
6
2
4
2
2
3
3
，所以
222
C
6< br>C
4
C
2
x15
．因此，
3
A
3
分为三份，每份两本一共有15种方法．
123
（3）这是“不均匀分组”问题， 一共有
C
6
C
5
C
3
60
种方法． < br>1233
（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有
C
6
C< br>5
C
3
A
3
360
种方法．
（5）可以分为三类情况：
222
①“2、2、2型”即（1）中的分配情况，有< br>C
6
C
4
C
2
90
种方法；
1 233
②“1、2、3型”即（4）中的分配情况，有
C
6
C
5C
3
A
3
360
种方法；
43
③“1、1 、4型”，有
C
6
A
3
90
种方法；
所以，一共有90+360+90＝540种方法．
11
C
6
4< br>C
2
C
1
点评：本题第（3）种类型为部分均匀分组再分配，其分组总 数为．
2
A
2
题型变换：8名球员住
A
、
B、
C
三个房间，每个房间最多住3人，有多少种住宿方
法？
332C
8
C
5
C
2
3
解：
A
3
．
2
A
2
例17 若3名飞行员和6名特勤人员分别上3架不同 型号的直升飞机执行任务,每机一
名飞行员和两名特勤人员，有多少种分配方法？
22211 1
C
6
C
4
C
2
C
3
C
2
C
1
33
222111
解：先分组，再分配，，或者
 AA
CCCCC
2
C
1
．
33
642333
A
3
A
3
类题：20名同学分两组，每组10人去某地社会 实践，其中6名干部，每组3人，不同
3
7
C
6
C
142
分法总数是多少？答案：
2

2
A
2
．
A
2
A
2

九. 隔板法：将
n
个相 同元素，分成
k
（
nk
，
n
，
kN
） 组，可以看成是在
n
个
k1
元素之间的
n1
个空隙间插 入
k1
块隔板.共有
C
n1
种方法.
*
例18 将六本相同的书全部发给甲、乙、丙三人.
（1）每人至少分到一本书，问有多少种不同的分法？
（2）每人不一定都分到一本书，问有多少种不同的分法？
2
解：（1）用“隔板法 ”处理，六本书之间有五个空，插入两块隔板，有
C
5
种分法；
用“隔板站 位法”处理，六本书之间有五个空，需插入两块隔板，但由于有人可能没有
书，所以两块隔板站着两个位 置，加上六本书，可以看着是
628
本书，分成3分，所
22
以有
C
62
C
8
28
种分法．
点评：〖类题〗求不定 方程
x
1
x
2
x
3
6
的非负整数解 的个数？
题型变换一：四本不同的书，分给三个人，每人至少一本，全部分完，有几种分法？
23
解：先分组，再分配有
C
4
A
3
种．
题型变换二：
n
本不同的书，分给
n1
个人，每人至少1本，全部分完， 有几种分法？
2n1
解：先分组，再分配有
C
n
A
n1
种．
题型变换三：
n
本相同的书，全部分给
m
（
mn
）个人.
（1）每人至少分到一本书，问有多少种不同的分法？
（2）每人不一定都分到一本书，问有多少种不同的分法？
解：（1）解法一（隔板站位法） ：每人先分一本书，还剩下
nm
本书，加上
m1
块隔
m1板，可视为
(nm)(m1)n1
本书，分给
m
个人，所以有
C
n1
种方法.
m1
解法二（隔板法）：
n
本书之间有
n1
个空，需插入
m1
块隔板，所以有
C
n 1
种方法.
（2）（隔板站位法）：
n
本书之间，需插入
m1
块隔板，但是，由于有人分不到书，所
以
m1
块隔板站着
m1< br>个位置，加上
n
本书，可视为
nm1
本书，用
m1块隔板分成
m1
m
分，所以有
C
nm1
种方法（ 这也是一个公式）.
【随堂练习】
1.（1） 四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？
（2） 四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？

解：（1）根据分步计数原理：一共有
4256
种方法；
（2）（捆绑法）第一步：从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素有
2323
种方法；第二步：从四个不同的盒中任取三个将球放入有
A
4
种方法，所以，一共有
C
4
C
4
A
4
4
＝144种方法． 说明：先组合，再排列是解决问题的关键．本题亦可先将4个小球分成三组，每组分别
211
C
4
C
2
C
1
3
有
1

1

2
个，共再放入四个盒子中的三个，共有
A
4
144
种．
2
A
2
思考：（1）四个相同的小球放入四个不同的盒子中， 一共有多少种不同的放法？
33
解：（隔板站位法）共
C
43
 C
7
35
．
（2）10个相同的小球放入编号为1、2、3的盒子中，球数不少于编号数的放法有多少
种？
22
解：按要求放6个，其余4个按隔板站位法有
C
42
C6
15
种方法．
另解：（隔板法）设1，2，3号盒子所放的球数分别为a
，
b
，
c
.则有
abc10
. 设
xa
，
yb1
，
zc2
，则方程
xyz7
的正整数解的组数，就是放球的
22
方法数.所以共有
C42
C
6
15
种方法.
注意：这种利用“先换元，再用 隔板技巧”的方法对于求有限制条件的不定方程的非
负整数解的问题很有效！
【总结提炼】
均匀分组（不计组的顺序）问题不是简单的组合问题，如：将
3
个人分成
3< br> 组，每组
111
一个人，显然只有
1
种分法，而不是
C3
C
2
C
1
6
种
一般地，将
mn
个不同元素均匀分成
n
组，有
【课后作业】
【板书设计】（略）
【教学后记】
mm
C
mn
C
(
m
n1)m

C
m
m
A
m
种分法；