排列组合知识归类
打屁股作文800-小学五年级数学上册教学计划
排列、组合、二项式定理
1．掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简单的应用问题．
2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．
3．理解组
合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用问
题．
4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．
排列概念
排列
两
个
排列数公式
计
应用
数
原
组合概念
理
组合
组合数公式
排列组合
二项式定理
组合数性质
二
通项公式
项
式
应用
定
理
二项式系数性质
排列与组合高考重点考察学生
理解问题、综合运用分类计数原理和分步计数原理分析问题和
解决问题的能力及分类讨论思想．它是高中
数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部分，
是进一步学习概率论的基础知识．由于这部分内容概念
性强，抽象性强，思维方法新颖，同
时解题过程中极易犯“重复”或“遗漏”的错误，而且结果数目较大
，无法一一检验，因此
学生要学好本节有一定的难度．解决该问题的关键是学习时要注意加深对概念的理
解，掌握
知识的内在联系和区别，严谨而周密地去思考分析问题．
二项式定理是进一步学习概
率论和数理统计的基础知识，高考重点考查展开式及通项，难度
与课本内容相当．另外利用二项式定理及
二项式系数的性质解决一些较简单而有趣的小题，
在高考中也时有出现．
第1课时
两个计数原理
1．分类计数原理（也称加法原理）：做一件事情，完成它可以有n类办法，
在第一类办法中
有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，„„，在第n类办法中有m
n种不
同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法．
2．分步计数原理（也称乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1
种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，„„，做n步有mn种不同的方法，那么完成
这件事共有
N＝ 种不同的方法．
第2课时 排
列
1．一般地说，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列
，叫做从
n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
排列的定义包含两个基本
内容：一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”．因此当元素
完全相同，并且元素的排列顺序也完
全相同时，才是同一个排列．
2．从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从
个为不同元素中取出m
个元素的排列数，用符号Amn表示．排列数公式Amn＝
．
这里m≤n，其中等式的右边是 个连续的自然数相乘，最大的是
，最小的
是 ．
3．n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的
一个全排列，全排列数用Ann表
示，它等于自然数从1到n的连乘积，自然数从1到n的连乘积叫做n
的阶乘，用 表
示．
第3课时 组 合
1．一般地
说，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取
出m个元素的一个
组合．
2．排列与组合的共同点，就是都要“从n个不同元素中，任取
个元素”，而不同点就是前者
要“按一定的顺序成一列”，而后者却是“不论怎样的顺序并成一组”．
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个
元素的组合数，用符号Cmn表示．
组合数公式 ＝ ＝
在求具体的组合数时，常用上面的公式，分子由连续 个自然数之积，最大的数为
，最小的
数是 ，分母是 ，如果进行抽象的证明时，一般常用下面的公式 ＝
，它的分子是 ，
分母是 与 的积．
3．组合数性质：
①
C
m
n
C
n
nm
m1
②
C
m
n
C
n1
C
n1
m
第4课时 二项式定理
1．(a＋b)n＝
(n∈N)，这个公式称做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的
二项展开式，其中的系数
叫做二项式系数．式中的
叫做二项展开式的通项，
用Tm＋1表示，即通项公式Tm＋1＝
是表示展开式的第m＋1项．
2．二项式定理中，二项式系数的性质有：
①
在二项式展开式中，与首末两项“等距离”的两项二项式系数相等，即：
② 如果二项式的幂指数是偶
数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，
中间两项的二项式系数相等并且最大，即
当n是偶数时，n+1是奇数，展开式共有n+1项，
中间一项，即：
第
项的二项式系数最大，为
；当n是奇数时，n+1是偶数，展开式共有n+1
项，中间两项，即第 项及每
项，它们的二项式系数最大，为
③ 二项式系数的和等于 ，即
④ 二项展开式中，偶数项系数和等于奇数项的系数和＝ 即
⑤
展开式中相邻两项的二项式系数的比是：
3．二项式定理主要有以下应用
①近似计算
②解决有关整除或求余数问题
③用二项式定理证明一些特殊的不等式和推导组合公式（其做法称为“赋值法”）
注意二项式定理只能解决一些与自然数有关的问题
④ 杨辉三角形
排列组合综合题
1．解排列组合题中常用的方法有直接法、间接法
、两个原理、元素位置分析法、捆绑法、插
空法、
枚举法、隔板法、对称法；常用的数学思想主要有分类讨论、思想转化、化归思想、
对应思想.
2．解排列组合综合题一般要遵循以下的两个原则(1)按元素性质进行分类(2)按事情发生的过
程
进行分步.
3．处理排列组合综合性问题时一般方法是先取(选)后排，但有时也可以边取(选)边排.
4．对于有多个约束条件的问题，先应该深入分析每个约束条件，再综合考虑如何分类或分步，
但对于综
合性较强的问题则需要交叉使用两个原理来解决问题.
1.特殊定位法(特殊优先)
特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑
例题1：
1名老师和6名学生排成一排，要求老师不能站在两端，那么有多少种不同的
排法？
A．720 B.3600 C.4320
D.7200
解析：此题答案为B。此题中特殊元素是老师，特殊位置是两端，可优先考虑。
方法一：优先考虑特殊元素老师。
方法二：优先考虑特殊位置两端。
练习：六人站成一排，求
(1)甲、乙即不再排头也不在排尾数
(2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数
分析：（1）按照先排出首位和末尾在排中间四位分步计数
第一类：排出首尾和末尾、因为甲
乙不再首尾和末尾、那么首尾和末尾实在其它四位数选
出两位进行排列、一共有p(4,2)=12种、
第二类：由于六个元素中已经有两位排在首尾和末尾、因此中间四位是吧剩下的四位元素
进行排
列，
共p(4,4）=24种
根据乘法原理得即不再排头也不在排尾数共12*24=28
8种在11名工人中，有2、5人只能
当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。现从1
1人中选出4人当钳工，
4人当车工，问共有多少种不同的选法?
分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统
一。
以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。
第一类：这两个人都去当钳工，有10种；
第二类：这两人有一个去当钳工，有100种；
第三类：这两人都不去当钳工，有75种。
因而共有185种。
（2）第一类：甲在排尾，乙在排头，有P(4,4)种方法。
第二类：甲在排尾，乙不在排头，有3XP(4,4)种方法。
第三类：乙在排头，甲不在排尾，有3XP(4,4)种方法。
第四类：甲不在排尾，乙不在排头，有P(4,2)XP(4,4)种方法排列组合 试3、有划船运动
员10人，其中3人只会划右舷，2人只会划左舷，其余5人左右舷均会划，现在从10人
中选
出6人平均分配到船的两舷划桨，有多少中选法？
解答：讨论：（1）当从只会划左舷中选0人时，选
法为；
C
2
C
5
C
5
033
（2）当从只会划左舷中选1人时，选法为：
（3）当从只会划左舷中选2人时，选法为：
所以共
C
2
C
5
C
5
C
2C
5
C
6
C
2
C
5
C
7< br>033123213
C
2
C
5
C
6
C
2
C
5
C
7
213
123
种选法，
2.反面考虑法
有些题目所给的特殊条件较多或者较为复杂，直接考虑需 要分许多类，而它的反面却往往只
有一种或者两种情况，此时我们先求出反面的情况，然后将总情况数减 去反面情况数就可以
了。
例题2： 从6名男生、5名女生中任选4人参加竞赛，要求男女至少各1名，有多少种不同
选法？
A．240 B.310 C.720 D.1080
解析：此题答案为B。从反面考虑，男女至少各1名的反面是只选男生或只选女生。
故所求为330-20=310种不同选法。
练习: 1. 三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形?
2、正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体?
3.捆绑法
在排列问题中 ，如果题中要求两个或多个元素相邻时，可将这几个元素捆绑在一起，作为
一个整体进行考虑。
例题3： 6个人站成一排，要求甲、乙必须相邻，那么有多少种不同的排法？
A．280 B.120 C.240 D.360
4.插空法
在排列问题中，如果题中要求两个或多个元素不相邻时，可先将其余无限制的n个 元素进
行排列，再将不相邻的元素插入无限制元素之间及两端所形成的（n+1）个空中。
如 果所有元素完全相同，即为组合问题，则不需要进行排列，只需要将不相邻的元素插入空
中即可。
例题4： 6人站成一排，要求甲、乙必须不相邻，有多少种不同的排法？
A．240 B.480 C.360 D.720
由乘法原理，不同的排法共有24×20=480种。
练习;1、 某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况?
2、马路上有编号为l，2，3，„„，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中
的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求
满足条件的关灯 方法共有多少种?
5.隔板法
例题5： 将10台相同的电脑分配给5个村，每村至少一台，那么有多少种不同的分配方法？
A．126 B.320 C.3024 D.1024
练习．10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法?
6.归一法
排列问题中，有些元素之间的排列顺序已经固定，这时候可以先将这些元素与其他 元素进
行排列，再除以这些元素的全排列数，即得到满足条件的排列数。
例题6： 一张节目 表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个
新节目，有多少种安排方法？
A.20 B.12 C.6 D.4
解析：此题答案为A。添进去2个新节目后，共有5个节目，因此，此题相当于安排5个
节目，其中3个节目相对顺序确定，有多少种方法？
由于个节目相对顺序确定，可以直
接采用归一法。
所以，一共有120÷6=20种安排方法
练习;1、六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相邻)，共有多少种不同的方法?
如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢?
2、5男4女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方
法?
7.线排法
排列问题一般考查的是直线上的顺序排列，但是也会有一些在环形上的顺序排列。
与直线排
列问题相比，环形排列没有前后和首尾之分，此时我们只需要将其中一个元素列为队首，这样就可以把环形问题转为线形问题。
例题7：
某小组有四位男性和两位女性，六人围成一圈跳集体舞，不同的排列方法有多少种？
A．720
B．60 C．480 D．120
解
析：此题答案为D。本题考虑了次序，属于排列问题。但由于围成一圈，是没有首尾之分
的，所以可以将
其中一个人列为队首，对其余5个人的次序进行排列。
8．分组问题
例8.
6本不同的书
(1) 分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法?
(2)
分成三堆，每堆两本，有多少种不同的分法？
(3)
分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的分法？
(4)
甲一本，乙两本，丙三本，有多少种不同的分法?
(5)
分给甲乙丙三人，其中一人一本，一人两本，第三人三本，有多少种不同的分法?
分析：（1）有
中。
（2）即在（1）的基础上除去顺序，有 种。
（3）有 种
。由于这是不平均分组，因而不包含顺序。
（4）有
种。同（3），原因是甲，乙，丙持有量确定。
（5）有 种。
例9.
6人分乘两辆不同的车，每车最多乘4人，则不同的乘车方法为_______。
分析：（一）考虑先把6人分成2人和4人，3人和3人各两组。
第一类：平均分成3人一组，有种方法。
第二类：分成2人，4人各一组，有种方法。
（二）再考虑分别上两辆不同的车。
综合（一）（二），有种。
例10. 5名学
生分配到4个不同的科技小组参加活动，每个科技小组至少有一名学生参加，
则分配方法共有_____
___种.
分析：（一）先把5个学生分成二人，一人，一人，一人各一组。
其中涉及到平均分成四组，有C（4，3）=4种分组方法。
可以看成4个板三个板不空的隔板
法
（二）再考虑分配到四个不同的科技小组，有A(4,4)=24种，
由（一）（二）可知，共=96种。
9、其他问题
二项式定理题目
一、求二项展开式
1．“
(ab)
n
”型的展开式
例1．求
(3x
1
x
)
的展开式；
4
解：原式=
(
=
=
1
x
2
4
3x1
x
1
x
2
)
=
4
0
(
3x1)
x
4
4
2
1
[
C
4
(3x)
32
C
(3x)
4
3
C
2<
br>(3x)
4
2
C
3
(3x)
4
C
]
4
4
(81x84x54x12x1)
1
2
x
1
x
2
=
81x
2
84
x54
小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种
“先
化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。
2．
“
(ab)
n
”型的展开式
例2．求
(3x
1
x
4
)
的展开式；
分析：解决此题，只需要把
(3x
1
x
4
)
改写成
[3x(
1
x
4
)]
的形式然后按照二项展开
式的格
式展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。
二、通项公式的应用
1．确定二项式中的有关元素
例1．已知
(
x
a1
ax
2
)
的展开式中
x
3
的系数为
99
4
，常数
a
的值为
2．确定二项展开式的常数项
例2．
(x
1
3
x
)
展开式中的常数项是
10
6
210
所以常数项是
(1)
6
C
10
3．求单一二项式指定幂的系数
例3．
(x
2
1
2x
)
9
展
开式中
x
9
的系数是
21
2
4、求某一项的二项式系数或系数
例4．在的展开式中，
指出：1）第4项的二项式系数，
2）第4项的系数，
解:展开式的通项为展开式中的第r+1项.
1），二项式系数为
；
；
2）由1）知项的系数为
例2．若
常数项.
的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的
分析:通项为,
∵前三项的系数为，且成等差，
∴
即
解得:n=8.
从而，要使Tr+1为有理项，则r能被4整除.
三、利用二项式定理的性质解题
1． 求中间项
例5．求（
x
1
3
10
x
)
的展开式的中间项；
解：
T
r1
C
10
(x)
10r
(
3
5
r<
br>1
x
),
展开式的中间项为
C
10
(x)
(
r
5
5
1
3
x
)
5
即：
252x
6
。
n1
n1
2
n
n1
n1
n1
2
n1
当
n为奇数时，
(ab)
n
的展开式的中间项是
C
n
2<
br>a
n
n
b
n
2
和
C
n
2<
br>ab
2
；
当
n
为偶数时，
(ab)
的展
开式的中间项是
C
n
2
a
2
b
2
。
2． 求系数最大或最小项
（1） 特殊的系数最大或最小问题
例
6．在二项式
(x1)
11
的展开式中，系数最小的项的系数是
C
11
(1)
5
462
5
（2）
的展开式奇数项的二项式系数之和为128，则展开式中二项式系数最大项
是 ．
（2）、一般的系数最大或最小问题
例7．求
(x
1
2
4
x
8
)
展开式中系数最大的项；
解：记第
r
项
系数为
T
r
，设第
k
项系数最大，则有
T
k
T
k1
又
T
r<
br>
T
k
T
k1
C
r1<
br>8
.2
r1
，那么有
k1k2
k1k2<
br>
C
8
.2
C
8
.2
k1k
k1k
C
8
.2
<
br>
C
8
.2
8!8!
2
(k1)!.(9K)!(K2)!.(10K)!
即
8!8!
2
(K1)!.(9K)!K!(8K)!
2
1
K1K2
21
K
9K
解得
3k4，
5
7
系数最大的项为第3项
T
3
7x
2
和第4项
T
4
7x
2
。
例8．的展开式中系数最大的项为第_____项.
分析:展开式中项的系数不同于二项式系数，只能用数列的分析方法.
设第r+1项的系数最大，
则 解得:，
∴r=7，且此时上式两个等号都不能取得，
因而第8项系数最大.
（3）利用性质一
在的展开式中，若第3项与第6项系数相等，则
四、利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和
在用“赋值法”求值时，
要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言：
1,1,0
特殊值
在解题过程中考
虑的比较多
例9．已知
1）求a0,
2）求a1+a2+a3+a4+a5 3）求a1+a3+a5
分析:1）可以把(1-2x)5用二项式定理展开求解.
从另一个角度看，a0为x=0时右式的结果，因而令x=0,
∴ (1-0)5=a0,
∴a0=1.
2）令x=1, 则(1-2)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5
又a0=1,∴ a1+a2+a3+a4+a5=-2.
3）令x=1，得a0+a1+a2+„„+a5=-1 (*)
令x=-1,
得35=a0-a1+a2-a3+a4-a5 (**)
因而,(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2
练习、1、 ，求
①展开式中各二项式系数的和；
②展开式中各项系数的和；
③
④
的值
的值
2、已知
那么
分析 用特殊值法．
令
令
∴
，得
，得，
，
，
．
小结:①求展开式的系数和只需令x=1可解； ② 赋值法也需合情合理的转化.
五、求余数问题
例10 填空：(1)
2
30
3
除以
7
的余数_____________；(2)
55
55
15<
br>除以
8
的余数是
________________.
分析(1)：
将
2
30
分解成含
7
的因数，然后用二项式定理展开，不含
7
的项就是余数．
解：
2
30
3
(2
3
)
10
3
(8)
10
3
10
(71)
C
10
7
010
3
19910
C
10
7C
10
7C
10<
br>3
09189
7[C
10
7C
10
7C
10
]2
又∵余数不能为负数，需转化为正数
∴
2
30
3
除以
7
的余数为
5
∴应填：
5
分析(2)：将
55
55
写成
(561)
55
，然后利用二项式定理展开．
解：
55
55<
br>15
(561)
55
15
C
55
56
055
C
55
56
154
C
55<
br>56C
55
15
5455
55
1514<
br>不能被
8
整除，容易看出该式只有
C
55
因此
55
55
15
除以
8
的余数，即
14
除以
8
的
余数，故余数为
6
．∴应填：
6
．