如何写小说-行政法论文

初中数学
（上海教育出版社）
学习笔记整理

目 录
六年级上册 ........................................ .................................................. .................................................. ................... 1

第一章 数的整除 ........... .................................................. .................................................. ...................................... 1

第一节 整数和整除 .................................... .................................................. .................................................. ..... 1

1.1整数和整除的意义 ...................... .................................................. .................................................. .......... 1

1.2因数和倍数 .................... .................................................. .................................................. ........................ 3

1.3能被2、5整除的数 .. .................................................. .................................................. ............................ 4

第二节 分解质因数 . .................................................. .................................................. ........................................ 5

1.4素数、合数与分解质因数 ............................... .................................................. ....................................... 5

1.5公因数与最大公因数 ................................. .................................................. ............................................. 5

1.6公倍数与最小公倍数 ........................... .................................................. .................................................. . 6


六年级上册
第一章 数的整除

第一节 整数和整除
1.1整数和整除的意义
零和正整数统称为自然数。正整数、零、负整数统称为整数。




1

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重点题型：
1. 在8，－10，0，0.25，－50，

3
，100，－8.5中，正整数有 ，自然数
7
有 ，整数有 。
2.最小的自然数是 。
3、提高（非负整数）----小于3的非负整数有 。
4、除0以外的数都是自然数。 ( )
整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整
除，或者说b能整除a 。
注意整除的条件
：1、除数、被除数都是整数
2、被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
a、b、c都是整数
a ÷ b = c
重点题型：
(1) 在下列各组数中，如果第一个数能被第二数整除，请在（ ）内打勾。
72和36； 17和34； 3.5和0.5； 51和17；
（ ） （ ） （ ） （ ）
(2) 在上列各组数中，如果第一个数能整除第二数，请在（ ）内打△。
判断：（1）1能被任何正整数整除. ( )
（
理由
:能整除任何正整数.）
（2）因为15÷4=3.75，所以4能被15整除。 ( )
（
理由
：商不是整数。）
（3）能够除尽的算式，被除数一定能被除数整除。( )
（
理由
：整除一定能除尽，除尽不一定能整除。）




a 能 被 b整除
b 能整除 a
a 是 b 的倍数
b 是 a 的因数
2

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填空:
1、45÷5= 9， ( ) 能被( ) 整除，( )能 整除( )；
( )是( ) 的因数，( ) 是( ) 的倍数。
2、一个正整数a的因数的个数是( ) ，其中最小的一个是( )，最大的一个是
( )；正整数a的倍数的个数是( )，其中最小的一个是( ) 。
3、一个数的最小倍数是9，那么这个数的最大因数是( )，最小因数是( ) 。
4、有一个 数，它既是6的倍数，又是6的因数，这个数是( ) 。

1.2因数和倍数
如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数(mutipl e)，b就叫做a的因
数(factor)（或a的约数）。倍数和因数是相互依存的。因为35能被7 整除，所以35
是7的倍数，7是35的因数。
一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因 数是1，最大的因数是它本身。例
如：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因 数是10。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12„„其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。

因 数
倍 数
重点题型：
1. 一个整数的最大因数减去这个正整数的最小倍数，所得的差一定（ ）
A <0 B =0 C >0 D 不等于0
2. 会求一个数的因数：如求105的因数
3. 会求一个数的倍数：如求7的倍数（写出5个）
4. 任何一个正整数至少有两个因数。 ( )
5. 如果一个数既是12的因数,又是12的倍数,那么这个数一定是 。
6、因为15 ÷ 5＝ 3，所以15是倍数，5是因数（ ）
（
理由
：因数和倍数是相互依存的，不能单独说。）
7、因为4.6 ÷ 2＝ 2.3，所以4.6是2的倍数，2是4.6的因数（ ）




个 数
有 限
无 限
最 小
1
它本身
最 大
它本身
没 有
3

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（
理由
：倍数和因数必须是两个自然数之间的关系。）
8、3 x 6 = 18 （说出关于倍数，因数的关系来。）
答：18是3和6的倍数，3和6是18的因数。

1.3能被2、5整除的数 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、
304 ，都能被2整除。
3的倍数特征：一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除
5的倍数特征：个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被
5整除。
8的倍数特征：一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）
整除 。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被1 25
整除。
9的倍数特征：一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。
能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。
4或25的倍数特 征：一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或
25）整除。例如：16、404、 1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。
能同时被2,5整除的数的特征: 个位是0
能同时被2,3，5整除的数的特征: 个位是0,而且各个位上的数字的和能被3整除.
注意:
有一些数能被7,9,11,13整 除,但是不容易看出来,这是大家在约分中容易忽
略的.
奇数和偶数：能被2整除的数叫做偶数(even number)。 不能被2整除的数叫做奇
数(odd number)。0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。
重点题型：
1. 如果连续三个偶数之和是42，那么这三个数是（ ）
2. 三个连续的偶数中,最大的是a，最小的是 ( )
3、填空:在12，15，18，24，25，30，45，90，34，21中，2的倍数有（ ），
3的倍数有（ ），5的倍数有（ ），有因数2，3的数有
（ ），有因数2，3，5的数有（ ）。
4、在15，27，38，62，90，135，430这七个数中




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能被2整除的数是 （ ），
能被5整除的数是 （ ），
能被3整除的数是 （ ），
能同时被2，5整除的数是 （ ），
能同时被2，3，5整除的数是 （ ）。
5、在下列数的 □ 内填上适当的数字，使这个数能同时被2，3，5整除。
63□ 7 □4 □
第二节 分解质因数
1.4素数、合数与分解质因数
一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数(prime number)（或
素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、4 3、
47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。熟记20以内的全部素数 。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数(composite
number)，例如 4、6、8、9、12都是合数
1不是质数也不是合数，自然数除了 1外，不是质数就是合数。如果把自然数按
其因数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，
叫做这个合数的质因数 ，例如15=3×5，3和5 叫做15的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分 解质因数。把一个合数分解质
因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数 为止，再把
除数和商写成连乘的形式。例如把28分解质因数：28=2×2×7
.

1.5公因数与最大公因数
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫 做这几个数的最
大公因数，例如12的因数有1、2、3、4、6、12；18的因数有1、2、3、6 、9、18。
其中，1、2、3、6是12和1 8的公因数，6是它们的最大公因数。
公因数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：
a、1和任何自然数互质。
b、相邻的两个自然数互质。
c、两个不同的质数互质。




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d、相邻的两个奇数互质。
当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。
两个合数的公因数只有1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就
说这几个数两两互质。
如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。
如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是1。
1.6公倍数与最小公倍数
几个 数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最
小公倍数，如2的倍数有2 、4、6 、8、10、12、14、16、18 „„ 3的倍数有3、6、
9、12、15、18 „„ 其中6、12、18„„是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。
如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
求几个数的最大公因数 的方法是：先用这几个数的公因数连续去除，一直除到所得
的商只有公因数1为止，然后把所有的除数连 乘求积，这个积就是这几个数的的最大公
因数 。
求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几 个数（或其中的部分数）的公因数去除，
一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘 求积，这个积就是这几
个数的最小公倍数。

本章最重点的内容
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做最大公因数。
几个整数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做最大公因数。
求几个整数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是
它们的最大公因数
求两个整数的最小公倍数,只要取它们所有公有的素因数,再取它们各自剩余的
素因数, 将这些数连乘,所得的积就是这两个数的最小公倍数
两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大
公因数； 如果这两个数互素，那么它们的最大公因数是1。




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两个整数中，如果某个数是另一个数的倍数，那么这个数就是这两个数的最小
公倍数；如 果这两个数互素，那么它们的最小公倍数是它们的乘积。
两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素。
以及和最大公因数及最小公倍数有关的应用问题

如：
1、 重阳节,欣欣中学的师生到敬老院看望老人,他们共准备了320个 苹果,240个橘子,200
个梨,来慰问老人。问用这些果品,最多可以分成多少份同样的礼物(水果 必须全部分完)？在每
份礼物中,苹果、橘子、梨各多少个？
2、 某车站,每隔8分钟开出 一辆电车,每隔10分钟开出一辆汽车。上午9时,有一辆电车
与一辆汽车同时开出,求9时以后再过多 久电车与汽车第一次同时发车？
重点题型：
1. 求30和42的最大公因数和最小公倍数
2. 求30、42和21的最大公因数和最小公倍数
3. 一筐苹果,2个一拿,3个一拿,4个一拿,5个一拿都正好拿完而没有余数,这筐苹果最少
应有( )
(A)120个 (B)90个 (C)60个 (D)30个
4. （重点）已知甲数＝2×3×5×7，乙数＝2×2×5×5×7，甲数和乙数的最小公倍数是
最大公因数是
5. （重点）在2，5，8，15中，共有 对互素，它们是

单元练习
（1）填空。
①6和12，（ ）能被（ ）整除，6是12的（ ），12是6的（ ）。
②12和15的公约数有（ ， ），最大公约数是（ ）。
③（ ）既是偶数，又是质数。（ ）既不是质数，又不是合数。
④在7、21、111三个数中，（ ）和（ ）是互质。
⑤把435分解质因数。
⑥在1～100中，能同时被3，5整除的最小两位偶数是（ ）。能同时被2，3，5整除
的最大数是（ ）。




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⑦一个非零自然数，除以4，除以7，除以8都得整数而没有余数，这个数最小是（ ）。
⑧如果a＝2×3×5，b＝3×5×7
（a，b）＝ [a，b]＝
（2）判断，对的在（ ）里画“√”，错的画“×”。
①一个自然数，不是奇数就是偶数。（ ）
②如果甲数除以乙数，商7。那么乙数一定是甲数的约数。（ ）
③能同时被2，3整除的最小三位数是120。（ ）
④在1—20的自然数中，合数有12个。（ ）
（3）选择题。把正确答案的序号填在（ ）里。
①11乘以一个质数，积一定是（ ）
A. 质数 B. 合数C. 奇数 D. 偶数
②已知A＝2×2×3×7，B＝2×3×3×5×7，那么A和B的最大公约数是（ ）
A. 7 B. 21 C. 42
（4）直接写出各组数的最大公约数。
（5，7）＝ （9，10）＝ （9，18）＝
（4，6）＝ （6，9）＝ （14，28）＝
（5）直接写出各组数的最小公倍数。
[6，8]＝ [4，8，32]＝ [4，6，24]＝
[11，33]＝ [5，2，7]＝ [3，4，5]＝
（6）用短除法计算。
①求24和36的最大公约数和最小公倍数。
②求18，24和42的最小公倍数。
（7）用本单元所学知识，解释下面的算式。
21÷7＝3
① ② ③ ④
（8）“五一”时学 校搞联欢，用36朵红花和48朵黄花扎成花束。如果每个花束的红花
朵数相同，黄花的朵数也相同，那 么最多可以扎成（ ）束花。

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

一、填空。




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1. 在5、46、2、15、51、24、47、30、210中

（1）能被2整除的有（ ）；
（2）能被3整除的有（ ）；
（3）能被5整除的有（ ）；
（4）能同时被3、5整除的有（ ）；
（5）能同时被2、3、5整除的有（ ）。
2. 28的约数有（ ）。
3. 把70分解质因数（70＝ ）。
4. 1.4÷0.7＝2，我们就说1.4能被0.7（ ）。
5. 写出一组一个是质数一个是合数的互质数（ ）.
6. 最小的自然数除以最小的质数商是（ ）。
7. 一个数的最小倍数是17，这个数的最大约数是（ ）。
8. 一个数除以3、4、6都余2，这个数最小是（ ）。
二、判断，对的在括号里画“√”，错的画“×”。
1. 所有自然数的公约数是1。（ ）
2. 自然数不是质数就是合数。（ ）
3. 6是倍数，2是约数。（ ）
4. 一个数的最小的倍数除以它的最大的约数商是1。（ ）
三、选择正确答案填在括号里。
1. 下面各式中，第二个数能整除第一个数的是（ ）
A. 15÷4 B. 1.8÷3 C. 42÷7 D. 4÷0.2
2. 2是最小的（ ）
A. 自然数 B. 质数 C. 合数
3. 把36分解质因数是（ ）
A. 4×9＝36 B. 36＝2×2×3×3×1 C. 36＝2×2×3×3 D. 36＝2×2×9
四、把下面各数分解质因数。
1. 56 2. 102 3. 225 4. 105
五、直接写出下面各组数的最大公约数和最小公倍数。
1. (3，5)＝ (4，8)＝ (6，7)＝




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[3，5]＝ [4，8]＝ [6，7]＝
2. (1，13)＝ (4，6)＝ (8，9)＝
[1，13]＝ [4，6]＝ [8，9]＝
六、直接写出下面各组数的最小公倍数。
1. [4，3，5]＝ [2，9，7]＝ [6，5，7]＝
2. [18，9，3]＝ [5，30，10]＝ [14，56，28]＝
七、求下面各组数的最大公约数和最小公倍数。
1. 72和24
2. 36和48
八、求下面各组数的最小公倍数。
1. 26、39和52
2. 18，20和15
九、学生参加跳绳比赛，进行分组。按每组6人，每组8人或每组10人分组，都余 3人，
参加跳绳比赛的一共有多少人？
十、一个教室，长84分米，宽66分米，用一样大的 正方形瓷砖铺地，至少要用这样正方形
的瓷砖多少块？
十一、小明6天去一次图书馆，小芳8 天去一次图书馆，小强12天去一次图书馆，他们有
一天在图书馆相遇，至少多少天他们再次在图书馆相 遇？






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单元练习答案
（1）填空。
①6和12，（12）能被（6）整除，6是12的（约数），12是6的（倍数）。
②12和15的公约数有（1，3），最大公约数是（3）。
③（2）既是偶数，又是质数。（1）既不是质数，又不是合数。
④在7、21、111三个数中，（7）和（111）是互质。
⑤把435分解质因数。（435＝3×5×29）
⑥在1～100中，能同时被3，5整除 的最小两位偶数是（30）。能同时被2，3，5整除的
最大数是（90）。
⑦一个非零自然数，除以4，除以7，除以8都得整数而没有余数，这个数最小是（56）。
⑧如果a＝2×3×5，b＝3×5×7
（a，b）＝ 15 [a，b]＝210
（2）判断，对的在（ ）里画“√”，错的画“×”。
①一个自然数，不是奇数就是偶数。（√）
②如果甲数除以乙数，商7。那么乙数一定是甲数的约数。（√）
③能同时被2，3整除的最小三位数是120。（×）
④在1—20的自然数中，合数有12个。（×）
（3）选择题。把正确答案的序号填在（ ）里。
①11乘以一个质数，积一定是（B）
A. 质数 B. 合数C. 奇数 D. 偶数
②已知A＝2×2×3×7，B＝2×3×3×5×7，那么A和B的最大公约数是（C）
A. 7 B. 21 C. 42
（4）直接写出各组数的最大公约数。
（5，7）＝1 （9，10）＝1 （9，18）＝9
（4，6）＝2 （6，9）＝3 （14，28）＝14
（5）直接写出各组数的最小公倍数。
[6，8]＝24 [4，8，32]＝32 [4，6，24]＝24
[11，33]＝33 [5，2，7]＝70 [3，4，5]＝60
（6）用短除法计算。
①求24和36的最大公约数和最小公倍数。




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（24，36）＝12 [24，36]＝72
②求18，24和42的最小公倍数。

[18，24，42]＝504
（7）用本单元所学知识，解释下面的算式。
21÷7＝3
①21能被7整除 ②7能整除21 ③21是7的倍数 ④7是21的约数
（8）“五一”时学校搞联欢，用36朵红花和48朵黄花扎成花束。如果每个花束的红花
朵数 相同，黄花的朵数也相同，那么最多可以扎成（12）束花。

（36，48）＝2×2×3＝12


【试题答案】
一、填空。
1. 在5、46、2、15、51、24、47、30、210中
（1）能被2整除的有（46，2，24，30，210）；
（2）能被3整除的有（15，51，24，30，210）；
（3）能被5整除的有（15，30，210）；
（4）能同时被3、5整除的有（15，30，210）；
（5）能同时被2、3、5整除的有（30，210）。
2. 28的约数有（1，2，4，7，14，28）。
3. 把70分解质因数（70＝2×5×7）。
4. 1.4÷0.7＝2，我们就说1.4能被0.7（除尽）。
5. 写出一组一个是质数一个是合数的互质数（3，4）。
6. 最小的自然数除以最小的质数商是（0）。
7. 一个数的最小倍数是17，这个数的最大约数是（17）。




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8. 一个数除以3、4、6都余2，这个数最小是（14）。
二、判断，对的在括号里画“√”，错的画“×”。
1. 所有自然数的公约数是1。（√）
2. 自然数不是质数就是合数。（×）
3. 6是倍数，2是约数。（×）
4. 一个数的最小的倍数除以它的最大的约数商是1。（√）
三、选择正确答案填在括号里。
1. 下面各式中，第二个数能整除第一个数的是（C）
A. 15÷4 B. 1.8÷3
C. 42÷7 D. 4÷0.2
2. 2是最小的（B）
A. 自然数 B. 质数 C. 合数
3. 把36分解质因数是（C）
A. 4×9＝36 B. 36＝2×2×3×3×1
C. 36＝2×2×3×3 D. 36＝2×2×9
四、把下面各数分解质因数。
1. 56＝2×2×2×7 2. 102＝2×3×17

3. 225＝3×3×5×5 4. 105＝3×5×7

五、直接写出下面各组数的最大公约数和最小公倍数。
1. (3，5)＝1 (4，8)＝4 (6，7)＝1
[3，5]＝15 [4，8]＝8 [6，7]＝42
2. (1，13)＝1 (4，6)＝2 (8，9)＝1
[1，13]＝13 [4，6]＝12 [8，9]＝72
六、直接写出下面各组数的最小公倍数。
1. [4，3，5]＝60 [2，9，7]＝126 [6，5，7]＝210
2. [18，9，3]＝18 [5，30，10]＝30 [14，56，28]＝56
七、求下面各组数的最大公约数和最小公倍数。
1. 72和24
(72，24)＝24
[72，24]＝72
2. 36和48





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(36，48)＝12
[36，48]＝144
八、求下面各组数的最小公倍数。
1. 26、39和52 2. 18，20和15


[26，39，52]＝156 [18，20，15]＝180
九、学生参加跳绳比赛，进 行分组。按每组6人，每组8人或每组10人分组，都余3人，参加
跳绳比赛的一共有多少人？

[6，8，10]＝120
120＋3＝123（人）
答：参加跳绳比赛的一共有123人。






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