放烟花的作文-忧虑

第一讲 整数与整除的基本性质（一）
一、整数
基本知识：
关于自然数：1、有最小的自然数1；2、自然数的个数是无限的，不存在最大的自然数；3、两个自然
数的和与积仍是自然数；4、两个自然数的差与商不一定是自然数。
关于整数：1整数的个数是无限的 ，既没有最小的整数，也没有最大的整数；2、两个整数的和、差、
积仍是整数，两个整数的商不一定是 整数。
十进制整数的表示方法
正整数可以用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个 数字中的一个或若干个组成一个排列表示，如
67表示
6107
,四位数1254 可以写成
1102105104
,同样地用字母表示的两位数
32
ab
a10b
,三位数
defd10
2
e10f
, n 位整数表示为
a
n
a
n1
a
n2
a
1
，（其中a
i
是0，1，
2，3，4，5，6， 7，8，9中的某个数字，i= n , n – 1,…,2,1,其中a
n
0
） 并且
a
n
a
n1
a
n2

a
1
a
n
10
n1
a
n1
10
n2


a
1
.

经典例题：
例1 、用0、1、2、...、9这10个数字组成两个三位数和一个四位数，每个数字只用一次，要求它们的
和是一个奇数，并且尽可能地小，那么这两个三位数及这个四位数的和是（ ）
A)
1995
B)
1683
C)
1579
D)
1401
解：为使和最小 ，四位数的千位应该是1，百位上的数为0，两个三位数上的百位应分别为2和3；
若三个数十位上的数 分别是4、5、6，则个位上的数分别是7、8、9，但7+8+9=18是个偶数，这与其
和为奇数矛 盾，故应调整为三个十位上的数应安排为4、5、7，个位分别为6、8、9，6+8+9为奇数，
10 46+258+379=1683，选
B)

例2、一个两位数，用它的个位、十 位上的两个数之和的3倍减去
2
，仍得原数，这个两位数是（ ）
A)
26
B)
28
C)
36
D)
38
解：设这个两位数为
ab
，由题意，得
3(ab)210ab
，
7a2b2
即
7a2(b1)
由于
2(b 1)
为偶数，

a
必须为偶数，排除
C),D)
又
由于
(b1)
是7的倍数，故选
A)

（此题也 可以直接来解
(b1)
是7的倍数，故有
b6
返回有
a2）
例3、一个两位数，加上2以后和的各数字之和只有原数字和的一半，这个两位数是
_ ____________
。
（91年“缙云杯”初中数学邀请赛）
解：设这个两位 数为
ab
，由于原数加上2后和的各数字之和比原数各数之和小，所以加上2后发
生了 进位，由题意，得
a1(b2)10
1
(ab)
，
a b14
，又由于
b2
后有进位，
2
b8或b9
同时对应的
a
分别为6与5，

这两个数为68或59。
例4、一 个四位数与它的四个数字之和等于1991，这个四位数是
_____________
。
（91年南昌市初中数学竞赛题）
解：

四个数位上的数字之和最多不会超 过36，

这个四位数的千位和百位数字分别是1和9，

190010m n19mn1991
，故设这个四位数为
190010mn
，整理得
11m2n81
，
又
0m9,0n9
且为整数，m7,n2.

这个四位数为1972。
例5、若三位数与组成该三位数 的各位数字之和的比值为
M
（如三位数234，则
M
的最大值和最小值。
解：设这个三位数
abc100a10bc
，
M
234），求
M
234
100a10bc90b99c
，
100
abcabc
显然
90b99c
0
，当其值 为0时，即
bc0
时，
M
最大，其值为
M1000100
，当
abc
90b99c1790199
最大时，
M
最小，即
bc9,a1
时，
M
最小为
100


abc1919
二、能被一个数整除的数的特征
基础知识：1、能被2或5整除的数，它的末位数字能被2或5整除
2、能被4或25整除的数，它的最后两位数能被4或25整除。
3、能被8或125整除的数，它的最后三位数能被8或125整除。
4、能被3或9整除的数，它的各数位上的数字之和能被3或9整除。
5、能被11整除的数，它的奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差是11的倍数。
6、0能被任何非零整数整数，
1
能整除任何整数。
要判断某数能 否被一个合数整除，只须将这个合数分解成两个互质的约数的乘积，若这个整数能分

别被 这两个约数整除，则这个数能被这个合数整除。
经典例题：
例6、能被11整除的最小九位数是多少？
解：若某数可被11整除，则其奇数位数字 之和与偶数位数字之和的差位11的倍数，要这样的数最
小，首先取1，十位取1，其余数位取0，即所 求数为100000010。
例7、一个四位数能被9整除，去掉末位数字后所得的三位数恰是4的倍 数，求这样的四位数中最大的
一个。
解：要求这样的四位数中最大的一个，因而设这个 四位数为
99cd
，要使
99c
为4的倍数，且要最大，
故
c6
。
99cd
要能被9整除，
cd6d
能被9整除 ，故
d3

例8、两个三位
abc,def
的和
abc def
能被37整除，证明：六位数
abcdef
也能被37整除。（第八届
“祖冲之杯”数学邀请赛试题）
证明：
37|(abcdef)
，
abcbcd37m

(m为整数)

又
abcdefabc1000def

abc999abcdef

而
9999337
，
abcdef3727abc37m

37(27abcm)


37|abcdef

例9、已知一个七位自然数
62xy427
是99的倍数（其中
x,y
是0到9中的某个数字），试求
（第八届“希望杯”全国数 学邀请赛初一试题）
950x24y1
的值，简写出求解过程。
题难：分析62xy427
是99的倍数，而99
911
，故
62xy427< br>分别是9和11的倍数
由被9，11数整除的数的特点而解此题。
解：
9 9|62xy427
，
9|52xy427且11|62xy427

62xy427183xy
是9的倍数，
即
3xy9m
（
m
为自然数）
0x9,0y9
，
3xy321
。
xy 39
，或
xy318

xy6
或
xy15

11|62xy4 27
，
11|[(6x47)(2y2)]

即
11|(13xy)
故
2xy
是11的倍数
又
9xy9
，即
72xy11

xy2或xy9

xy与xy
同奇偶，

xy6

xy15



或< br>
xy2xy9


x2
或



y4

x2


< br>
y4
950x24y1950224411997

备选题：

x12
（不合题意，舍去）


y3
A
类：
1、 设六位数
a1527b
是4的倍数，且它被11除的余数是5，求a+b的值.
（六 位数
a1527b
是4的倍数，有
4|
7b
，故
b2或6；又

它被11除的余数是5
易得1）、当
b6
，11|
a15271
，
a57121a8
是11的倍数， 故
a3

2）、当
b2
，11
|
a15267
，
a56127a1
是11的倍数，无解。）
2、 如果个六位数
19x19y
能被33整除，这样的六位数共有多少个？
（易得
11|(1x991y)
，及
11|(xy)

xy

3|(1991xy)
，及
3|(xy2)
易得解
xy2
或
xy5
或
xy8
故有3组，分别为192192、195195、198198。
3、 求一个四位数，它等于抹去它的首位数字后剩下的三位数的3倍减去42。
（
abcd3 bcd42
整理得
500a100b10cd21
得
d1
代入得
c2,b5,a1
）
4、
a，b，c，d
是数0到 9的数字，
abcdabcaba1989
，
a______,

b__________,c_________,d__________.
（“缙云 杯”初中数学邀请赛试题）
5、一个五位数
4x97x
能被3整除，它的最末两位数 字组成的数
7x
能被6整除，求这个五位数。
B
类：
1、 如果 十位数
1995xy5991
能被99整除，其中
x、y
是未知数，则
x_______,y_________
。
（第七届“五羊杯”初中数学竞赛初一试题 ）