(完整版)《平行四边形及其性质》知识讲解(基础)
温柔似野鬼°
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2021年01月16日 23:17
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平行四边形及其性质（基础）
【学习目标】
1
．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理
.
2
．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解
决四边形的问题．
3.
了解平行四边形的不稳定性及其实际应用．
4.
掌握两个推论：
“夹在两条平行线间的平行线段相等” 。“夹在两条平行线间的垂线段相
等” ．
【要点梳理】
知识点一、平行四边形的定义
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
.
平行四边形
ABCD
记作
“
Y
ABCD
”，读作“平行四边形
ABCD
”
.
要点诠释：
平行四边形的基本元素：边、角、对角线
.
相邻的两边为邻边，有四对；相
对
的边为对边，有两对；相邻 的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有
两条
.
知识点二、平行四边形的性质定理
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角线互相平分；
要点诠释：（
1
）平行四边形的性
质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的
性质可以证明两角相等或两角互补；对
角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系
.
（
2
）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择
.
（
3
）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形
三
边的不等关系来解决
.
知识点三、平行线的性质定理
1.
两条平行线间的距离：
（
1
）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行
线间
的距离
.
注：距离是指垂线段的长度，是正值
.
2
．平行线性质定理及其推论
夹在两条平行线间的平行线段相等
.
平行线性质定理的推论：
夹在两条平行线间的垂线段相等
.
【典型例题】
类型一、平行四边形的性质
1
、如图所示，已知四边形
ABCD
是平行四边形，若
AF
、
BE
分别为∠
DAB
、∠
CBA
的
平
分线．求证：
DF
＝
EC
．
【答案与解析】
证明：∵ 在
∠
DFA
＝∠
FAB
．
Y
ABCD
中，
CD
∥
AB
，
又∵
AF
是∠
DAB
的平分线，
∴ ∠
DAF
＝∠
FAB
，
∴ ∠
DAF
＝∠
DFA
，
∴
AD
＝
DF
．
同理可得
EC
＝
BC
．
∵ 在
Y
ABCD
中，
AD
＝
BC
，
∴
DF
＝
EC
．
【总结升华】
利用平行四边形的性质可以得到对角相等，
对边平行且相等，
为证明线段相等
提供了条件．
举一反三：
【变式】如图，
E
、
F
是平行四边形
ABCD
的对角线
AC
上的点，
CE
＝
AF
，请你猜想：线段
BE
与线段
DF
有怎样的关系？并对你的猜想加以证明
.
【答案】
证明：猜想：
BE
∥
DF
且
BE
＝
DF.
∵四边形
ABCD
是平行四边形
∴
CB=AD
，
CB
∥
AD
∴∠
BCE
＝∠
DAF
在△
BCE
和△
DAF
中
CB AD
BCE DAF
CE AF
∴△
BCE
≌
△
DAF
∴
BE
＝
DF
，∠
BEC
＝∠
DFA
∴
BE
∥
DF
即
BE
∥
DF
且
BE
＝
DF.
2.
（
2016
·永州）如图，在
?ABCD
中，∠
BAD
的角平分线
AE
交
CD
于点
F,
交
BC
的
延长
线于点
E
．
（
1
）求证：
BE=CD
；
（
2
）连接
BF
，若
BF
⊥
AE
，∠
BEA=60
°，
AB=4
，求平行四边形
ABCD
的面积．
【思路点拨】
（
1
）由平行四边形的性质和角平分线得出∠
BAE=
∠
BEA
，即可证明；
（
2
）证
明
△
ABE
为等边三角形，由勾股定理求出
BF
，由
AAS
证明△
ADF
≌
△
ECF
，得出△
ADF
与△
ECF
的面积相等，平行四边形
ABCD
的面积
=
△
ABE
的面积，即可得出结果．
【答案与解析】
（
1
）证明：∵在平行四边形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，
AB
∥
CD
，
AB=CD
，
∴∠
AEB=
∠
DAE
，
又∵
AE
是∠
BAD
的角平分线，
∴∠
B
AE=
∠
DAE
，
∴∠
AEB=
∠
BAE
，
∴
AB=BE
，
∴
BE=CD
．
（
2
）解：∵
AB=BE
，∠
BEA=60
°
∴△
ABE
为等边三角形，
∴
AE=AB=4
，
∵
BF
⊥
AE
，
∴
AF=EF=2
，
∴
BF=
2 3
，
∵
AD
∥
BC
，
∴∠
D=
∠
ECF
，∠
DAF=
∠
E
，
在△
ADF
和△
ECF
中，
D ECF
DAF E ,
AF EF
∴△
ADF
≌
△
ECF
（
AAS
）
∴△
ADF
的面积
=
△
ECF
的面积，
∴平行四边形
ABCD
的面积
=
△
ABE
的面积
=
1
AE BF
1
4 2 3 4 3
．
22
【总结升华】
本题考查了平行四边形的性质、
全等三角形的判定与性质、
等腰三角形的判定、
等边三角形的性质与判定、
勾股定理；
解答本题注意掌握平行四边形的对边平行且相等的性
质．
3.
如图，在
?ABCD
中，点
E
，
F
分别在边
DC
，
AB
上，
DE=BF
，把平行四边形沿直线
EF