2019年中考数学总复习： 二次函数压轴题(含答案)
巡山小妖精
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2021年01月18日 12:31
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什组词-关于消防安全的作文
2019
年中考数学总复习：
二次函数压轴题（含答案）
【热点探究】
类型一：抛物线与三角形的综合问题
【例题
1
】
（
2016
·云南省昆明市）
如图
1
，对称轴为直线
x=
的抛物线经过
B
（
2
，
0< br>）
、
C
（
0
，
4
）两点，抛物线与
x
轴的另一交点为
A
（
1
）求抛物线的解析式；
（
2
）
若点
P
为第一象限内抛物线上的一点，
设四边形< br>COBP
的面积为
S
，
求
S
的最大值；
< br>（
3
）如图
2
，若
M
是线段
BC
上 一动点，在
x
轴是否存在这样的点
Q
，使△MQC
为等腰
三 角形且△MQB
为直角三角形？若存在，求出点
Q
的坐标；若不存在，请说明理由．< br>
【考点】
二次函数综合题．
【分析】
（
1
）由对称轴的对称性得出点
A
的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式；
（
2
）作辅助线把四边形
COBP
分成梯形和直角三角形，表示 出面积
S
，化简后是一个关
于
S
的二次函数，求最值即可；
（
3
）画出符合条件的
Q
点，只有一种，①利用平行相似得对应高的 比和对应边的比相
等列比例式；②在直角△OCQ
和直角△CQM
利用勾股定理列方程 ；两方程式组成方程组求解
并取舍．
【解答】解：
（
1
） 由对称性得：
A
（﹣
1
，
0
）
，
设抛物线的解析式为：
y=a
（
x+1
）
（
x
﹣
2
）
，
把
C
（
0
，
4
）代入：
4=
﹣
2a
，
a=
﹣
2
，
∴y=﹣
2
（
x+ 1
）
（
x
﹣
2
）
，
∴抛物线的 解析式为：
y=
﹣
2x
2
+2x+4
；
（
2
）如图
1
，设点
P
（
m
，﹣
2m
+2m+4
）
，过
P
作
PD⊥x
轴，垂足为< br>D
，
∴S=S
梯形
+S
△PDB
=
m
（﹣
2m
2
+2m+4+4
）
+
（﹣
2m
2
+2m+4
）
（
2
﹣
m
）
，
S=
﹣
2m
+4m+4=
﹣
2
（m
﹣
1
）
+6
，
∵﹣
2
＜
0
，
∴S
有最大值，则
S
大
=6
；
（
3
）如图
2
，存在这样的点
Q
，使△MQC
为等腰三角形 且△MQB
为直角三角形，
理由是：
设直线
BC
的解析式为：
y=kx+b
，
把B
（
2
，
0
）
、
C
（
0，
4
）代入得：
解得：
，
，
2< br>2
2
∴直线
BC
的解析式为：
y=
﹣
2x+ 4
，
设
M
（
a
，﹣
2a+4
）
，
过
A
作
AE⊥BC，垂足为
E
，
则
AE
的解析式为：
y=
x+
，
则直线
BC
与直线
AE
的交点
E
（
1.4
，1.2
）
，
设
Q
（﹣
x
，
0
）
（
x
＞
0
）
，
∵AE∥QM，
∴△ABE∽△QBM，
∴
①，
2
2
2
2
由勾股定理得：
x
+4
=2×[a
+
（﹣
2a+4
﹣
4
）
]②，
由①②得：
a
1
=4
（舍）
，
a
2
=
，
当
a=
时，
x=
，
∴Q（﹣
，
0
）
．
【同步练】
（
2016
·浙江省湖州市）如图，已知二次函数y=
﹣
x
+bx+c
（
b
，
c
为常数 ）的图象经过
点
A
（
3
，
1
）
，点
C
（
0
，
4
）
，顶点为点
M
，过点A
作
AB∥x
轴，交
y
轴于点
D
，交该二次函 数
图象于点
B
，连结
BC
．
（
1
）求该二次函数的解析式及点
M
的坐标；
（
2
）若将该二次函数图象向下平移
m
（
m
＞
0）个单位，使平移后得到的二次函数图象
的顶点落在△ABC
的内部（不包括△ABC的边界）
，求
m
的取值范围；
（
3
）点P
是直线
AC
上的动点，若点
P
，点
C
，点< br>M
所构成的三角形与△BCD
相似，请
直接写出所有点
P
的坐 标（直接写出结果，不必写解答过程）
．
2
类型二：抛物线与四边形的综合问题
【例题
2
】
2016
·青海西宁·12
分）如图，在平面直角坐标系中，四边形
ABCD
是以
AB
为直径的⊙M
的内接四边形，点
A
，
B
在
x
轴上，△MBC
是边长为
2
的等边三角形，过点
M作直线
l
与
x
轴垂直，交⊙M
于点
E
，垂足为 点
M
，且点
D
平分
（
1
）求过
A
，
B
，
E
三点的抛物线的解析式；
（
2
）求证：四边形
AMCD
是菱形；
（
3
）请问在抛物线上是否存在一点
P
，使得△ABP
的面积等于定值
5
？若存在，请求出
所有的点
P
的坐标；若不存在，请说明理由．
．
【考点】
二次函数综合题．
【分析】（
1
）根据题意首先求出抛物线顶点
E
的坐标，再利用顶点式求出函数解 析式；
（
2
）利用等边三角形的性质结合圆的有关性质得出∠AMD=∠C MD=
∠AMC=60°，进而
得出
DC=CM=MA=AD
，即可得出答案 ；
（
3
）首先表示出△ABP
的面积进而求出
n
的值，再代入函数关系式求出
P
点坐标．
【解答】
（
1< br>）解：由题意可知，△MBC
为等边三角形，点
A
，
B
，C
，
E
均在⊙M
上，
则
MA=MB=MC=ME=2
，
又∵CO⊥MB，
∴MO=BO=1，
∴A（﹣
3
，
0
）
，
B
（
1
，
0
）
，
E
（﹣
1
，﹣
2
）
，
抛物线顶点
E
的坐标为 （﹣
1
，﹣
2
）
，
设函数解析式为
y= a
（
x+1
）
2
﹣
2
（a≠0）
把点
B
（
1
，
0
）代入
y=a
（
x+1
）
2
﹣
2
，
解得：
a=
，
故二次函数解析式为：
y=
（x+1
）
2
﹣
2
；
（
2
）证明：连接
DM
，
∵△MBC
为等边三角形，
∴∠CMB=60°，
∴∠AMC=120°，
∵点
D
平分弧
AC
，
∴∠AMD=∠CMD=
∠AMC=60°，
∵MD=MC=MA，
∴△MCD，△MDA
是等边三角形，
∴DC=CM=MA=AD，
∴四边形
AMCD
为菱形（四条边都相等的四边形是菱形）
；
（
3
）解：存在．
理由如下：
设点
P
的坐标为（
m
，
n
）
∵S
△ABP
=
AB|n|
，
AB=4
∴
×4×|n|=5，
即
2|n|=5
，
解得：n=±
，
当
时，
（
m+1
）
﹣
2=
，
< br>2
解此方程得：
m
1
=2
，
m
2
=
﹣
4
即点
P
的坐标为（
2
，
）
，
（﹣
4
，
）
，
当
n=
﹣时，
（
m+1
）
﹣
2=
﹣
，
此方程无解，
故所求点
P
坐标为（
2
，
）
，
（﹣
4
，
）
．
2
【同步练】
（
2016
·四川眉山）已知如图，在平面直角坐标系
xOy
中，点
A
、
B
、
C
分别为坐标轴上
上的三个点，且
OA=1
，
OB=3
，
OC=4
，
（
1
）求经过
A
、
B
、
C三点的抛物线的解析式；
（
2
）在平面直角坐标系
xOy中是否存在一点
P
，使得以以点
A
、
B
、
C< br>、
P
为顶点的四边
形为菱形？若存在，请求出点
P
的坐标；若 不存在，请说明理由；
（
3
）若点
M
为该抛物线上一动点 ，在（
2
）的条件下，请求出当
|PM
﹣
AM|
的最大值时 点
M
的坐标，并直接写出
|PM
﹣
AM|
的最大值．
类型三：抛物线与图形变换的综合问题
【例题
3
】
（
2016
·陕西）
如图，
在平面直角坐标系 中，
点
O
为坐标原点，
抛物线
y=ax
2
+bx+ 5
经过点
M
（
1
，
3
）和
N
（< br>3
，
5
）
（
1
）试判断该抛物线与
x
轴交点的情况；
（< br>2
）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点
A
（﹣
2
，< br>0
）
，且与
y
轴交于点
B
，同
时满足以A
、
O
、
B
为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过 程，并说明理由．
【考点】
二次函数综合题．
【分析 】
（
1
）把
M
、
N
两点的坐标代入抛物线解析式可 求得
a
、
b
的值，可求得抛物线解
析式，再根据一元二次方程根的判 别式，可判断抛物线与
x
轴的交点情况；
（
2
）利用A
点坐标和等腰三角形的性质可求得
B
点坐标，设出平移后的抛物线的解析
式，把
A
、
B
的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式，比较平移前后抛 物线的顶点的变
化即可得到平移的过程．
【解答】
解：
（
1
）由抛物线过
M
、
N
两点，
把
M
、
N
坐标代入抛物线解析式可得
∴抛物线解析式为
y =x
﹣
3x+5
，
令
y=0
可得
x
﹣
3x+5=0
，
该方程的判别式为△=（﹣
3
）
2
﹣4×1×5=9﹣
20=< br>﹣
11
＜
0
，
∴抛物线与
x
轴没有交点；
（
2
）∵△AOB< br>是等腰直角三角形，
A
（﹣
2
，
0
）
，点< br>B
在
y
轴上，
∴B
点坐标为（
0
，
2
）或（
0
，﹣
2
）
，
可设平移后的抛物线解析式为
y=x
2
+mx+n
，
2
2
，解得
，
①当抛物线过点
A
（﹣< br>2
，
0
）
，
B
（
0
，
2< br>）时，代入可得
∴平移后的抛物线为
y=x
+3x+2
，
2
，解得
，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣
，﹣
）
，而原抛物线顶点坐标为（
，
）
，
∴将原抛物线先向左平 移
3
个单位，再向下平移
3
个单位即可获得符合条件的抛物线；
< br>②当抛物线过
A
（﹣
2
，
0
）
，
B
（
0
，﹣
2
）时，代入可得
∴平移后的抛物线为
y =x
+x
﹣
2
，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣
， ﹣
）
，而原抛物线顶点坐标为（
，
）
，
2
，解得
，
∴将原抛物线先向左平移
2
个单位， 再向下平移
5
个单位即可获得符合条件的抛物线．
【同步练】
（
2016
·重庆市
A
卷·
12
分）如图
1
，在平面直角坐标系中，抛物线
y=
﹣
x< br>2
+
x+3
与
x
轴交于
A
，
B两点（点
A
在点
B
左侧），与
y
轴交于点
C< br>，抛物线的顶点为点
E
．
（
1
）判断△ABC
的形状，并说明理由；
（
2
）经过
B
，
C
两点的直线交抛物线 的对称轴于点
D
，点
P
为直线
BC
上方抛物线上的
一动点，当△PCD
的面积最大时，
Q
从点
P
出发，先沿适当的路径 运动到抛物线的对称轴上
点
M
处，
再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y
轴上的点
N
处，
最后沿适当的路径运动到
点
A
处停止．当点
Q
的运动路径最短时，求点
N
的坐标及点
Q
经过的最短路径的长；
（
3
）如图
2
，平移抛 物线，使抛物线的顶点
E
在射线
AE
上移动，点
E
平移后的 对应点
为点
E′，点
A
的对应点为点
A′，将△AOC
绕点
O
顺时针旋转至△A
1
OC
1
的位置，点
A
，
C
的
对应点分别为点
A
1
，
C
1，且点
A
1
恰好落在
AC
上，连接
C
1
A′，
C
1
E′，△A′C
1
E′是否能为等
腰三角形？ 若能，请求出所有符合条件的点
E′的坐标；若不能，请说明理由．
类型四：抛物线下的动态最值问题
【例题
4
】
（
2016
·贵州安顺·14
分）如图，抛物线经过
A
（﹣
1
，
0
）
，
B
（
5
，
0
）
，
C
（
0
，
）三点．
（
1
）求抛物线的解析式；
（
2
）在抛物线的对 称轴上有一点
P
，使
PA+PC
的值最小，求点
P
的坐标；
（
3
）点
M
为
x
轴上一动点，在抛物线 上是否存在一点
N
，使以
A
，
C
，
M
，< br>N
四点构成的
四边形为平行四边形？若存在，求点
N
的坐标；若不存在 ，请说明理由．
【分析】
（
1
）设抛物线的解析式为< br>y=ax
+bx+c
（a≠0）
，再把
A
（﹣
1，
0
）
，
B
（
5
，
0
），
C
（
0
，
）三点代入求出
a
、
b< br>、
c
的值即可；
2
（
2
）因为点
A
关于对称轴对称的点
B
的坐标为（
5
，
0
），连接
BC
交对称轴直线于点
P
，
求出
P
点坐 标即可；
（
3
）分点
N
在
x
轴下方或上 方两种情况进行讨论．
【解答】解：
（
1
）设抛物线的解析式为< br>y=ax
+bx+c
（a≠0）
，
∵A（﹣
1，
0
）
，
B
（
5
，
0
），
C
（
0
，
）三点在抛物线上，
2
∴
，
解得
．
2
∴抛物线的 解析式为：
y=
x
﹣
2x
﹣
；
（
2
）∵抛物线的解析式为：
y=
x
﹣
2x
﹣< br>，
2
∴其对称轴为直线
x=
﹣
连接
BC< br>，如图
1
所示，
=
﹣
=2
，
< br>∵B（
5
，
0
）
，
C
（
0
，﹣
）
，
∴设直线
BC
的解析式为
y=kx+b
（k≠0）
，
∴
，
解得
，
∴直线
BC
的解析式为
y=
x
﹣
，
当
x=2
时，
y=1
﹣
=
﹣
，
∴P（
2
，﹣
）
；
（
3
）存在．
如图
2
所示，
①当点
N
在
x
轴下方时，
∵抛物线的对称轴为直 线
x=2
，
C
（
0
，﹣
）
，
∴N
1
（
4
，﹣
）
；
②当点
N
在
x
轴上方时，
如图，过点
N
2
作
N
2
D⊥x
轴于点
D
，
在△AN
2
D
与△M
2
CO
中，
∴△AN
2
D≌△M
2
CO
（
ASA< br>）
，
∴N
2
D=OC=
，即
N
2
点的纵坐标为
．
∴
x
﹣
2x
﹣
=
，
解得
x=2+
或
x=2
﹣
，
2
∴N
2
（
2+
，
）
，
N
3
（2
﹣
，
）
．
，
）或（
2
﹣
，
）
．
综上所述 ，符合条件的点
N
的坐标为（
4
，﹣
）
，
（
2+
【点评】
本题考查的是二次函数综合题，
涉及到用待定系数法求一次 函数与二次函数的
解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（
3
） 时要注意进行分类讨论．
【同步练】
（烟台市
2015
中考
-24
）
如图，
在平面直角坐标系中，
抛物线
y=ax
+bx+c
与⊙M
相交
于
A
、
B
、
C
、
D
四点，其中
A
、
B
两点的坐标 分别为（﹣
1
，
0
）
，
（
0
，﹣
2
）
，点
D
在
x
轴上且
AD
为⊙M
的直径．点
E
是⊙M
与
y
轴的另一个交点，过劣弧
且FH=1.5
（
1
）求点
D
的坐标及该抛物线的表达式；
（< br>2
）若点
P
是
x
轴上的一个动点，试求出△PEF
的 周长最小时点
P
的坐标；
（
3
）
在抛物线的对称 轴上是否存在点
Q
，
使△QCM
是等腰三角形？如果存在，
请直接写
出点
Q
的坐标；如果不存在，请说明理由．
上的点
F作
FH⊥AD
于点
H
，
2
类型五：抛物线下的动态存在问题
【例题
5
】
（枣庄市
2015
中考
-25< br>）
如图，
直线
y=x+2
与抛物线
y
ax
2
bx
6
（a≠0）
相交于
A
（
1
5
，
）和
B
（
4
，
m）
，点
P
是线段
AB
上异于
A
、
B< br>的动点，过点
P
作
PC⊥x
轴
2
2
于点D
，交抛物线于点
C
．
（
1
）求抛物线的解析式；
（
2
）
是否 存在这样的
P
点，使线段
PC
的长有最大值？若存在，
求出这个最大 值；若不
存在，请说明理由；
（
3
）求△PAC
为直角三角形时点
P
的坐标．
思路分析：
此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用 以及直角三角形的判定、
函数图象交点坐标的求法等知识解题时注意联系，对于题（
1
）已知
B
（
4
，
m
）在直线
y=x+2
上 ，很容易求得
m
的值，又因为已知抛物线图象上的
A
、
B
两 点坐标，可将其代入抛物线的
解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．
（
2
）要弄清
PC
的长，实际是直线
AB
与抛物线函数值的差．
可设出
P
点横坐标，
根据直线
AB
和抛物线的解析式表示出
P
、
C
的纵
坐标，
进而得到关于
PC
与
P
点横坐标的函数关系式，
根据函数的性质即可求出
PC
的最大值．
对于题（
3
）当△PAC
为直角三角形时，根据直角顶点的不同，需要结合图 形从三种情
况进行分类讨论，分别求解．
解题过程：
解：
（
1
）∵B（
4
，
m
）在直线
y=x+2
上，
∴m=4+2=6，
∴B（
4
，
6
）
，
∵A（
1< br>5
，
）
、
B
（
4
，
6
）在 抛物线
y
ax
2
bx
6
上 ，
2
2
1
2
1
5
a
2
(
)
a
b
6
∴
2
，解得
，
2
2
b
8
6
16
a
4
b
6
∴抛物线的解析式为
y
2
x
2
8
x
6
．
（
2
）设动点
P
的坐标为（
n
，< br>n+2
）
，则
C
点的坐标为（
n
，
2
n
2
8
n
6
）
，
∴PC=（
n
+2
）﹣（
2
n
2
8< br>n
6
）
，
=
2
n< br>2
9
n
4
，
9
49
=
2(
n
)
2
，
4
8
∵PC＞
0
，
∴当
n=
9
49
时，线段
PC
最大且为
．
4
8
（
3
）∵△PAC
为直角三角形，
i
）若点
P
为直角顶点，则∠APC=90°．
由题意易知，PC∥y
轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；
ii
）若点
A
为直角顶点，则∠PAC=90°．
如答图
3
﹣
1
，过点
A
（
1
5
1
5
，
）作
AN⊥x
轴于点
N
，则
ON=
，
AN=
．
2
2
2
2
过点
A< br>作
AM⊥直线
AB
，交
x
轴于点
M
，则由题 意易知，△AMN
为等腰直角三角形，
∴MN=AN=
5
1
5
，∴OM=ON+MN=
+
=3
，
2
22
∴M（
3
，
0
）
．
设直线
AM
的解析式为：
y=kx+b
，
5
1
k
1
k
b
则：
2
，
2
，解得
b
3
3
k
b
0
∴直线
AM
的解析式为：
y=
﹣x+3 ①
又抛物线的解析式为：
y=2x
﹣8x+6 ②
联立 ①②式，解得：
x=3
或
x=
1
（与点
A
重合，舍 去）
2
2
∴C（
3
，
0
）
，即 点
C
、
M
点重合．
当
x=3
时，
y=x+2=5
，
∴P
1
（
3
，
5
）
；
iii
）若点
C
为直角顶点，则∠ACP=90°．
∵y =2x
﹣
8x+6=2
（
x
﹣
2
）
﹣2
，
∴抛物线的对称轴为直线
x=2
．
如 答图
3
﹣
2
，作点
A
（
1
5
，< br>）关于对称轴
x=2
的对称点
C
，
2
2
7
5
，
）
．
2
2
2
2
则点
C
在抛物线上，且
C
（
当
x=
7
11
时，
y=x+2=
．
2
2
7
11
，
）
．
2
2
∴P
2
（
∵点
P
1
（
3
，5
）
、
P
2
（
7
11
，
）均 在线段
AB
上，
2
2
∴综上所述，△PAC< br>为直角三角形时，点
P
的坐标为（
3
，
5
）或（7
11
，
）
．
2
2
规律总结：
熟练把握关于二次函数解析式的确定、
二 次函数最值的应用以及直角三角形的判定、
函
数图象交点坐标的求法等知识是解此类综合性强的 问题的关键．
【同步练】
（
2016
·内蒙古包头）如 图，在平面直角坐标系中，已知抛物线
y=ax
+
bx
﹣
2
（a≠0）
与
x
轴交于
A
（
1
，
0
）
、
B
（
3
，
0
）两点，与
y
轴交于点
C
，其顶点为点
D
，点
E
的坐标为（
0< br>，
﹣
1
）
，该抛物线与
BE
交于另一点
F< br>，连接
BC
．
（
1
）求该抛物线的解析式，并用配 方法把解析式化为
y=a
（
x
﹣
h
）
2
+ k
的形式；
（
2
）若点
H
（
1
，
y
）在
BC
上，连接
FH
，求△FHB
的面积；
（
3
）一动点
M
从点
D
出发，以每秒< br>1
个单位的速度平沿行与
y
轴方向向上运动，连接
OM
，BM
，设运动时间为
t
秒（
t
＞
0
）
，在点
M
的运动过程中，当
t
为何值时，∠OMB=90°？
（
4
）在
x
轴上方的抛物线上，是否存在点
P
，使得∠ PBF
被
BA
平分？若存在，请直接
写出点
P
的坐标；若不 存在，请说明理由．
2
类型六：抛物线与相似的综合问题
【例题
6
】
（烟台市
2014
中考
-26< br>）
如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC
的顶点
A
，
C< br>分别在
y
轴，
x
轴上，∠ACB=90°，
OA=
y
轴交于点
D
．
（
1
）求抛物线的表达式；
（
2
）点
B
关于直线
AC
的对称点是否在抛物线上？请说明理由；
（
3
）延长
BA
交抛物线于点
E
，连接
ED
，试说明
ED∥AC
的理由．
，抛物线
y=ax
﹣
ax< br>﹣
a
经过点
B
（
2
，
2
）
，与
【解析】
（
1
）把点
B
的坐标代入抛物线的 表达式即可求得．
（
2
）通过△AOC∽△CFB
求得
O C
的值，通过△OCD≌△FCB
得出
DC=CB
，∠OCD=∠FCB，< br>然后得出结论．
（
3
）设直线
AB
的表达式为y=kx+b
，求得与抛物线的交点
E
的坐标，然后通过解三角
函数求得 结果．
【解答】
解：
（
1
）把点
B
的坐 标代入抛物线的表达式，得
解得
a=
，
x
﹣
2< br>=a×2
﹣
2a
﹣
a
，
2
∴抛物线的表达式为
y=
x
﹣
．
< br>（
2
）连接
CD
，过点
B
作
BF⊥x
轴于点
F
，则∠BCF+∠CBF=90°
∵∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCF=90°，
∴∠ACO=∠CBF，
∵∠AOC=∠CFB=90°，
∴△AOC∽△CFB，
∴
=
，
=
，
设
OC=m
，则
CF=2
﹣
m
，则有
解得
m
1
=m
2
=1
，
∴OC=CF=1，
当
x=0
时，
y=
﹣
∴OD=
，
，
∴BF=OD，
∵∠DOC=∠BFC=90°，
∴△OCD≌△FCB，
∴DC=CB，∠OCD=∠FCB，
∴点
B
、
C
、
D
在同一直线上，
∴点
B
与点
D
关于直线
AC
对称，
∴点
B
关于直线
AC
的对称点在抛物线上．
（< br>3
）过点
E
作
EG⊥y
轴于点
G
，设直线< br>AB
的表达式为
y=kx+b
，则
，
解得
k=
﹣
∴y=﹣
x+
，
，代入抛物 线的表达式﹣
x+
=
x
﹣
2
x
﹣
．
解得
x=2
或
x=
﹣
2
，
当
x=
﹣
2
时
y=
﹣
x+
=
﹣< br>×（﹣
2
）
+
）
，
=
，
=
，
∴点
E
的坐标为（﹣
2
，
∵tan∠EDG=
=
∴∠EDG=30°
∵tan∠OAC=
=
=
，
∴∠OAC=30°，
∴∠OAC=∠EDG，
∴ED∥AC．
【点评】
本题考查了待定系数法求解 析式，
三角形相似的判定及性质，
以及对称轴的性
质和解三角函数等知识的理解和掌握 ．
【同步练】
（
2016
·湖北荆门·14
分 ）如图，直线
y=
﹣
x+2
与
x
轴，
y
轴 分别交于点
A
，点
B
，两动点
D
，
E
分别 从点
A
，点
B
同时出发向点
O
运动（运动到点
O< br>停止）
，运动速度分别
是
1
个单位长度
/
秒和
个单位长度
/
秒，设运动时间为
t
秒，以点
A
为顶点的抛 物线经过
点
E
，过点
E
作
x
轴的平行线，与抛物线 的另一个交点为点
G
，与
AB
相交于点
F
．
（
1
）求点
A
，点
B
的坐标；
（
2
）用含
t
的代数式分别表示
EF
和
AF
的长；
（
3
）当四边形
ADEF
为菱形时，试判断△A FG
与△AGB
是否相似，并说明理由．
（
4
）是否存在
t
的值，使△AGF
为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；
若不 存在，请说明理由．
【达标检测】
1.
（
2016
·湖北黄石·
8
分）科技馆是少年儿童节 假日游玩的乐园．
如图所示，图中点的横坐标
x
表示科技馆从
8< br>：
30
开门后经过的时间（分钟）
，纵坐标
y
表示到达科技馆 的总人数．图中曲线对应的函数解析式为
y=
，
10
：
00
之后来的游客较少可忽略不计．
（
1
）请写出图中曲线对应的函数解析式；
（
2
）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过
684
人，后来的人在馆外休息
区 等待．从
10
：
30
开始到
12
：
00
馆 内陆续有人离馆，平均每分钟离馆
4
人，直到馆内人数
减少到
624
人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？
2.
（
2016
·广西百色·12
分）正方形
OABC< br>的边长为
4
，对角线相交于点
P
，抛物线
L
经过O
、
P
、
A
三点，点
E
是正方形内的抛物线上 的动点．
（
1
）建立适当的平面直角坐标系，
①直接写出
O
、
P
、
A
三点坐标；
②求抛物线
L
的解析式；
（
2
）求△OAE
与△OCE
面积之和的最大值．
3.
（
2016
·广西桂林·12
分）如图
1
，
已知开口向下的抛物线
y
1
=ax
﹣
2ax+1
过点
A
（
m
，
1
）
， 与
y
轴交于点
C
，顶点为
B
，将抛物线
y
1
绕点
C
旋转
180°后得到抛物线
y
2
，点A
，
B
的
对应点分别为点
D
，
E
．< br>
（
1
）直接写出点
A
，
C
，
D< br>的坐标；
（
2
）当四边形
ABCD
是矩形时，求< br>a
的值及抛物线
y
2
的解析式；
（
3）在（
2
）的条件下，连接
DC
，线段
DC
上的动点< br>P
从点
D
出发，以每秒
1
个单位长
度的速度运动到点
C
停止，
在点
P
运动的过程中，
过点
P
作 直线
l⊥x
轴，
将矩形
ABDE
沿直
线
l
折叠，设矩形折叠后相互重合部分面积为
S
平方单位，点
P
的运动时间为t
秒，求
S
与
t
的函数关系．
4.
（
2016
·黑龙江齐齐哈尔·8
分）如图，对称轴为直线
x=2
的抛物线
y= x
+bx+c
与
x
轴交于点
A
和点
B
，与
y
轴交于点
C
，且点
A
的坐标为（﹣
1
，
0
）
（
1
）求抛物线的解析式；
（
2
）直接写出
B
、
C
两点的坐标；
< br>（
3
）求过
O
，
B
，
C
三点的圆的 面积．
（结果用含
π
的代数式表示）
注：二次函数
y=a x
2
+bx+c
（a≠0）的顶点坐标为（﹣
，
）
2
2
5.
（枣庄市
2014
中考
-25
）如图，在平面直角坐标系中，二次函数
y=x
﹣2x
﹣
3
的
图象与
x
轴交于
A
、B
两点，与
y
轴交于点
C
，连接
BC
，点D
为抛物线的顶点，点
P
是第四
象限的抛物线上的一个动点（不与点D
重合）
．
2
（
1
）求∠OBC
的度数；
（
2
）连接
CD
、
BD
、
DP
，延长
DP
交
x
轴正半轴于点
E
，且
S
△OCE
=S
四边形OCDB
，求此时
P
点
的坐标；
（
3
）过点
P
作
PF⊥x
轴交
BC
于点
F
， 求线段
PF
长度的最大值．
6.
（郴州市
2014
中考
-26
）已知抛物线
y=ax
+bx+c
经过
A
（﹣
1
，
0
）
、
B
（2
，
0
）
、
C
（
0
，
2）三点．
（
1
）求这条抛物线的解析式；
（
2
）如图一，点
P
是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点
P
运 动到什么位置时，
四边形
ABPC
的面积最大？求出此时点
P
的坐标 ；
（
3
）如图二，设线段
AC
的垂直平分线交
x
轴于点
E
，垂足为
D
，
M
为抛物线的顶点，
那么在直线
DE
上是否存在一点
G
，
使△CMG
的周长最 小？若存在，
请求出点
G
的坐标；
若不
存在，请说明理由．
2
7.
（
2016
·湖北荆州·14
分）阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平
行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的 直线，
叫该点的“特征线”．
例如，
点
M
（
1
，< br>3
）
的特征线有：
x=1
，
y=3
，
y=x +2
，
y=
﹣
x+4
．
问题与探究： 如图，在平面直角坐标系中有正方形
OABC
，点
B
在第一象限，
A
、
C
分别
在
x
轴和
y
轴上，抛物线
经过
B
、
C
两点，顶点
D
在正方形内部．
（
1
）直接写出点
D
（
m
，
n
）所有 的特征线；
（
2
）若点
D
有一条特征线是
y=x +1
，求此抛物线的解析式；
（
3
）点
P
是AB
边上除点
A
外的任意一点，连接
OP
，将△OAP
沿着
OP
折叠，点
A
落在
点
A′的位置，
当点A′在平行于坐标轴的
D
点的特征线上时，
满足
（
2
）
中条件的抛物线向
下平移多少距离，其顶点落在
OP
上？
8.
（
2016
·福建龙岩·14
分）已知抛物线
的两个交点分别为
A
（﹣
4
，
0
）
，
B
（
1
，
0
）
．
（
1
）求抛物线的解析式；
与
y
轴交于点
C
，与
x
轴
2
y
1
2x
bx
c
（
2
）已知点
P
在抛物线上，连接
PC
，
PB
，若△PBC
是以
BC为直角边的直角三角形，求
点
P
的坐标；
（
4
）已知点
E
在
x
轴上，点
F
在抛物线上，是否存在以A
，
C
，
E
，
F
为顶点的四边形是
平 行四边形？若存在，请直接写出点
E
的坐标；若不存在，请说明理由．
【参考答案】
类型一：抛物线与三角形的综合问题
【同步练】
（
2016
·浙江省湖州市）如图，已知二次函数y=
﹣
x
+bx+c
（
b
，
c
为常数 ）的图象经过
点
A
（
3
，
1
）
，点
C
（
0
，
4
）
，顶点为点
M
，过点A
作
AB∥x
轴，交
y
轴于点
D
，交该二次函 数
图象于点
B
，连结
BC
．
（
1
）求该二次函数的解析式及点
M
的坐标；
（
2
）若将该二次函数图象向下平移
m
（
m
＞
0）个单位，使平移后得到的二次函数图象
的顶点落在△ABC
的内部（不包括△ABC的边界）
，求
m
的取值范围；
（
3
）点P
是直线
AC
上的动点，若点
P
，点
C
，点< br>M
所构成的三角形与△BCD
相似，请
直接写出所有点
P
的坐 标（直接写出结果，不必写解答过程）
．
2
【考点】
二次函数综合题．
【分析】
（
1
）将点
A
、点
C
的坐标代入函数解析式，即可求出
b
、
c
的值，通过配方法
得到点
M
的坐标；
（
2
）
点
M
是沿着对称轴直线
x=1
向下平移的，
可先求出直 线
AC
的解析式，
将
x=1
代入
求出点
M
在向下平移时与
AC
、
AB
相交时
y
的值，即可得到
m
的取值范围；
（
3
）
由题意分析可得∠MCP=90 °，则若△PCM
与△BCD
相似，则要进行分类讨论，分成
△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB
两种，然后利用边的对应比值求出点坐标．
【解答】解：
（
1
）把点
A
（
3
，
1
）
，点
C
（
0
，
4
）代入二次函数
y=< br>﹣
x
+bx+c
得，
解得
2
∴ 二次函数解析式为
y=
﹣
x
2
+2x+4
，
配方得
y=
﹣（
x
﹣
1
）
+5
，
∴点
M
的坐标为（
1
，
5
）
；
（
2
）设直线
AC
解析式为
y=kx+b
，把点< br>A
（
3
，
1
）
，
C
（
0< br>，
4
）代入得，
解得
2
∴直线
AC
的解析式为
y=
﹣
x+4
，
如图所示，
对称轴 直线
x=1
与△ABC
两边分别交于点
E
、
点
F
把
x=1
代入直线
AC
解析式
y=
﹣< br>x+4
解得
y=3
，则点
E
坐标为（
1
，< br>3
）
，点
F
坐标为（
1
，
1
）
∴1＜
5
﹣
m
＜
3
，解得
2
＜
m
＜
4
；
（
3
）连接
MC
，作
MG⊥y
轴并延长交
AC
于点
N
，则点
G
坐标为（
0
，
5
）
∵
MG=1
，
GC=5
﹣
4=1
∴MC=
=
，
把
y=5
代入
y=
﹣
x+4
解得
x=
﹣
1
，则点
N
坐标为 （﹣
1
，
5
）
，
∵NG=GC，
GM=GC
，
∴∠NCG=∠GCM=45°，
∴∠NCM=90°，
由此可 知，若点
P
在
AC
上，则∠MCP=90°，则点
D
与点< br>C
必为相似三角形对应点
①若有△PCM∽△BDC，则有
∵BD=1，
CD=3
，
∴CP=
=
=
，
∵CD=DA=3，
∴∠DCA=45°，
若点
P
在
y
轴右侧，作
PH⊥y
轴，
∵∠PCH=45°，
CP=
∴PH=
=
，
把
x=
代入
y=
﹣
x+4
，解得
y=
∴P
1
（
）
；
同理可得，若点
P
在
y
轴左侧，则把
x=
﹣
代入
y=
﹣x+4
，解得
y=
∴P
2
（
）
；
②若有△PCM∽△CDB，则有
∴CP=
∴PH=3
÷
=3
=3
，
若点
P
在
y< br>轴右侧，把
x=3
代入
y=
﹣
x+4
，解得
y=1
；
若点
P
在
y
轴左侧，把
x=< br>﹣
3
代入
y=
﹣
x+4
，解得
y=7 ∴P
3
（
3
，
1
）
；
P
4< br>（﹣
3
，
7
）
．
∴所有符合题意得点P
坐标有
4
个，分别为
P
1
（
1
）< br>，
P
4
（﹣
3
，
7
）
．
类型二：抛物线与四边形的综合问题
【同步练】
（
20 16
·四川眉山）已知如图，在平面直角坐标系
xOy
中，点
A
、< br>B
、
C
分别为坐标轴上
上的三个点，且
OA=1
，< br>OB=3
，
OC=4
，
（
1
）求经过A
、
B
、
C
三点的抛物线的解析式；
），
P
2
（
）
，
P
3
（
3，
（
2
）在平面直角坐标系
xOy
中是否存在一点
P< br>，使得以以点
A
、
B
、
C
、
P
为顶 点的四边
形为菱形？若存在，请求出点
P
的坐标；若不存在，请说明理由；
（
3
）若点
M
为该抛物线上一动点，在（
2
）的条 件下，请求出当
|PM
﹣
AM|
的最大值时点
M
的坐标，并 直接写出
|PM
﹣
AM|
的最大值．
【分析】
（
1
）设抛物线的解析式为
y=ax
+bx+c
，把
A
，
B
，
C
三点坐标代入求出
a
，
b< br>，
c
的值，即可确定出所求抛物线解析式；
（
2
） 在平面直角坐标系
xOy
中存在一点
P
，使得以点
A
、B
、
C
、
P
为顶点的四边形为菱
形，理由为：根据OA
，
OB
，
OC
的长，利用勾股定理求出
BC
与
AC
的长相等，只有当
BP
与
AC
平行且相等时，四边 形
ACBP
为菱形，可得出
BP
的长，由
OB
的长确定出< br>P
的纵坐标，确
定出
P
坐标，当点
P
在第二、三象限 时，以点
A
、
B
、
C
、
P
为顶点的四边形 只能是平行四边
形，不是菱形；
（
3
）利用待定系数法确定出直线
PA
解析式，当点
M
与点
P
、
A
不在同一 直线上时，根
据三角形的三边关系
|PM
﹣
AM|
＜
PA< br>，当点
M
与点
P
、
A
在同一直线上时，
|P M
﹣
AM|=PA
，
当点
M
与点
P、
A
在同一直线上时，
|PM
﹣
AM|
的值最大，即点
M
为直线
PA
与抛物线的交
点，联立直线
AP与抛物线解析式，求出当
|PM
﹣
AM|
的最大值时
M
坐标，确定出
|PM
﹣
AM|
的
最大值即可．
【 解答】
解：
（
1
）设抛物线的解析式为
y=ax
+bx+c
，
∵A（
1
，
0
）
、
B
（
0
，
3
）
、
C
（﹣
4
，0
）
，
2
2
∴
，
解得：
a=
﹣
，
b=
﹣
，
c=3
，
< br>∴经过
A
、
B
、
C
三点的抛物线的解析式为
y=
﹣
x
﹣
x+3
；
2
（
2< br>）在平面直角坐标系
xOy
中存在一点
P
，使得以点
A
、
B
、
C
、
P
为顶点的四边形为菱
形，理由为：
∵OB=3，
OC=4
，
OA=1
，
∴BC=AC=5，
当
BP
平行且等于
AC
时， 四边形
ACBP
为菱形，
∴BP=AC=5，且点
P
到< br>x
轴的距离等于
OB
，
∴点
P
的坐标为（
5
，
3
）
，
当点
P
在第二、三象限时，以点
A
、
B
、
C
、
P
为顶点的四边形只能是平行四边形，不是
菱形，
则 当点
P
的坐标为（
5
，
3
）时，以点
A
、
B
、
C
、
P
为顶点的四边形为菱形；
（
3
）设直线
PA
的解析式为
y=kx+b
（k≠0）
，
∵A（
1
，
0
）
，
P
（< br>5
，
3
）
，
∴
，
解得：
k=
，
b=
﹣
，
∴直线
PA
的解析式为
y=
x
﹣
，
当点
M
与点
P
、
A
不在同一直线上时，根据三角形的三 边关系
|PM
﹣
AM|
＜
PA
，
当点< br>M
与点
P
、
A
在同一直线上时，
|PM
﹣< br>AM|=PA
，
∴当点
M
与点
P
、
A
在同一直线上时，
|PM
﹣
AM|
的值最大，
即点M
为直线
PA
与抛物线的
交点，
解方程组
，得
或
，
∴点
M
的坐标为（< br>1
，
0
）或（﹣
5
，﹣
）时，
|PM
﹣
AM|
的值最大，此时
|PM
﹣
AM|
的最
大 值为
5
．
【点评】
此题属于二次函数综合题，
涉及的知识有：二次函数的性质，
待定系数法确定
抛物线解析式、
一次函数解析式，菱 形的判定，以及坐标与图形性质，
熟练掌握待定系数法
是解本题的关键．
．
类型三：抛物线与图形变换的综合问题
【同步练】
（
2 016
·重庆市
A
卷·
12
分）如图
1
，在平面直 角坐标系中，抛物线
y=
﹣
x
2
+
与
x
轴 交于
A
，
B
两点（点
A
在点
B
左侧），与
y
轴交于点
C
，抛物线的顶点为点
E
．
x+3
（
1
）判断△ABC
的形状，并说明理由；
（
2
）经过
B
，
C
两点的直线交抛物线 的对称轴于点
D
，点
P
为直线
BC
上方抛物线上的
一动点，当△PCD
的面积最大时，
Q
从点
P
出发，先沿适当的路径 运动到抛物线的对称轴上
点
M
处，
再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y
轴上的点
N
处，
最后沿适当的路径运动到
点
A
处停止．当点
Q
的运动路径最短时，求点
N
的坐标及点
Q
经过的最短路径的长；
（
3
）如图
2
，平移抛物线，使抛物线的顶点
E
在射线
AE
上移动，点
E
平移后的对应点
为点
E′，点
A
的对应点为点
A′，将 △AOC
绕点
O
顺时针旋转至△A
1
OC
1
的位置 ，点
A
，
C
的
对应点分别为点
A
1
，C
1
，且点
A
1
恰好落在
AC
上，连接
C
1
A′，
C
1
E′，△A′C
1
E′是否能为 等
腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点
E′的坐标；若不能，请说明理由．