高中数学数列中裂项求和测试题及答案
巡山小妖精
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2021年01月24日 15:52
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高中数学数列中裂项求和测试题及答案
数列中裂项求和的几种常见模型
数列问题是高考的一大热点，而且综合性较强，既注 重基础
知识的掌握，又注重数学思想与方法的运用。而此类问题大
多涉及数列求和，所以数列求 和方法是学生必须掌握的，主
要的求和方法有：公式法、拆项重组法、并项求和法，裂项
相消法 、错位相加法、倒序相加法等等，而裂项相消法是其
中较为基础、较为灵活的一种，也是出现频率最高， 形式最
多的一种。
下面就例举几种裂项求和的常见模型，
以供参考。
模型一：数列
是以
d
为公差的等差数列，且
，则
例
1
已知二次函数
的图像经过坐标原点，其导函数为
，数
列
的前
n
项和为
，点
均在函数
的图像上。
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）设
，
是数列
的前
n
项和，求使得
对所有
都成立
的最小正整数
m
；
（
2019
年湖北省数学高考理科试题）
解：
（Ⅰ）设这二次函数
f(x)
＝
ax2+bx (a0) ,
则
f`(x)=2ax+b,
由于
f`(x)=6x
－
2,
得
a=3 , b=
－
2,
所以
f(x)
＝
3x2
－
2x.
又因为点
均在函数
的图像上，所以
＝
3n2
－
2n.
当
n2
时，
an＝
Sn
－
Sn
－
1
＝（
3n2
－2n
）－
＝
6n
－
5.
当
n＝
1
时，
a1
＝
S1
＝
312
－2
＝
61
－
5
，
所以，
an
＝
6n
－
5
（
）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知
＝
＝
，
第
1
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/
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5
页
故
Tn
＝
＝
＝
（
1
－
）
.
因此，要使
（
1
－
）
（
）成立的
m,
必须且仅须满足
，
即
m 10
，所以满足要求的最小正整数
m
为
10..
例
2
在
xoy
平面上有一系列点
，
…
，
，
…
，
（
nN*
）
，点
Pn
在函数
的图象上，以点
Pn
为圆心 的圆
Pn
与
x
轴都相切，
且圆
Pn
与圆
P n+1
又彼此外切
.
若
.
（
I
）求数列
的通项公式；
（
II
）设圆
Pn
的面积为
解：
（I
）圆
Pn
与
Pn+1
彼此外切，令
rn
为圆
Pn
的半径，
两边平方并化简得
由题意得，圆
Pn
的半径
为首项，以
2
为公差的等差数列，
所以
（
II
）
，
所以，
模型二：分母有理化，如：
例
3
已知
，
的反函数为
，点
在曲线
上
，且
(I)
证明数列
{ }
为等差数列；
(
Ⅱ
)
设
,
记
，求
解
(I)
∵点
An( )
在曲线
y=g(x)
上
(nN+)
，
点
( )
在曲线
y=f(x)
上
(nN+) ,
并且
an0
，
，数列
{ }
为等差数列
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