算术-几何平均值不等式
玛丽莲梦兔
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2021年01月28日 03:05
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算术
-
几何平均值不等式
信息来源：维基百科
在
数学
中，
算术
-
几何平均值不等式
是一个常见而 基本的
不等式
，表现了两类平均数：
算术平均数
和
几何平均数
之间恒定的不等关系。设
为
个正
实
数
，它们的
算术平均数
是
，总有：
，它们的
几何平均数
是
。算术
-
几何平均值不等式表明，对任意的正
实数
等号成立
当且仅当
。
算术
-
几何平均值不等式仅适用于正实数，是
对数函数
之
凹性
的体现，在数学、自 然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。
算术
-
几何平均值不等 式经常被简称为
平均值不等式
（或
均值不等式
），尽管后者是一组包括它的不 等式的合称。
例子
在
的情况，设
:
，
那么
.
可见
。
历史上的证明
历史上，算 术
-
几何平均值不等式拥有众多证明。
的情况很早就为人所知，但对于一般的
，不等式并不容易证明。
1729
年，
英国数学家麦克劳林
最早给出
了一般情况的证明，用的是
调整法
，然而这个证明并不严谨，是错误的。
柯西的证明
1821
年
，法国数学家
柯西
在他的 著作《
分析教程
》中给出了一个使用
逆向归纳法
的证明
[1]
：
命题
：对任意的
个正实数
，
当
时，
显然成立。假设
成立，那么
成立。证明：对于
个正实数
，
假设
成立，
那么
成立。
证明：
对于
个正实数
，
设
，
，
那么由于
但是
成立，
，
。
，因此上式正好变成
也就是说
综上可以得到结论：
对任意的
自然数
可以先找
使得
，
命题
都成立。
这是因为由前两条可以得到：
对任意的自然数
，
命题
成立了。
都成立。
因此对任意的
，
，再结合第三条就可以得到命题
归纳法的证明
使用常规数学归纳法的证明则有
乔治·克里斯托
（
George Chrys tal
）在其著作《代数论》（
algebra
）的第二卷中给出的
[2]< br>：
由对称性不妨设
是
中最大的，由于
，设
，则
，并且
有
根据
二项式定理
，
。
于是完成了从
到
的证明。
此外还有更简洁的归纳法证明
[3]
：
在
的情况下有不等式
和
成立，于是：