防溺水安全教育知识-描写自然景色的作文

2021年1月28日发(作者：keep的过去式)

算术平均数与几何均数

一、教学目标：
1
．掌握两个正 数的算术平均数不小于它们的的定理，并会简单运用；

2
．利用不等式求最值时要注 意到“一正”
“二定”
“三相等”
．

二、教学重点：
不等式的简单运用；

三、教学过程：

（一）主要知识：

1
、算术平均数：如果
a
,
b

R
，那么

a

b
叫做这两个正数的算 术平均数。

2

2
、几何平均数：如果
a
,b

R
，那么
ab
叫做这两个正数的几何平均数。
< br>
3
、定理：如果
a
,
b

R
，那 么
a

b

2
ab
（当且仅当
a=b时取“
=
”号）

4
、推论：如果
a
,
b

R
，那么

2
2
a

b< br>
ab
（当且仅当
a=b
时取“
=
”号）

2
a
2

b
2
a

b
2
5
、基本不等式：若
a
,
b

R
，则


ab

1
1
2
2
< br>a
b




当且仅当
a=b
时取“
=
”号


（二）例题分析：

题型
1
、利用基本不等式比较大小
< br>例
1
、若
a

b

1
,
P

小。

解：

a

b

1
,

lg
a

lg
b

0< br>
lg
a

lg
b
,
Q

1

lg
a

lg
b

,
R
lg
a

b
，试比较
P
，
Q
。
R
的大
2
2
1

lg
a
< br>lg
b


lg
a

lg
b
，即
Q

P

2
a

b
a
b
1
又

ab
,

lg

lg
ab


lg
a

lg
b< br>
，

R

Q

2
2
2
即
R

Q

P

题型
2
、利用基本不等式证明不等式

例
2
、已知
a
,
b
,
c

R
，求证
a
2

b
2

b
2

c
2

c
2

a
2

2

a

b

c


a
2

b
2

a

b

证明：


< br>

2
2



a
2
< br>b
2

2
2

a

b
< br>
a

b

2
2
2

< br>同理

b

c

2
2
2

b

c

,

c
2

a
2

2

c

a


2
2
三式相加得
a
2

b
2

b< br>2

c
2

c
2

a
2< br>
2

a

b

c

< br>练习证明不等式：若
a
,
b

R
,
a

1
,
b

1
，则
a
1
b
2

b
1

a
2

1
a
2

1

b
2
b
2
1

a
2


1

证：< br>a
1

b

b
1

a
< br>2
2
2
2
例
3
、已知
a,b,c
为 不等正数，且
abc=1
，求证：
a

b

c
证一：


a,b,c
为不等正数，且
abc=1
1
1
1



a
b
c
1
1
1
1
1
1



1
1
1
b
c
a
c
a
b

1

1

1


a

b

c






bc
ac
ab2
2
2
a
b
c
证二：


a,b,c
为不等正数，且
abc=1
1
1
1
b c

ca
ba

ca
bc

ba




bc

ac

ab
< br>

a
b
c
2
2
2

< br>abc
2

a
2
bc

ab
2c

a

b

c
所以
a
< br>b

c

1
1
1



a
b
c
小结：根据不等式结构特点灵活选用基本不等式。

练习：已知
a
,
b

R
且
a+b=1
求证：

证一：



1

< br>1


1



1

< br>9


a


b

b
< br>
a


1


1

< br>a

b


a

b

< br>
b
a


1



1< br>


2



2

< br>
4

2




1
< br>4

4

1

9


1< br>


1



a

< br>b


a


b


a< br>

b



a
b

< br>证二：因为
a
,
b

R
且
a+b=1
，所以
a

b

2
ab
，

1
ab

2

2

a

b

4
ab
4

1


1


a

1

b

1

ab< br>
a

b

1



1< br>


1




1
< br>
1


1


1

8< br>
9
ab
ab
ab
ab
ab

a< br>

b

题型
3
、利用基本不等式求最值

例
4
、
（
1
）已知
x

5
1
，求函数
y

4
x

2

的 最大值。

4
4
x

5
2
2
（< br>2
）已知
a,b
为实常数，求函数
y


x

a



x

b

的 最小值。



分析：利用基本不等式求最值要注意一正、二定、三等号相等。

解（
1）

x

5
,

5

4x

0

4
1
1




5

4
x



3

2

3

1

4
x
5
5

4
x



y
4
x

2

当且仅当
5

4
x

1
，即
x=1
时
”
=
”< br>成立

5

4
x

当
x=1
时
y
max

1

2
2
2
（< br>2
）

y


x

a
< br>

x

b


2
x
< br>2

a

b

x

a
< br>b

2
2

a

b

< br>a

b
a

b

a

b< br>
2
2


x

时
,
y< br>min

2


2
a

b

a

b


2
2
2

2

2
2
另解：

y


x
a



x

b


x

a



b

x
2
2
2
2

a

b



x

a



b
x



2



22


2
2

a

b

a

b
当且仅当
x-a=b-x
，即
x
时，
y
min

2
2
2
结论：满足 一正、二定、三相等和定积最大，积定和最小。

题型
4
、基本不等式的综合应用

例
5
、已知A
、
B
两地相距
200km
，一只船从
A
地逆 水到
B
地，水速为
8km/h
，船在静水中
的速度为
v k m/h(8
v
0
)
，若船每小时的燃料费与其在静水中速度的 平方成正比，当
v=12
km/h
时，每小时的燃料费为
720
元 ，为了使全程燃料费最省，船的实际速度
v
0
应为多少？

分析：< br>本题是应用不等式知识解决实际问题的应用题，
中间体现了分类讨论这一重要的数学
思想 ，本题中的分类讨论思想很隐蔽，它是由均值不等式中“等号”能否成立引起的，解题
中要重视。

解：设每小时的燃料费为
y
1
，比例系数为
k(k>0)
，则
y
1

kv

当
v=12
时，
y
1
=720
2
720

k

12
2
得
k=5
设全程燃料费为
y
，依题意有

200
1000
v
2
64

64



y

y
1



1000

v

8


16


32000



1000

v

8

v

8v

8
v

8

v

8


当
v

8

64
，即
v=16
时取等号

v

8


8
v
0

所以当
v

< br>16
时，
v=16
时全程燃料费最省

防溺水安全教育知识-描写自然景色的作文

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