观后感作文大全-致维吾尔族同胞觉醒书

2021年1月28日发(作者：千里骚)
全国名校高中数学导数专题训练经典试题汇编（附详解）


对数平均不等式

1.
定义：
设
a
,
b< br>
0,
a

b
,
则
对数平均数

2.
几何解释：




反比例函数
f< br>
x



x

0

的图 象，如图所示，

1


1

AP
< br>BC

TU

KV
，
MN

CD

x
轴，

A

a
,0

,
P

a
,

,
B

b
,0

,
Q

b
,

,

a


b

1
x
a

b
a

b
a

b


ab
其中
被称为
ln
a

ln
b
2
lna

ln
b
1



a
< br>b
2

作
在点
f
x
T

a b
,
,
K
,




处的切线分 别与
AP
,
BQ
交于

ab


2
a

b


E
,
F
，根据左图 可知，


因为
S
曲边梯形
ABQP
>
S
梯形
ABFE
=
S
矩形
ABNM
，所以

1
2
dx
=
ln
b
-
ln
a>
(
b
-
a
)
,







①

x
a
+
b
ò
b
a
又
S
曲边梯形
AUTP
=
=
ò
ab
a
1
dx
=
ln
ab
-
ln
a
，

x
1
1
ln
b
-
ln
a
=
S
曲边梯形
ABQP
，
< br>(
)
2
2
1
骣
1
=
ç
+< br>ç
ç
2
桫
a
1
÷
÷
ab
÷
S
梯形
AUTP
(
ab
-
a
=
)
1
b
-
a
?
2
ab
1
S
梯形
ABCD
2
全国名校高中数学导数专题训练经典试题汇编（附详解）


，

根据右图可知，

S
曲边梯形
AUTP
<
S
梯形
AUTP

，所以
ln
b
-
ln
a
<
②
< br>另外，
S
矩形
ABQX
<
S
曲边梯形
ABQ P
<
S
梯形
ABQP
<
S
矩形
ABYP< br>，可得：

1
1
骣
1
1
÷
1
ç
b
-
a
<
ln
b
-
ln
a< br><
+
b
-
a
<
(
)
(
)< br>(
b
-
a
)
,

÷
ç
÷< br>ç
b
2
桫
a
b
a
b
-
a< br>，



ab




③






综上，结合重要不等式可知：

2
(
b
-
a
)
1
b
-
a
1
骣
1
1
÷
1
<
ln
b
-
ln
a
<
<
ç< br>+
b
-
a
<
(
b
-
a
)< br><
(
)
(
b
-
a
)
，即

÷
ç
÷
ç
桫
b
a
+
b
a
ab
2
a
b
a
+
b
b
-
a
b
>
>
>
2
ln
b
-
lna
ab
>
2
1
1
+
a
b
>< br>a
(
b
>
a
>
0
)
.



④

等价变形：












ln
a

ln
b

2
(
a

b
)
.(
a

b

0
)

a
b
ln
a

ln
b

a
b

.(
a

b

0
)

b
a
3.
典例剖析

对数平均数的不等式链，
提供 了多种巧妙放缩的途径，
可以
用来证明含自然对数的不等式问题．
对数平均数的不等式 链包含
多个不等式，
我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等
式证明的目的．

（一）

b
>
b
-
a
>
a
(
a
>
0
)
的应用

ln
b
-
ln
a
g
(
x
)

xf

(
x
)
其中
f

(
x
)例
1


（
2014
年陕西）
设函数
f
(
x
)

ln(
1

x
)，
全国名校高中数学导数专题训练经典试题汇编（附详解）


是
f
(
x
)
的导函数．

（
1
）（
2
）（略）

（
3
）设
n

N

，比较
g

1


g

2



g

n

与
n

f

n

的大小，并加
以证明．

解析


（
3
）因为
g
x


所以
g

1

< br>g

2


x
，

1
< br>x

g

n


1
2
< br>
2
3

n

1
1

n< br>



n

1

2
3< br>
1


，

n

1
< br>而
n

f

n


n
< br>ln

n

1

，
因此，
比较g

1


g

2

大小，即只需比较

g

n

与
n

f

n

的
1
1
1




与
ln

n

1

的大小即可．

2
3
n

1
1
b
-
a
根据
b
>
a
>
0
时，
b>
，即
(
b
-
a
)
<
ln
b
-
ln
a
,
b
ln
b
-
lna


令
a
=
n
,
b
=n
+
1,
则
1
<
ln
(
n
+
1
)
-
ln
n
,

n
+
1
1
1
所以

ln
2

ln1

ln
2
，

ln
3

ln
2，
2
3
1
,

ln(
n

1 )

ln
n
，

n

1

1

ln

n

1

，
n

1
1
1
将以上各不等式左右两边相加得：


2
3
故
g

1


g

2



g

n


n

f

n

.
评注

< br>本题是高考试题的压轴题，难度较大，为了降低试题的
难度采取多步设问，
层层递进，< br>上问结论，
用于下问，其第二问
是为第三问做铺垫的“梯子”，尽管如此，步骤依然繁琐 ，求解
过程复杂，
但我们这里应用对数平均数不等式链来证明，
思路简
捷，别 具新意，易于学生理解、掌握．

当
b
>
a
>
0< br>时，
b
-
a
1
>
a
，
即
l n
b
-
ln
a
<
(
b
-
a
)
,
令
a
=
n
,
b
=
n
+
1,

ln
b
-
ln
a
a
全 国名校高中数学导数专题训练经典试题汇编（附详解）


则
ln
(
n
+
1
)
-
ln
n
<
,
可得：
ln
(
n
+
1
)
<
1
+< br>+
+
L
+
（二）


a
2
+
b
2
b
-
a
>
(
b
>
a
>
0
)
的应用

2
ln
b
-< br>ln
a
1
n
1
2
1
3
1
.
n
例
2

设数列

a
n
的通项
a
n

明：
S
n

ln

n

1

．

1
n

n

1


1
，
其前
n
项的和 为
S
n
，
证
解
析


根
据
b
>
a
>
0
时
，
ln
b
-
ln
a
>
2
(
b
-
a
)a
+
b
2
2
a
2
+
b
2b
-
a
>
，
即
2
ln
b
-< br>ln
a
，

2
n
+
(
n
+
1
)
2
2
令
b
=
n
+
1 ,
a
=
n
,
则
ln
(
n
+
1
)
-
ln
n
>
>
2
2
n+
2
n
+
2
2
=
2
2
n+
2
n
+
1
2

>
a
n，易证
S
n

ln

n

1

．

（三）


a
+
b
b-
a
>
(
b
>
a
>
0
)的应用

2
ln
b
-
ln
a
例
3.
设数 列

a
n

的通项
a
n

1
1
1


2
3
1

，a
n

ln

2
n

1
< br>．
证明：

n
2
(
b
-
a
)
a
+
b
b
-
a
>
解析


根据
b
>
a
>
0
时，
，即ln
b
-
ln
a
>
，

2
l n
b
-
ln
a
a
+
b
令
b
=
2
n
+
1
,
a
=
2
n
-
1
,
则
ln
(
2
n
+
1)
-
ln
(
2
n
-
1
)
>< br>（四）

b
-
a
2
>
(
b
>
a
>
0
)
的应用

1
1
ln< br>b
-
ln
a
+
a
b
ax
+
1
，
易证
a
n

ln

2
n
1

．

n
例
4.

（
2010
年湖北）已知函数
f
(
x
)
=
b
+
c
(
a
>
0
)
的图象在点
x< br>(
1,
f
(
1
)
)
处的切线方程为
y
=
x
-
1
．

观后感作文大全-致维吾尔族同胞觉醒书

观后感作文大全-致维吾尔族同胞觉醒书

观后感作文大全-致维吾尔族同胞觉醒书

观后感作文大全-致维吾尔族同胞觉醒书

观后感作文大全-致维吾尔族同胞觉醒书

观后感作文大全-致维吾尔族同胞觉醒书

观后感作文大全-致维吾尔族同胞觉醒书

观后感作文大全-致维吾尔族同胞觉醒书