高三数学 教案 导数的概念及其几何意义
玛丽莲梦兔
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2021年01月28日 03:28
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导数的概念及其几何意义
•
平均变化率
:
一般地，对于函数
y =f(x)
，
x
1,
x
2
是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式
表 示，我们把这个式子称为函数
f(x)
从
x
1
到
x
2
的平均变化率，习惯上用
表示，即平均变化率
上式中
的值可正可负，但
不为
0
．
f(x)
为常数函数时，
瞬时速度
:
如果物体的运动规律是
s=s(t)
，
那么物 体在时刻
t
的瞬时速度
v
就是物体在
t
到
这
段时间内，当
时平均速度的极限，即
若物体的运动方程为
s=f(t),
那么物体在任意时刻
t
的瞬时速度
v(t)
就是平均速度
v (t
，
d)
为
当
d
趋于
0
时的极限．
函数
y=f
（
x
）在
x=x
0
处的 导数的定义
：
一般地，函数
y=f
（
x
）在x=x
0
处的瞬时变化率是
们称它为函数
y=f
（
x< br>）在
x=x
0
处的导数，记作
或
，即
，我
。
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导函数：
如果函数
y =f(x)
在开区间
(a
，
6)
内的每一点都可导，则称在
(a
，
b)
内的值
x
为自变量，以
x
处的导数称为
f(x
为函数值的函数为
fx
）在
(a
，
b)
内的导函数，简称为
f
（x
）在
(a
，
b)
内的
导数，记作
f
′
(x)
或
y
′．即
f
′
(x
）
=
切线及导数的几何意义：
（
1
）切线：
PP
n
为曲线
f
（
x
）的割线，当点
P
n（
x
n
，
f
（
x
n
））（
n
∈
N
）沿曲线
f
（
x
）趋
近于点
P
（
x
0
，
f
（
x
0
））时，割 线
PP
n
趋近于确定的位置，这个确定的位置的直线
PT
称为
点
P
处的切线。
（
2
）导数的几何意义：函数
f
（
x
）在
x=x
0
处的导数就是切线
PT的斜率
k
，即
k=
。
•
瞬时速度特别提醒：
①瞬时速度实质是平均速度当
时的极限值．
②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，
函数y=f
（
x
）在
x=x
0
处的导数特别提醒：
①当
时，比值
的极限存在，则
f
（
x
）在点
x
0
处可导；若
的极限不存在，
则
f(x)
在点
x
0
处不可导或无导数．
②自变量的增量
可以为正，也可以为负， 还可以时正时负，但
．而
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