排列组合高考题型总结
温柔似野鬼°
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2021年01月28日 05:56
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排列组合高考题型汇总
知识点
一、排列
< br>定义
:
一般地，从
n
个不同元素中取出
m
(
m
n
)
个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从
n
个不同 元素中
A
取出
m
个元素的一个排列；排列数用符号
n
表示< br>
对排列定义的理解：
定义中包括两个基本内容：①取出元素②按照一定顺序 。因此，排列要完成的“一件事情”是“取出
m
个
元素，再按顺序排列”
< br>相同的排列：元素完全相同，并且元素的排列顺序完全相同。若只有元素相同或部分相同，而排列顺序不< br>相同，都是不同的排列。比如
abc
与
acb
是两个不同的排列
描述排列的基本方法：树状图
排列数公式：
m
A
n< br>
n
(
n
1
)(
n
2
)
(
n
m
1
)(
n
,
m
N
)
m
我们把正整数由
1
到
n
的连乘积，叫做
n
的阶
乘， 用
n
!
表示，即
n
!
n
(< br>n
1
)
(
n
2
)< br>
2
1
，并规定
0
!
1
。
全排列数公式可写成
n
A
n
n
!
. < br>m
A
n
n
(
n
1
)(
n
2
)
(
n
m
1
)
由此，
排列数公式可以写成阶乘式：< br>
二、组合
n
!
(
n
m
)!
（主要用于化简、
证明等）
定义
:
一般地，从n
个不同元素中取出
m
(
m
n
)
个 元素合成一组，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的
一个组合；组 合数用符号
对组合定义的理解：
取出的
m
个元素不考虑顺序，也就 是说元素没有位置要求，无序性是组合的特点
.
只要两个组合中的元素完全相同，则不论元素 的顺序如何，都是相同的组合
.
只有当两个组合中的元素不完
全相同时，才是不同的组 合
排列与组合的区别：主要看交换元素的顺序对结果是否有影响，有影响就是“有序”
，是排列问题；没影响
就是“无序”
，是组合问题。
m
C
n
表示
1
/
6
组合数公式：
m
A
n
n
(
n
1
)(
n
2
)
(
n
m
1
)
n
!
C
m
(
n
,
m
N
，且
m
n
)
A
m
m
!
m
!
(
n
m
)!
m
n
变式：
C
n
m
n
!
n
(
n
1
)(
n
2
)
(
m
1
)
n
m
C
n
(
n
,
m
N
,
且
m
n
)
m
!
(
n
m
)!
(
n
m
)!
组合数的两个性质
1
、
C
n
C
n
m
m
n
m
①计算
C
n
时，若
m
＞
，通常不直接计算
C
n
，而改为计算
C
n
0
n
2
m
n
m
，这样可以减少计算量
②为了使这个公式在
m
n
时也成立，我们规定
C
n
1
，这只是一 个规定，并没有实际的组合意义
2
、
C
n
1< br>
C
n
C
n
m
m
m
1
题型一
投信问题
【例
1
】
1
、个口袋里有< br>5
封信，另一个口袋里有
4
封信，各封信内容均不相同
.
（
1
）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？
（
2
）把这两个口袋里的
9
封信，分别投入
4
个邮筒，有多少种不同 的放法？
2
、五位旅客到一个城市出差，这个城市有
6
家旅馆，有 多少种住宿方法？
3
、
12
名旅客在一辆火车上，共有六个车站，有多少种下车方案？
4
、
3
个同学在一座只有两个楼梯的楼上下楼，有几种下楼方案？
题型二染色问题
1
、如图所示 ，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有
5
种颜色< br>可供使用，求不同的染色方法总数
.
2
/
6
2.
如图所示，用五种不同的颜色 分别给
A
，
B
，
C
，
D
四个区域涂色，相 邻区域必须涂不同颜色，若允
许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有
________
种．
3.
用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为
1,2
，…，
9
的
9
个小正方形
(
如图
)
，使得任意相邻
(
有公共
边
)
的小正方形所涂颜色都不相同，且标 号为
1,5,9
的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有
_______ _
种．
1
4
7
2
5
8
3
6
9
题型三相邻问题、间隔问题、特殊位置问题，特殊元素问题、甲不在某位乙不在某位问题
有
3
名男生、
4
名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
（
1
）选其中
5
人排成一排；
（
2
）排成前后两排，前排
3
人，后排
4
人；
（
3
）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
（
4
）全体排成一排，女生必须站在一起；
（
5
）全体排成一排，男生互不相邻；
3
/
6