(教师版)排列组合问题经典题型与通用方法
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2021年01月28日 06:00
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排列组合问题经典题型与通用方法
(
教师版
)
1.
相邻问题捆绑法
:
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参 与排列
.
例
1.
A
,
B
,
C< br>,
D
,
E
五人并排站成一排，如果
A
,
B< br>必须相邻且
B
在
A
的右边，则不同的排法有（
）
A
、
60
种
B
、
48
种
C
、
36
种
D
、
24
种
2.
相离问题插空排
:< br>元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个
元素插 入上述几个元素的空位和两端
.
例
2.
七人并排站成一行，如果甲乙两个必 须不相邻，那么不同的排法种数是（
）
A
、
1440
种
B
、
3600
种
C
、
4820
种
D
、
4800
种
3.
定序问题缩倍法
:
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法
.
例
3.A,B,C,D,E
五人并排站成一排，
如果
B
必须站在< br>A
的右边
（
A
,
B
可以不相邻）
那么不同的 排法有
（
）
A
、
24
种
B
、
60
种
C
、
90
种
D
、
120
种
4.
标号排位问题分步法
:
把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继
续下 去，依次即可完成
.
例
4.
将数字
1
，
2
，
3
，
4
填入标号为
1
，
2
，
3
，
4
的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字
均不相同 的填法有（
）
A
、
6
种
B
、
9
种
C
、
11
种
D
、
23
种
5.
有序分配问题逐分法
:
有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法
.
例
5 .
（
1
）有甲乙丙三项任务，甲需
2
人承担，乙丙各需一人承担，从
10
人中选出
4
人承担这三项任务，不同
的选法种数是（
）
A
、
1260
种
B
、
2025
种
C
、
2520
种
D
、
5040
种
（
2
）
12
名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口
4
人，则不同的分配方 案有（
）
4
4
C
12
C8
4
C
4
4
4
4
4
4
33
C
12
C
8
4
C
4
3
C< br>12
C
8
4
C
4
C
12
C
8
4
A
3
A
3
A
、
种
B
、
种
C
、
种
D
、
种
6.
全员分配问题分组法
:
例
6.
（
1
）
4
名优秀学生全部保送到
3
所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？
（2
）
5
本不同的书，全部分给
4
个学生，每个学生至少一本，不 同的分法种数为（
）
A
、
480
种
B
、
240
种
C
、
120
种
D
、
96
种
7.
名额分配问题隔板法
:
例
7
：
10
个三好学生名额分到
7
个班级，每个班级至少 一个名额，有多少种不同分配方案？
8.
限制条件的分配问题分类法
:
例
8.
某高校从某系的
10
名优秀毕业生中选
4
人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，< br>其中甲同学不到
银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
9.
多元问题分类法：
元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相 容的几类情况分别计数再相加。
例
9
（
1
）由数字
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（
）
A
、
210
种
B
、
300
种
C
、
464
种
D
、
600
种
（
2
）从
1
，< br>2
，
3
…，
100
这
100
个数中，任取两 个数，使它们的乘积能被
7
整除，这两个数的取法（不计顺序）
共有多少种？
第
1
页
共
7
页
（
3
）从
1
，
2
，
3
，…，
100
这
100
个数中任取两个数，使其和能 被
4
整除的取法（不计顺序）有多少种？
10.
交
叉
问
题
集
合
法
：
某些
排
列
组
合
问
题
几
部
分之
间
有
交
集
，
可
用
集
合中
求
元
素
个
数
公
式
n
(A
B
)
n
(
A
)
n
(
B
)
n
(
A
B)
例
10.
从
6
名运动员中选出
4
人参加
4
×
100
米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种 不同的
参赛方案？
11.
定位问题优先法：
某个或几个 元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
例
11.
现
1
名老师和
4
名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排 法有多少种？
12.
多排问题单排法
:< br>把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
例
12.
（
1
）
6
个不同的元素排成前后两排，每排
3
个元素，那么不 同的排法种数是（
）
A
、
36
种
B
、
120
种
C
、
720
种
D
、
1440
种
（
2
）
8
个不 同的元素排成前后两排，每排
4
个元素，其中某
2
个元素要排在前排，某1
个元素排在后排，有多
少种不同排法？
13.
“至少”
“至多”问题用间接排除法或分类法
:
例
13.
从
4
台甲型和
5
台乙型电视机中任取
3
台， 其中至少要甲型和乙
型电视机各一台，则不同的取法共有
（
）
A
、
140
种
B
、
80
种
C
、
70
种
D
、
35
种
14.
选排问题先取后排
:
从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法
.
例
14.
（
1
）四个不同球放入编号为
1
，
2
，
3
，
4
的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
（
2
）
9
名乒乓球运动员，其 中男
5
名，女
4
名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？< br>
15.
部分合条件问题排除法
:
在 选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求
.
例
15.
（
1
）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（
）
A
、
70
种
B
、
64
种
C
、
58
种
D
、
52
种
（
2
）四面体的顶点和各棱中点共< br>10
点，在其中取
4
个不共面的点，不同的取法共有（
）
A
、
150
种
B
、
147
种
C
、
144
种
D
、
141
种
16.
圆排问题单排法
:
把
n
个不同元素放在圆周
n
个无编号位置上的排列，
顺序
（例如按顺时钟）不同的排法才算
不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认 为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而
首位、末位之分，下列
n
个普通排列 ：
a
1
,
a
2
,
a
3
,
a
n
;
a
2
,
a
3
,
a
4
,
,
a
n
,
;
a
n
,
a
1
,
,
a
n
1
在圆排列中 只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，
n
个元
素的圆排列数有
n!
种
.
因此可将某个元素固定展成单排，其它的
n
1
元素全排列
.
n
例
16.
有
5
对姐妹站 成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？
17.
可重复的排列求幂法
:
允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，
元素不受位置的约束，
可逐一安排元素
的位置，一般地
n
个不同元素排在< br>m
个不同位置的排列数有
m
种方法
.
例
1 7.
把
6
名实习生分配到
7
个车间实习共有多少种不同方法？
第
2
页
共
7
页
n
18.
复杂排列组合问题构造模型法
:
例
18.
马路上有 编号为
1
，
2
，
3
…，
9
九只路灯，现要 关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能
关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少 种？
19.
元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法
:
例
19.< br>设有编号为
1
，
2
，
3
，
4
，5
的五个球和编号为
1
，
2
，
3
，
4
，
5
的盒子现将这
5
个球投入
5
个盒子要求每个< br>盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？
20.
复杂的排列组合问题也可用分解与合成法
:
例
20.
（
1
）
30030
能被多少个不同偶数整除？
（
2
）正方体
8
个顶点可连成多少队异面直线？
21.
利用对应思想转化法
:
对 应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，
它可以将复杂的问题转化为简单问题处
理
.
例
21.
（
1
）圆周上有
10
点，以这些点为 端点的弦相交于圆内的交点有多少个？
（
2
）某城市的街区有
12
个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从
A
到B
的最短路径有多少种？
22.< br>全错位排列问题公式法
:
全错位排列问题（贺卡问题，信封问题）记住公式即可
瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式：
用
A
、
B
、
C……
表示写着
n
位友人名字 的信封，
a
、
b
、
c……
表示
n
份相应的 写好的信纸。
把错装的总数为记作
f(n)
。
假设把
a
错装 进
B
里了，
包含着这个错误的一切错装法
分两类：
（
1
）
b
装入
A
里，这时每种错装的其余部分都与A
、
B
、
a
、
b
无关，应有
f(n- 2)
种错装法。
（
2
）
b
装入
A
、
B
之外的一个信封，这时的装信工作实际是把 （除
a
之外的）
份信纸
b
、
c……< br>装入（除
B
以
外的）
n
－
1
个信封
A
、
C……
，显然这时装错的方法有
f(n-1)
种。
< br>总之在
a
装入
B
的错误之下，共有错装法
f(n-2)+f( n-1)
种。
a
装入
C
，装入
D……
的
n
－
2
种错误之下，同样
都有
f(n-2)+f(n-1)
种 错装法，因此
:
得到一个递推公式：
f(n)=(n-1) {f(n- 1)+f(n-2)}
，分别带入
n=2
、
3
、
4
等可推得结果。
也可用迭代法推导出一般公式：
f
(
n
)
n
!
(
1
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3
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7
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1
1
1
1
(
1
)
n
)
1
!
2
!
3
!
n
!