高三数学排列组合20种解题方法汇总含例题及解析
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2021年01月28日 06:03
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排列组合解法
解决排列组合综合性问题的一般过程如下
:
1.
认真审题弄清要做什么事
2.
怎样做才能完成所要做的事,
即采取分步还是分类
,
或是分步与分类同时进行
,
确定分多少 步及多少类。
3.
确定每一步或每一类是排列问题
(
有序
)
还是组合
(
无序
)
问题
,
元素总数是多少及取出 多少个元素
.
4.
解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略
一
.
特殊元素和特殊位置优先策略
例
1.
由
0,1,2,3,4,5
可以组成多少个没有重复数字五位奇数
.
解
:
由于末位和首位有特殊要求
,
应该优先安排
,
以免不合要求的元素占了这两个位置
.
1
先排末位共有
C
3
1
然后排首位共有
C
4
3
最后排其它位置共有
A
4
1
1
3
由分步计数原理得
C
4
C
3
A
4
288
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法< br>,
若以元素分析为主
,
需
先安排特殊元素
,
再处理其它元素
.
若以位置分析为主
,
需先满足特殊位置的要求
,
再处理其它位
置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件
练习题
:7
种不同的花种在排成一列的花盆里
,
若两种葵 花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同
的种法？
二
.
相邻元素捆绑策略
例
2. 7
人站成一排
,
其中甲乙相邻且丙丁相邻
,
共有多少种不同的排法
.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同 时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排
5
2
2
列，同时对相邻元素 内部进行自排。由分步计数原理可得共有
A
5
A
2
A
2
480
种不同的排法
C
4
1
A
4
3
C
3
1
甲
乙
丙
丁
要求某几个元 素必须排在一起的问题
,
可以用捆绑法来解决问题
.
即将需要相邻的元素合并
为一个元素
,
再与其它元素一起作排列
,
同时要注意合并 元素内部也必须排列
.
练习题
:
某人射击
8
枪，命中
4
枪，
4
枪命中恰好有
3
枪连在一起的情 形的不同种数为
20
三
.
不相邻问题插空策略
例
3.
一个晚会的节目有
4
个舞蹈
,2
个相声,3
个独唱
,
舞蹈节目不能连续出场
,
则节目的出场顺序有多少 种？
解
:
分两步进行第一步排
2
个相声和
3个独唱共有
A
5
第二步将
4
舞蹈插入第一步排好的
6< br>个元素中间包含
5
种，
4
4
首尾两个空位共有种
A< br>6
不同的方法
,
由分步计数原理
,
节目的不同顺序共有
A
5
5
A
6
种
元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两
< br>练习题：某班新年联欢会原定的
5
个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.
如果将这两个新节目插
入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30
四
.
定序问题倍缩空位插入策略
例
4.7
人排队
,
其中甲乙丙
3
人顺序一定共有多少不同 的排法
解
:(
倍缩法
)
对于某几个元素顺序一定的排列问 题
,
可先把这几个元素与其他元素一起进行排列
,
然后用总排列
3< br>数除以这几个元素之间的全排列数
,
则共有不同排法种数是：
A
77
/
A
3