八年级数学-勾股定理及其常考题型
温柔似野鬼°
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2021年01月28日 12:38
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八年级数学
勾股定理及其常考题型
勾股定理也称毕达哥拉斯定理，文字表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
.
结合 直角三角形图形，用字母
可表示为：
a
b
c
， 如下图，
a
、
b
为直角边，
c
为斜边。
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，完美地体现了“数形 统一”的数学思想，将初中几何与代数很好的联
系起来。因此，学好勾股定理这一知识点对于我们解决数 学问题有很大的帮助，下面我们具体来看看初中数学有关勾股
定理的一些常见题型及其解答方法。
2
2
2
一、边的计算
1
、在Rt△
ABC
中，∠
C
＝90°，若
a
=6
，
b
=8
，则
c
=
．
解：因为
a
b
c
，所以
c=10
。
2
2
2
评论：直接由勾股定理所以得
2
、在Rt△
ABC
中，∠
C
＝90°，
AC
＝
3< br>，
BC
＝
4
，则斜边上的高
CD
的长为（
）
A
．
12
5
B
．
5
5
2
C
．
5
2
D
．
5
7
解：由勾股定理知：
AB=5
，又因为
S
△
ABC
=
1
1
AC
×
BC=
AB
×
CD
2
2
即：
12
1
1
×
3
×
4=
×
5
×
CD,
所以
CD=
2
2
5
评论：通过勾股定理求出斜边，再利用面桥关系求出 斜边上的高。
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3
、若一直 角三角形两边的长为
12
和
5
，则第三边的长为（
）
A
．
13
B
．
13
或
119
C
．
13
或
15
D
．
15
解：当
12
对应的边为斜边时，此时由勾股定理得第三边为
119
当
12
对应的边是直角边时，则第三边为斜边，由
a
b< br>
c
得第三边的长为
13
2
2
2
评论：勾股定理结合分类讨论思想，学生要注意这类试题的多解性。
4
．
R t
△一直角边的长为
11
，另两边为自然数，则
Rt
△的周长为（< br>
）
A
、
121
B
、
120
C
、
132
D
、不能确定
解：设该
Rt
△的三边分别为
a
、
b
、
c
，
a
、
b
为直角边，
c
为斜边
由勾股 定理知：
a
2
b
2
c
2
，即 ：
11
2
＋
b
2
=
c
2
所以（
b+c
）
（
c
－
b< br>）
=121
因为
b
、
c
都为自然数，所以
b+c
，
c
－
b
，都为正自然数。
又因 为
121
只有
1
、
11
、
121
这三个正 整数因式，所以
b+c=121
，
c
－
b=1
。所以
b=60
，
c=61
评论，本题以直角三角形为载体，同过勾股定理将初 中几何知识和代数知识很好地串联起来考察学生的能力。
二、直角三角形的判定
5
、
在
△
ABC
中中，
a
、< br>b
、
c
为
∠
A
、∠
B
、
∠
C
的对边，给出如下的命题：
①
若
∠
A
：
∠
B
：
∠
C
＝
1
：
2
：
3
，
则△
ABC
为直角三角形；
②若∠
A
＝∠
C
一∠
B
，
则△
ABC
为直角三角形；③
若
c
4
a
，
5
3
b
a
，
则△
ABC
为直角三角形；
④
若
a
：
b
：
c
＝
5
：
3
：
4
，
则△
ABC
为直角三角形；
⑤
若（
a
＋
c
）
（
a
－
c
）＝
b
2，
5
则△
ABC
为直角三角形；
⑥
若
(a＋
c)
2
＝
2ac
＋
b
2
，则△ABC
为直角三角形；
⑦
若ＡＢ＝
12,
ＡＣ＝
9,B
Ｃ＝
15,
则△
ABC
为
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直角三角形。
上面的命题中正确的有（
）
A
．
6
B
．
7
C
．
8
D
．
9
解：
对①，
因为三角形内角和为
180
度，
所以∠
A+
∠
B+
∠
C
＝
180
°
，
因 为∠
A
：
∠
B
：
∠
C
＝
1
：
2
：
3
，
所以∠
C=180
°×
1< br>2
所
以∠
C=90
°
则△
ABC
为直角三角形，①正确。对②，因为∠
A+
∠
B+
∠
C
＝< br>180
°，而∠
A
＝∠
C
一∠
B
，所以∠< br>C
一∠
B+
∠
B+
∠
C
＝
180< br>°所以∠
C=90
°，
即△
ABC
为直角三角形，②正确。对 ③，设
a=5k
，因为
c
4
3
a
，b
a
，则
c=4k
，
5
5
C
2
＋
b
2
=
a
2
所以为△
ABC
直角三角形
.
③正确，
同理易知④正确，
对⑤，
因为
（
a
＋
c< br>）
（
a
－
c
）
＝
b
2
所以
a
2
–
c
2
=
b
2
，
所以△
ABC
为直角三角形
．⑤正确，对⑥，因为
(a
＋
c)
2
＝
2ac＋
b
2
，
所以
a
2
+c
2
+
2ac=2ac
＋
b
2
所以
a
2
+c
2
=b
2
正
确 ，对⑦，因为ＡＢ＝
12,
ＡＣ＝
9,
ＡＣ＝
15
，所以< br>AB
2
+AC
2
=BC
2
所以正确。答案选
B
评论：直 角三角形的评定可以从角和边两方面来进行，从角来判定需结合三角形内角和定理，从边来判定需结合勾股定理。一般是验证最大边的平方是否等于两小边的平方和。
三、翻折
A
D
E
B
6
、
矩形纸片
ABCD
中，
AD
=4
c
m
，
AB
=10
c
m
，
按如图
18-1
方式折
叠，使点
B
与点
D重合，折痕为
EF
，则
DE
=_______
c
m．
F
C
'
图
18
-
1
< br>C
解：设
DE
为
x
，因为
DE
是由
BE
翻折过来的，
所以
DE=BE=x,
则
AE =10
－
x
，在
Rt
△
ABD
中：
AD
2
+AE
2
=DE
2
所以：
4
2
+
（
10
－
x
）
2
= x
2
解得
x=5.8
c
m
评论：翻折和旋转是初中数学常见的题型，
解答这类题的关键在于把握翻折和旋转前后的联系，
主 要是看清哪些量没变，
抓住这些不变的量，以此为突破口便可以顺利解决。本题的不变量是
DE
和
BE
的长度，抓住这个关系，再通过勾股定理
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