八年级数学下_勾股定理导学案(全)
萌到你眼炸
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2021年01月28日 12:41
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18.1
勾股定理（
1
）
学习目标：
1
、了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2
、培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3
、介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发爱国热情，勤奋学习。
重点：
勾股定理的内容及证明。
难点：
勾股定理的证明。
学习过程：
一、预习新知
1
、正方形边长和面积有什么数量关系？
2
、以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的大正方形的面积之间有什么< br>关系？
归纳：等腰直角三角形三边之间的特殊关系。
(1)
那么一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？
(2)< br>组织学生小组学习，在方格纸上画出一个直角边分别为
3
和
4
的直角三 角形，并以其三边为边长向
外作三个正方形，并分别计算其面积。
(3)
通过三个正方形的面积关系，你能说明直角三角形是否具有上述结论吗？
(4)
对于更一般的情形将如何验证呢？
D
二、课堂展示
方法一；
如图，让学生剪
4
个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。
< br>S
正方形＝
_______________
＝
__________ __________
A
方法二；
已知：在△
ABC
中，∠
C=90
°， ∠
A
、∠
B
、∠
C
的对边为
a
、
b
、
c
。求证：
a
2
＋
b
2
=c
2
。
快乐的学习，快乐的考试！
1
C
b
c
a
B
以
a
、
b
为直角边，以
c
为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于
1ab.
把这
2
两个直角三角形拼成如图所示形状，使
A
、E
、
B
三点在一条直线上
.
∵
Rt
Δ
EAD
≌
Rt
Δ
CBE,
∴
∠
ADE =
∠
BEC.
C
∵
∠
AED +
∠
ADE = 90
º
,
D
∴
∠
AED +
∠
BEC = 90
º
.
a
c
c
b
∴
∠
DEC = 180
º―
90
º
= 90
º
.
A
b
E
a
B
∴
Δ
DEC
是一个等腰直角三角形，
它的面积等于
1
2
c
2
.
又∵
∠
DAE = 90
º
,
∠
EBC = 90
º
,
∴
AD
∥
BC.
∴
ABCD
是一个直角梯形，它的面积等于
_________________
归纳：勾股定理的具体内容是
。
三、随堂练习
1
、如图，直角 △
ABC
的主要性质是：∠
C=90
°，（用几何语言表示）
⑴两锐角之间的关系：
；
(2)
若∠
B=30
°，则∠
B
的对边和斜边：
；
A
(3)
三边之间的关系：
D
C
B
四、课堂检测
1
、在
Rt
△
ABC
中，∠
C=90
°
①若
a=5
，
b=12
，则
c=___________
；
②若< br>a=15
，
c=25
，则
b=___________
；
③若
c=61
，
b=60
，则
a=________ __
；
④若
a
∶
b=3
∶
4
，
c=10
则
S
Rt△ABC
=________
。
2
、已知在
Rt
△
ABC
中，∠
B=90
°，
a
、
b
、
c
是△
ABC
的三边，则
⑴
c=
。（已知
a
、
b
，求
c
）
⑵
a=
。（已知
b
、
c
，求
a
）
⑶
b=
。（已知
a
、
c
，求
b
）
< br>3
、直角三角形两直角边长分别为
5
和
12
，则它斜边上的高 为
__________
。
4
、已知一个
Rt
△的两边长分别为
3
和
4
，则第三边长的平方是（
）
A
、
25
B
、
14
C
、
7
D
、
7
或
25
5
、等腰三角形底边上 的高为
8
，周长为
32
，则三角形的面积为（
）
A
、
56
B
、
48
C
、
40
D
、
32
快乐的学习，快乐的考试！
2
18.1
勾股定理（
2
）
学习目标：
1
、会用勾股定理解决简单的实际问题。
2
、树立数形结合的思想。
3
、经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。
4
、培养思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。
重点：
勾股定理的应用。
难点：
实际问题向数学问题的转化。
一、预习新知
1
、①在解决问题时，每个直角三角形需知道几个条件？
②直角三角形中哪条边最长？
2
、在长方形
ABCD
中，宽
AB
为
1
m
，长
BC
为< br>2
m
，求
AC
长．
问题（
1< br>）在长方形
ABCD
中
AB
、
BC
、
AC< br>大小关系？
（
2
）一个门框的尺寸如图
1
所示．
①若有一块 长
3
米，宽
0.8
米的薄木板，问怎样从门框通过？
②若薄木板长
3
米，宽
1.5
米呢？
③若薄木板长
3
米，宽
2.2
米呢？为什么？
图
1
二、课堂展示
例：如图
2
，一个
3
米长的梯子
AB
，斜着靠在竖 直的墙
AO
上，这时
AO
的距离为
2.5
米．
①求梯子的底端
B
距墙角
O
多少米？
②如果梯的顶端
A
沿墙下滑
0.5
米至
C
.
算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．
O
B
D
O
D
A
C
O
C
B
A
A
1
m
2
m
C
B
图
2
快乐的学习，快乐的考试！
3
三、随堂练习
1
、小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着
45度的坡路走了
500
米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树
的离地面的高度是
米。
2
、如图
1
，山坡上两株树木之间的坡面距离是4
3
米，则这两株树之间的垂直距离是
米，水
平距离是
米。
C
B
A
30
B
C
A
图
1
图
2
图
3
四、课堂检测
1
、
如图
2
，
一根
12
米高的电线杆两侧各用
15
米的铁丝固定，
两 个固定点之间的距离是
。
2
、如图
3
，原计划从
A
地经
C
地到B
地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由
A
地到
B
地直
接修建，已知高速公路一公里造价为
300
万元，隧道总长为
2
公里，隧道造价为
500
万元，
AC=80
公里，
BC=60
公里，则改建后可省工程费用是多少？
3
、如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取
B
、
C
两点，在江对 岸取一点
A
，使
AC
垂直江岸，测得
BC=50
米，∠B=60
°，则江面的宽度
为
。
B
C
A
4
、有一个
边长
为< br>1
米正方
形的洞口
，想用一个圆
形盖去盖
住这个洞口，
则圆形盖
半径至少为
米。
快乐的学习，快乐的考试！
4
5
、
一根
32< br>厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在
P
、
Q
两点，
PQ=1 6
厘米，
且
RP
⊥
PQ
，
则
RQ=
厘
米。
P
Q
R
C
S
3
A
S
1
S
2
B
图
6
6
、如图
6
，分别以
Rt
△< br>ABC
三边为边向外作三个正方形，其面积分别用
S
1
、
S< br>2
、
S
3
表示，容易得出
S
1
、
S
2
、
S
3
之间有的关系式
．
变式：如图
7
．
S
3
S
2
S
1
图
7
18.1
勾股定理（
3
）
学习目标
:
1
、能利用勾股定理，根据已知直角三角形的两边长 求第三条边长；并在数轴上表示无理数。
2
、体会数与形的密切联系，增强应用意识，提高运用勾股定理解决问题的能力。
3
、培养数形结合的数学思想，并积极参与交流，并积极发表意见。
重点：利用勾股定理在数轴上表示无理数。
难点：确定以无理数为斜边的直角三角形的两条直角边长。
一、预习新知
1
、探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无 理数，你能在数轴上画出表示
13
的点
吗？
2
、
分析：
如果能画出长为
_______
的线段，
就能在 数轴上画出表示
13
的点。
容易知道，
长为
2
的
线 段是两条直角边都为
______
的直角边的斜边。
长为
13
的线段 能是直角边为正整数的直角三角形的斜边
吗？
利用勾股定理，可以发现，长为
13
的线段是直角边为正整数
_____
、
______
的直角三角形的斜边。
快乐的学习，快乐的考试！
5
3
、作法：在数轴上找到点
A
，使
OA=_____
，作直线
l
垂直于
OA
，在
l
上取点
B
，使
AB=_____
，以原
点< br>O
为圆心，以
OB
为半径作弧，弧与数轴的交点
C
即为表示< br>13
的点。
4
、在数轴上画出表示
17
的点？（尺规作图）
二、课堂展示
例
1
、 已知直角三角形的两边长分别为
5
和
12
，求第三边。
例
2
、已知：如图，等边△
AB C
的边长是
6cm
。⑴求等边△
ABC
的高。
⑵求
S
△
ABC
。
C
三、随堂练习
A
D
B
1
、填空题
⑴在
Rt
△
ABC
，∠
C=90
°，
a=8< br>，
b=15
，则
c=
。
⑵在
Rt
△
ABC
，∠
B=90
°，
a=3
，
b=4
，则
c=
。
⑶在
Rt
△
ABC
，∠
C=90
°，
c=10
，
a
：
b=3
：
4
，则
a=
，
b=
。
(4)
已知直角三角形的两 边长分别为
3cm
和
5cm
，，则第三边长为
。
2
、已知等腰三角形腰长是
10
，底边长是
16
，求这个等腰三角形面积。
快乐的学习，快乐的考试！
6
四、课堂检测
1
、已知直角三角形中
30
°角所对的直角边长是
2
3
cm
，则另一条直角边的长是（
）
A
.
4cm
B
.
4
3
cm
C
.
6cm
D
.
6
3
cm
2
、△
ABC
中，
AB
＝
15
，
AC
＝
13
，高
AD
＝
12
，则△
ABC的周长为（
）
A
．
42
B
．
32
C
．
42
或
32
D
．
37
或
33
3
、
一架
25
分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端
7
分米
.
如果梯子的顶端沿墙下滑
4
分米，那么梯足将滑动
(
)
A
.
9
分米
B
.
15
分米
C
.
5
分米
D
.
8
分米
4
、如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走
“
捷
径
”
，在花铺
内走出了一条
“
路”
．他们仅仅少走了
步路（假设
2
步为
1
米），却踩伤
了花草．
4m
3m
“
路
”
5
、等腰△
A BC
的腰长
AB
＝
10cm
，底
BC
为
1 6cm
，则底边上的高为
，面积为
.
6
、一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为
．
7
、已知：如图，四边形
ABCD
中，AD
∥
BC
，
AD
⊥
DC
，
AB⊥
AC
，∠
B=60
°，
CD=1cm
，求
B C
的长。
A
D
B
C
18.2
勾股定理的逆定理（一）
学习目标
1
、体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
2
、探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3
、理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
重点：掌握勾股定理的逆定理及简单应用。
难点：勾股定理的逆定理的证明。
一、预习新知
1
、三边长度分别为
3 cm
、
4 cm
、
5 cm
的三角形与以
3 cm
、
4 cm
为直角边的直角三角形之间有什么关
系？你是怎样得到的？
快乐的学习，快乐的考试！
7
2
、你能证 明以
6cm
、
8cm
、
10cm
为三边长的三角形是直角三 角形吗？
3
、如图
18.2- 2
，若
△
ABC
的三边长
a
、
b
、
c
满足
a
请简要地写出证明过程．
4
、此定理与勾股定理之间有怎样的关系？
（
1
）什么叫互为逆命题
（
2
）什么叫互为逆定理
（
3
）任何一个命题都有
_____
，但任何一个定理未必都有
__
5
、说出下列命题的逆命题。这些命题的逆命题成立吗？
（
1
）两直线平行，内错角相等；
（
2
）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
（
3
）全等三角形的对应角相等；
（
4
）角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
二、课堂展示
例
1
、判断由线段
a
、
b
、
c
组成的三角形是不是直角三角形：
（
1
）< br>a
15
,
b
8
,
c
17
；
（
2
）
a
（
3
）
a
2
b
2
c
2
，试证明
△
ABC
是直角三角 形，
图
18.2-2
13
,
b
14
,
c
15
．
7
,
b
24
,
c
25
；
（
4
）
a
1
.
5
,
b
2
,
c
2
.
5
；
2
三、随堂练习
1
、
如果三条线段长
a,b,c
满足
a
2
、
A,B,C
三地的两两距离如图所示，
A
地 在
B
地的正东方向，
C
地在
B
地的什么方向？
快乐的学习，快乐的考试！
c
2
b
2
，
这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？
C
5km
13km
B
12km
A
8
3< br>、思考：我们知道
3
、
4
、
5
是一组勾股数，那么< br>3k
、
4k
、
5k
（
k
是正整数）也是一组 勾股数吗？一
般地，如果
a
、
b
、
c
是一组勾股数 ，那么
ak
、
bk
、
ck
（
k
是正整数） 也是一组勾股数吗？
四、课堂检测
1
、若 △
ABC
的三边
a
，
b
，
c
满足条件a
2
+b
2
+c
2
+33
8=10a+24b +26c
，试判定△
ABC
的形状．
2
、
一根
24
米绳子，
折成三边为三个连续偶数的三角形，
则三边长分别 为多少米？此三角形的形状为？
3
、已知：如图，在△
ABC
中 ，
CD
是
AB
边上的高，且
CD
2
=AD
·
BD
。求证：△
ABC
是直角三角形。
C
B
D
A
18.2
勾股定理逆定理（
2
）
学习目标：
< br>1
、进一步掌握勾股定理的逆定理，并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形 ，能
够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围。
2
、培养逻辑推理能力，体会“形”与“数”的结合。
3
、在不同条件、不同环境中反复运用定理，达到熟练使用，灵活运用的程度。
4
、培养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值。
重点：勾股定理的逆定理
难点：勾股定理的逆定理的应用
快乐的学习，快乐的考试！
9