第8讲 分数与循环小数—完整版
玛丽莲梦兔
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2021年01月28日 13:32
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第
8
讲
分数与循环小数
内容概述
掌握分数与小数互相转化的方法，
并在分数与循环小数混合运算中进行合理
应用；学会通过分数的形式判断相应的小数类型；
注意利用周期性分析循环小数
的小数部分。
兴趣篇
1
．把下列分数化为小数：
3
13
13
2
3
4
（
1
）
，
，
；
（
2
）
，
，
；
4
8
9
11
33
25
5
5
2
3
7
4
（
2
）
，
，
；
（
4
）
，
，
；
6
22
90
7
13
37
答案：
（
l
）
0.75, 1.625, 0.52 (2)
0.2
，
0.27
,
0.12
(3)
0.83
，
0.227
,
0.07
(4)
0.285714
,
0.230769
，
0.108
2
．把下列小数化成分数：
(1)0.23
，
0.479; (2)0.12
，
0.255.
答案：
(1)
23
，
479
(2)
3
，
51
100
100
25
200
.
3
．把下列 循环小数转化为分数：
(1)
0.1
，
0.4
；
(2)0.01
，
0.35
；
(3)
0.08
，
0.38
.
答案：
(1)
1
,
4
(2)
1
,
35
(3)
4
，
7
9
9
99
99
45
18
4
．把 下列循环小数转化为分数：
0.7
，
0.12
，
0.123
，
0.123
答案：
7
，
4
，
41
，
61
< br>9
33
333
495
< br>
5.
计算：
（
1
）
0.1< br>
0.2
0.3
；
（
2
）
0.2
0.3
0.4
；
（
3
）
0. 3
0.5
0.7
（
4
）
0 .1
0.12
0.123
；
（
5
）< br>0.12
0.23
。
答案：
(1)
2
107
39
(2)1 (3)
1
2
(4)
(5)
3
3 00
110
3
解析：
（
1
）
0.1
0.2
0.3
1
2
3
6
2
。
9
9
9
9
3
（
2
）
0.2
0.3
0.4
2
3
4
9
1。
9
9
9
9
（
3
）
0.3
0.5
0.7
3
5
< br>7
15
1
2
。
9
9
9
9
3
（
4
）
0.1
0.12
0.123
1
12
1
123
12
321
39
；
9
90
900
900
110
（
5
）
0.12
0.23
12
1
23
351
39
。
90
99
990
110
6.
计算：
0. 12345
0.23451
0.34512
0.45 123
0.51234
。
答案：
1
2
3
解析：把每个数化成分数，分母都是
99999
，所以计算会很方便．
0.12345
0.234 51
0.34512
0.45123
0.51234
12345
23451
34512
45123
51234
99999
99999
99999
99999
99999
11111
1
2< br>
3
4
5
9999915
9
2
1
3
7.
计算下列各式，并用小数表示计算结果：
（
1
）1.86
0.351
；
（
2
）
0.38
0.518
。
答案：
(1)
0.65
(2) 0.75
19 5
351
5
37
13
3
9
65
0.65
。
< br>99
999
99
37
3
9
99
38
3
518
35
999
5
7
9
3
37
3
（
2
）
0.38
0.518
< br>
0.75
。
90
999
90
518
9
2
5
37
2
< br>7
4
解析：
（
1
）
1.86
0. 351
8
．将算式
0.3
0.6
0.3
0.6
0.3
0.6
的计算 结果用循环小数表示是多少
答案：
1.27
解析：
< br>0.3
0.6
0.3
0.6
0.3
0.6
1
2
1
2
1
2
2
1
5
1
1
1.27
3
3
3
3
3
3
9
2
18
9
．把分数
4
化成小数后，从小数点后第一位起连续
1000
位数字的和是多
7
少？
答案：
4499
解 析：
4
0.571428
，
循环节有
6
位，这
6
位的数字和为
5+7+l+4+2+8=27
。
7
1000
÷
6=166
……
4
，
1000
位中有< br>166
个循环节，还有
4
位数字依次是
5
，
7
，
1
，
4
。
这
10OO
位数字的和是
27
×
166+(5+7+1+4)=4499
．
a
10
．
真分数
化成小数后，
如果从小数点后第一位起连续若干 个数字之和是
7
2000
。
a
应该是多少？
答案：
2
解析：先把
1
至
6
都化成循环小数：
7
7
1
2
3
4
5
0.142857
，
0.285714
，
0.4
28571
，
0.571428
，
0.714285
，
7
7
7
7
7
6
0.85714
2
。
7
发现每个数的循环节都是
6
位，而且都是由
1
，
2
，
4
，
5
，
7
，
8
这
6
个数字
组成的，因此每个数的循环节各位数字之和都是
1+2+4+5+7+8=2 7.
无论
a
为多少，
a
化成小数后的每个循环节
6
个数字之和都是
27
，而
2000
7
÷
27=74
……
2
，所以一定包含了
74
个循环节，还多了
2
．
因此要便数字和为
2000
，下一个循环节必须以
2
开始，只 能是
0.285714
，
于是
a
为
2
．
拓展篇
3
5
44
2
10
1< br>．将下列分数化为小数：
，
，
，
，
．
8
6
9
7
13
答案：
0.375,0.83
,
4.8
，
0.285714
,
0.7692 30
2
．把下列循环小数转化为分数：
0.48
，0.1353
，
3.1703
，
6.36538461
。
答案：
16
，
41
，
3
23
，
6
19
33< br>303
135
52
解析：
（
1
）
0.48< br>是一个纯循环小数，循环节有
2
位，所以分母是
99
。循环
节 是
48,
所以分子是
48.
因此
0.48
48
16
。
99
33
（
2
）
0.1353
也是一个纯循环小数，循环节 有
4
位，所以分母是
9999
。循环
节是
1353
，所以分子是
1353
。
因此
0.1353
1353
41
。
9999
303
（
3
）
3.1703
是一个混循环 小数，循环节有
3
位，不循环部分有
1
位，所以
分母是
99 90
。小数点后的部分是
1703
，不循环的部分是
1,
，所以分子 是
1703-1=1702
。
因此
3.17
03
3
1702
3
23
。
9990135
（
4
）
6.36538461
是一个混循环小数，循环节 有
6
位，不循环部分有
2
位，
所以分母是
99999900
。小数点后的部分是
36538461
，不循环的部分是
36,
，所
以分子是
36538461-36=36538425
。
因此6.3653846
1
36538425
6
19< br>。
99
999900
52
3
．
(1)
把下面这些分数化为小数后，
哪些是有限小数？哪些是纯循环小数？
哪些是混循 环小数？
3
2
15
17
18
84
135
31
11
，
，
，
，
，
，
，
，
；
4
50
17
77
150
192< br>308
625
111
12
3
14
(2)
把下列分数化成循环小数：
，
，
。
35
37
143
答案
:(1)
3
，
31
，
18
，
135
是有限小数；
4
625
50
192
2
15
84
，
，
，
11
是纯循环小数；
17
77
308
111
17
是混循环小数
150
（
2
）
0.0857142
，
0.378
，
0.083916
解析：
（
1
）
除了直接计算 除法外，
分数化循环小数还有其他一些巧妙的办法。
例如
31
62
135
27
27
8
216
11
99
0.62
，
0.216
，
0.0099
。
50
100
625
125
125
8
1000
111
999
对于其他的分数，
可以直接利用除法计算：
3
0.75
，
18
3
0.09375
是有限
4
192
32
小数；
2
15
84
3
0.35 29
4
，
0.194805
，
0. 27
，
它们是纯循环
17
77
308
11
小数；< br>
17
0.113
是混循环小数。
150
综上所述，
3
，
31
，
18
，
135
是有限小数；
2
，
15
，
84
，
11是纯
4
625
17
77
308
111
50192
循环小数；
17
是混循环小数。
150
（2
）
3
6
，因为
6
等于
0.085 7142
，所以
3
0.085714
2
。
35
70
7
35
14
的分母是
37
，注意到< br>999=27
×
37
，所以
14
14
< br>27
378
0.378
。
37
37
27
999
37
12
的分母是
143，因为
143
×
7=1001
，而
1001
×
999=999999
。
143
所以
12
12
7
999
83916
0.083 916
。
143
143
7
999
999999
4.
计算
:(1)
0.02
0.31
0.45
；
(2)
0.1
0.12
0.1234
；
(3)
0.12
0.53
0.69
；
(4)
0.67
0.212
0.111020
。
答案：
（
1
）
26
（
2
）
883
（
3
）
1
35
（
4
）
1
33
2475
99
解析：
(1)
0.02
0.31
0.45
2
31
4 5
78
26
。
99
99
99
99
33
(2)
0.1
0.12
0.1234
1
12
< br>1
134
1
35
。
9
90
99
99
(3)
0.12
0.5 3
0.69
12
53
69
134
1
35
。
99
99
99
99
99
(4)
0.67
0.212
0.111020
67
212
111020
999999
1
。
99
999
999999
999999
5.
计算：
(1)
0.01
0.12
0.23
0.34
0.78
0.89；
(2)
0.01
0.12
0.23
0.34
0.78
0.89
答案：
（
1
）
4
1
（
2
）
2.4
11
解析：
(1)
0. 01
0.12
0.23
0.34
0.78
0.89
1
12
23
34
45
56
67
78
89
99
99
99
99
99
99
99
99
99
1
89
；
9
2
99
99
1
4
11
(2)
0.01
0.12
0.23
0.34
0.78
0.89
1
11
21
31
71
81
90
90
90
90
90
9 0
216
90
2.4
6.
计算：
（
1
）
(4.2
0.48)
2.05
；
(2)
0.132
(0.135
0.135)
。
答案：
（
1
）
1
9
（
2
）
298
11
8325
解析：< br>（
1
）
(4.2
0.48)
2.05< br>
5
2
48
4
2
90
9
99
7337
370
18
3
9918
99
37
9
1
11
(2)
0.132
(0.135
0.135)
13 2
134
122
9 99
990
900
132
2682
4
298
999
9900
33 3
100
298
8325
7
．计算 ：
(1.2169
0.18)
2.0981
．
（将结果表示为分数和小数两种形式）
答案：
2
；
0.6
3
解析：把算式化为分数来计算：
(1.2169
0.18)
2.0981
9 81
2169
18
1
2
9999
9999
99
12618
1818
20979
< br>
9999
9999
9999
13986
9999
9999
20979
13986
20979
2
3
结果用小数表示为
0.6
。
1
1
1
1
8
．将算式
的计算结果用循环小数表示是多少？
9
10
11
12
答案：
0.3853
。
解析：
把
4
个分 数都化成循环小数：
1
9
1
1
1
< br>
0.1
0.1
0.09
0.083
，
10
11
12
然后列竖式计算，
要注意这些小数的循环节 不一样，
因此需要多写出几位来寻找
它们的规律：
0.1 1 1 1 1 1
…
0.1
0.0 9 0 9 0 9
…
+ 0.0 8 3 3 3 3
…