小学数学问答手册(五、分数和百分数)
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2021年01月28日 13:33
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2020
年数学
五、分数和百分数
185.
为什么在分数的教与学中，单位“
1
”是一个重要概念？
单位“
1
”也称做整体“
1
”，在分数的教与 学中，正确理解单位“
1
”
是正确理解什么是分数的前提。
教材中对分数的定 义是这样阐述的：
把单
位“
1
”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的 数叫做分数。由此
可见，不理解单位“
1
”，就不理解如何平均分份；更不理解几分之 一或
几分之几，因此，单位“
1
”是分数中最基本也是最重要的一个概念。
单位“
1
”一般情况下，表示一个事物的整体。如：世界的人口 数，
一个国家的面积，
一个县播种小麦的亩数，
一段路程，
一个果园果树的棵
数，一个工厂产品的总产量，一堆煤的重量等，都可以作为单位“
1
”，
也就 是把整体看作“
1
”。
但是，
整体与部分是 相对的，
它们之间在一定条件下也是可以相互转
化的。当部分转化为整体时，单位“
1
”也可以表示原来的这个部分。如
世界人口是
50
亿，是个整体，中国人口是
11
亿，只是它的一部分，当说
到北京市人口占全国人口的一百分之一时，
中 国人口数又成为整体，
当说
到某区人口是全市人口的十分之一时，
全市人口又成了整体 等。
在这些不
同情况下，部分转化为整体时，都可以用单位“
1
”来表示。< br>
例如：
（
1
）我国土地面积约
960
万平方千米；
（
2
）某县的土地面积约
8
万平方千米；
（
3
）红星小学全校有学生
900
人；
（
4
）五一班有学生
42
人；
（
5
）第二学习小组有学生
8
人；
（
6
）这条公路全长
4800
米；
（
7
）一根电线全长
8.5
米；
（
8
）一堆煤重
3.2
吨。
……
2020
年数学
单位“
1
”包含的 数量可以很大，也可以很小。大到有限数的任何事
物，都可以看作单位“
1
”；小到可 分事物的某一部分，也可以看作单位
“
1
”。但是，无限多的事物不能看作单位“1
”，因为无限多的事物是不
可分的。
在分数应用题中，单位“
1
”又是解题的关键。如：
解这道题，
要求没修的是多少米，
必须知道全长多少米和修了多少米。题目中全长
480
米已知，
未知条件是修了多少米。
要求修了多少米，< br>根据
题目中
如果换一种思路进行分析：要求没修的是多少米，
必须先知道没修的
米数是全长的几分之几，然后按求一个数的几分之 几是多少的方法解答，
关键的问
综上所 述，
无论是在分数的基础知识中，
还是在解答分数应用题的过
程里，单位“
1
”都是处于前提和关键的位置。因此，单位“
1
”在分数的
教与学中，是一个 非常重要的概念。
186.
什么是分数的基本计数单位？
任何计量都要有单位，长度单位有：毫米、厘米、分米、米、千米等；而重
量单位有 ：毫克、克、千克、吨等。具体到“数”，同样也是有单位的。自然数
的计数单位是
1
，任何一个自然数都是若干个
1
组成的。
例如：
8
是由八个
1
组成的；
73
是由七十三个
1
组成的。
……
分数也有分数的计数单位，或称分数单位。根据分数的定 义，把单位“
1
”
平均分成若干份，
表示这样一份的数
（几分之一）
就是原来这个分数的分数单位。
一个分数，它的分数单位是有个数的。
2020
年数学
如图：
分数单位是由单位
“
1
”
平均分成 份数
（分母）
所决定的，
所表示的份数
（分
子）是表示有几个的分数 单位。
由此可以说明，不同分母的分数，其分数单位也是不同的。如果分母用
所以，
自然数的计数单位与分数计数单位是不一样的，
自然数的计数单位永
远是
1
，这是不变的；而分数的计数单位则不是固定不变的，它是随着分数的分
母不同而变化的。分母不同，分数单位也不同，分母是几，分数单位就是几分之
一，分母越大，分数单 位就越小；反之，分母越小，分数单位则越大。
明确什么是分数单位和 分数单位的大小，
在学习分数大小比较、
分数加、
减
法时，都是不可缺少的基 础知识。
186.
什么是分数的基本计数单位？
< br>任何计量都要有单位，长度单位有：毫米、厘米、分米、米、千米等；而重
量单位有：毫克、克、 千克、吨等。具体到“数”，同样也是有单位的。自然数
的计数单位是
1
，任何一个自 然数都是若干个
1
组成的。
例如：
8
是由八个
1
组成的；
73
是由七十三个
1
组成的。
2020
年数学
……
分数也有分数的计数单位，或称分数单位。根据分数的定义，把单位“
1
”
平 均分成若干份，
表示这样一份的数
（几分之一）
就是原来这个分数的分数单位。
一个分数，它的分数单位是有个数的。
如图：
分 数单位是由单位
“
1
”
平均分成份数
（分母）
所决定的，< br>所表示的份数
（分
子）是表示有几个的分数单位。
由此可以说明，不同分母的分数，其分数单位也是不同的。如果分母用
所以，
自然数的计数单位与分数计数单位是不一样的，
自然数的计数单位永
远是
1
，这是不变的；而分数的计数单位则不是固定不变的，它是随着分数的分
母不同而变化的。分母不同，分数单位也不同，分母是几，分数单位就是几分之
一，分母越大，分数单 位就越小；反之，分母越小，分数单位则越大。
明确什么是分数单位和 分数单位的大小，
在学习分数大小比较、
分数加、
减
法时，都是不可缺少的基 础知识。
187.
分数和整数除法的关系是什么？
2020
年数学
在教材中，
学生 是在学习整数的基础上，
先学习小数而后学习分数的。
如果
把小数划入十进分数的范围 ，
那么分数是小学数学的第二个主要阶段，
也是数的
一次重要扩展。
从整数到 分数中间有着密切的联系，
特点是分数基本概念的建立，
都用到整数除法的知识。
例如：在整数范围内，当两个自然数相除不能整除时，由于商无法表示，而
不能计算，进入分数领域，这种情况将是不存在的。因为任何除法算式，都可以
用分数来表示它们的商 。
即使在整数范围内，
被除数小于除数这种无法计算的情
况，用分数表示也不存在任何 问题。
分数与整数除法的关系，下图可以揭示：
在分数中，
分子相当于除法算式中的被除数，
分母相当于除数，
分数线相当
于除号，分数值相当于商。
还应该看到，
分数并不等于除法，
两者还有着区别，
这就是：
分数是一种数，
而除 法是一种数与数之间的运算。
在上述关系的基础上，
分数和整 数除法的联系，
还表现在分数的基本性质上。
分数的基本性质是：分数的分子和分母都乘以或者 除以相同的数（零除外），分
数的大小不变。
这个基本性质来源于整数除法中商不变的性质，< br>即：
被除数与除
数同时乘以或者除以相同的数（零除外），商不变。
除此之外，根据分数与整数除法的关系，假分数可以化为带分数，分子（被
除数）除 以分母（除数），所得的商即为带分数的整数部分，余数为分子，原来
的分母不变。
将分数化为小数，
或把繁分数化简，
也都 是依据分数与除法的关系。
至于在
分数中分母不能是零的道理，
只要沟通分数与除法的 关系，
即：
除法中除数不能
是零，分数中分母自然不能是零。
总之，
在分数教与学中，
只要在分数与除法间建立起自然的联系和迁移，< br>温
故而知新，许多属于算理的问题，都是比较容易得到解决的。
188.
“
就是一半”这句话对吗？
2020
年数学
中的单位“
1
”不仅表示自然数的一个基本计数单位，也表示一切可
分的事物 。如：一堆苹果的个数、一个班的人数、一堆煤的吨数、一套丛
书的册数、一本书的页数等，单位“1
”既可表示整体，也可以表示整体
的一部分。
，一半也就不知道是谁的一半了。按后者说法，其结果很容易引起误解，
因
不是
4
个苹果，而是半个苹果。这与原来题意就相距太远了。
这句话是不严密的，也是不妥当的。
189
．为什么有的分数能够化成有限 小数，有的能够化成纯循环小数或混
循环小数？
把一个分数化 成小数，有三种情况：即：有限小数、纯循环小数和混
循环小数。
至于什么样的分数化成什么样 的小数，
确有规律可循，
这个规
律可通过下面各样分数化小数的实例来观察：
2020
年数学
从上面分数化小数的三种情况看，
什么样的分数化什么样小数，
关键
不在分子 ，而在分母。因此，在分数化小数时，要观察分母的特点，其规
律是：
（
1
）分母只含有质因数
2
和
5
，这样的分数就可 以化成有限小数。
如
（
2
）分母 里只含有
2
和
5
以外的质因数，这样的分数就可以化成纯
循
（
3
）分母里既含有质因数
2
和< br>5
，又含有
2
和
5
以外的质因数，这
样
有了上面这个规律，
不需要通过计算，
就能判断出一 个最简分数能化
成什么样的小数。
例如：
2020
年数学
掌握了分数化有限小数的规律，
可以把常见分数化小数的数据汇集成
表，
并且 能熟练地背诵下来，
这对于提高互化的准确度和速度，
都是非常
有益的。
常见的分数与有限小数互化表
对于分数化纯循环小数或混循环小数，
按照上述规律，
可以事前根据
分数的分母特点 ，提早做出判断。
190
．为什么分数不能化成无限不循环小数？
在不同的情况下，
一个分数可以化成有限小数或者无限循环小数
（包
括纯循环小数和混循环小数），但是不能化成无限不循环小数。
2020
年数学
用分子除以分母（
7
），其余数必定小于分母，每次的余数只能 是从
1
到
6
之间的一个自然数
（如果余数是
0
，< br>这个分数就能化成有限小数）
；
或者说，除数是
7
，余数只能是
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
这六个数。如果在除
的过程中，
有一个余数重复出现一次，
那么后面所得 的商与余数，
也必定
要重复出现。
也就是说，
余数一重复出现，
商的 相应数位上的数字也重复
出现，
循环就开始了，
所得的商当然是循环小数。
原 来这个分数化成的是
纯循环小数。
根据上述分析可 以得出，
当一个分数化成无限小数时，
只能得到循环
小数，而不可能化成无限不循环小 数。
分数虽然不能化成无限不循环小数，
但在数学中无限不循 环小数还是
有的，如圆周率π值就是一个无限不循环的小数。
π
=3.979323846
……
无限不循环小数在数学上叫做无理数。
191
．怎样把纯循环小数化成分数？
在小学数学课 本中，
分数与有限小数是可以互化的。
分数可以化成纯
循环小数，但纯循环小数化成分 数，并没有涉及。事实上，两者也是可以
互化的，
比起有限小数化成分数，
纯循环小数 化成分数的方法要稍难一些。
例如：有限小数化成分数。
2020
年数学
只要根据小数的最低位是什么数位，用
10
、
100
、
10 00
等做分母，就
可以直接化成分数，不是最简分数的，要约成最简分数。
把纯循环小数化成分数，并不象有限小数那样，用
10
、
100< br>、
1000
等做分母，而要用
9
、
99
、
9 99
等这样的数做分母，其中“
9
”的个数等于
一个循环节数字的个数；一个循环节的数字所组成的数，
就是这个分数的
分子。
这样，前面的四例可以得到证明。即：
192
．怎样把混循环小数化成分数？
2020
年数学
分数既然能化成混循环小数，
同样，
混循环小数也能化成分数。
这种
化的方法，比起纯循环小数化成分数的方法， 就显得更为复杂一些。
混循环小数化成分数的方法是：
用第二 个循环节以前的小数部分所组
成的数，
减去不循环部分所得的差，
以这个差作为分数的 分子；
分母的前
几位数字是
9
，末几位数字为
0
；
9
的个数与一个循环节的位数相同，
0
的个数与不循环部分的位数相同。
箭头所指是说明：循环节有一位写一个
9
，不循环部分有一位写一个
0
。
箭头所指说明：
循环节有两位写两个
9
，
不循 环部分有一位写一个
0
。
< br>箭头所指说明：
循环节有两位写两个
9
，
不循环部分有两位写两个0
。
这种化的方法，
比纯循环小数化成分数明显 要复杂，
但究其算理，
仍
依据纯小数化成分数的方法。
即：
先把混循 环小数化成纯循环小数的形式，
然后再化成分数。上面三个例题通过推导，都可以得到证明。
2020
年数学
推导结果与例（
3
）的中间脱式一致。
< br>由此可见，
采用先扩大后缩小相同倍数的方法，
根据纯循环小数化成
分数的方法 ，证明混循环小数化成分数的方法是完全成立的。
193
．为什么分子相同的分数，分母大的分数比较小？
在小学数学课本中，
涉及到分数大小比较时，
经常遇到分子相同的分
数进行比较。
结论是：分子相同的两个分数，分母小的分数比较大。反过 来说，分
子相同的两个分数，
分母大的分数比较小。
由于受到整数或小数大小比较的影响，
学生在理解这个结论时，
有时会在算理上表现出困惑。
解决这种
困惑，要从直观和分数单位两方面入手：
2020
年数学
从圆形图和线段图中观察 ，
凡是分子相同的分数，
分母大的分数比较
小。这个结论在直观上是能够接受的，但这 并非全部的算理。因此，除直
观外，还要从分数单位这个角度上进行具体的阐述。
根据分数的意义，把单位“
1
”平均分成若干份，所分的份数是分母，表示取出的份数是分子，
既然两个分数的分子相同，
说明它们含有各自的
分数单位 个数是相同的，
这时它们的大小就取决于分数单位的大小；
而分
数单位的大小又取决于 分母，分母越大，分数单位就越小。所以，分子相
同的分数，分母大的分数比较小。
194
．什么是分数的相等和分数的不等？
分数的相等是指两个分数的分数值一样。
其定义是：
如果第一个分数
的分子与第二个分数的分母的积，
等于第二个分数的分子与第一个分数的
分母的积，那么，这 两个分数就相等。
2020
年数学
分数的不等是指两个分数的分数值不一样。
其定义 是：
如果第一个分
数的分子与第二个分数的分母的积，
大于
（或小于）
第二个分数的分子与
第一个分数的分母的积，
那么，
第一个分数就大于
（或 小于）
第二个分数。
这两个分数就是不等的。
195
．有什么简便方法，来比较异分母分数的大小？
异分母分数由于分数单位不一致，在比较大小时，一般使用的方法，
都是先进行通分，
使异分 母分数转化成同分母分数，
有了相同的分数单位；
然后再比较大小。
2020
年数学
除上述这一般方法外，
还有一种较为简便的方法，
即：
异分母分数 大
小比较时，不必通分，只要把两个分数的分子、分母交叉相乘，根据这两
个乘积进行比较就行 了。
用第一个分数的分子（
5
）去乘第二个分数的分母（
10
），所得的积
是
5
×10=50
；再用第二个分数的分子（
7
）去乘第一个分数的分母（
9< br>），
所得的积是
7
×
9=63
。
为什么这种简便方法也能比较异分母分数的大小呢？其算理 与一般
方法先通分后比较是一样的，
只不过是省略了通分的过程。
两个分数的分
子、
分母交叉相乘，
所得的积是在取得公分母情况下的各自的分子，
分数
单 位既已一致，
分子的大小就可以比较出分数的大小。
但在这比较过程中，
省略了通分， 也就看不到公分母了。
按一般方法先通分：
196
．同分母分数相加时，为什么原来的分母不变？
2020
年数学
同分母分数的加法法则是：分子相加的和作分子，原来的分母不变。
原来的分母不变的道理，在于分母是把单位“
1
”平均分成若干份的
数，
它决定了这个分数的分数单位，
只表示每一份的大小，
而不表示所取
份 数的多少；
分子表示取了多少份的数，
也就是有多少个分数单位。
因此，
同分 母分数相加，
由于是同分母，
其分数单位也必然相同，
相加的实质是
几个相同 分数单位的相加，只是分子的相加，而分母是不能变的。
如果两个分母
5
也相加，那么分母就变成了
10
，这就表示把单位“
1
”
下面线段图，可以说明一旦分母也相加所造成的错误结果。
197
．为什么在计算异分母分数加、减法时，要先通分？
< br>在进行整数加、
减法计算时，
对不同计量单位的各个数量，
都不能直
接 进行加、减，必须化成相同单位的量，才能直接进行计算。
如：
4
公顷
-30
亩
=4
公顷
-2
公顷
=2
公顷
或：
4
公顷
-30
亩
=60
亩
-30
亩
=30
亩
2020
年数学
在整数中是这个道理，< br>所以在计算异分母分数加、
减法时，
要先通分，
其理由与上述道理也类似。由于异分母分数的分母不同，
因而它们的分数
单位也不一样。
要直接进行加或减，
必须把不同分母的分数转化成同分母
分数，才能使分数单位一样，完成这个转化的手段就是通分 。
进行计算。
< br>从上图可以看到，
在进行异分母分数加法时，
不经过通分，
就无法使
不 同分数单位的分数转化成相同分数单位的分数。减法也是同样的道理。
198
．有没有比较简便的方法来确定最小的公分母？
在进行异分母分数加、
减法时，
必须先通分，
使异分母分数转化成同
分母分 数，
然后才能直接计算。
通分首先要确定异分母分数的公分母，
由
于数是无限 多的，
因此公分母也是无限多的。
只有确定最小公分母，
才能
使计算的过程变 得简便。
确定最小公分母就是求最小公倍数的应用，
通常
使用的比较简便的方法有以下 几种：