9.数的奇偶性讲解
玛丽莲梦兔
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2021年01月28日 13:37
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数的奇偶性
一、基础知识回顾：
1
、数的奇偶定义：
能被
2
整除的 数，叫做偶数，通常叫做双数。不能被
2
整除的数叫奇数，通常叫做
单数。一个数是奇 数就不能是偶数，是偶数就不能再是奇数。一个数是偶数还是奇数，
是这个数自身的属性，称为奇偶性。
2
、奇、偶数有下列性质：
(1)
奇数一般 表为
2n+1
的形式，偶数可表为
2n
的形式
(
其中
n
为整数
)
，特殊的
0
是
一个偶数。
(2)
一个数是奇数就不能是偶数，是偶数就不能再是奇数。总之，奇数≠偶数。
(3)
奇数
+
奇数＝偶数，奇数
+
偶数＝奇数， 偶数
+
偶数＝偶数
(4)
两个数之和与这两个数之差有着相同的奇偶性。
(5)
奇数个奇数之和是奇数。
(6)
奇数×奇数＝奇数，
奇数×偶数＝偶数，
偶数×偶数＝偶数，
(7)
若干个奇数之积为奇数。
(8)
奇数的平方被
4
除余
l
比如：
1
2
＝
4
×
0+1
，< br>3
2
＝
9
＝
4
×
2+1
，
5
2
＝
25
＝
4
×
6+l
……
一般地
(2n+1)
2
=4n
2
+4n+1=4(n
2
+n)+1
(9)
偶数的平方是
4
的倍数
比如：
2
2
＝
4
＝
4
×
l
，
4
2
＝
16
＝
4
×
4
，6
2
＝
36
＝
4
×
9
……
一般地
(2n)
2
＝
4n
2
＝
4
×
n
2
(10)
相邻两个自然数 之积必为偶数，
其和必为奇数。
这是因为相邻两自然数必一奇一
偶，所以其积为偶数， 其和为奇数。
小结：
以上性质虽然浅显，若能巧妙运用，就可以巧妙地解决许多复杂 有趣或者看上去
很难着手解决的问题。
分析数的奇偶性所能解 决的问题是以判定存在性为主要特征的，
比如判定方程有无
整数解
?
整数运算 等式能否成立
?
存在不存在满足某种条件的事件
?
等等。通过分析，若
出现奇数＝偶数的矛盾，则表明所判定的对象不存在，通过下面例题，希望读者细心体
会整数的奇偶性 在解题中所扮演的角色。
这种利用奇、偶数的性质解题的方法，叫做奇偶数分析。
二、典型例题讲解
例
1
．
两个十位数
1111111111
和
999 9999999
的乘积有几个数字是奇数
?(
首届“华罗庚
金杯”少年数学邀 请赛试题
)
例
2
．
有两个质数，它们之和既是一个小于
1 00
的奇数，又是
13
的倍数，求这两个质
数。
(
西安市小 学生数学竞赛试题
)
例
3
．
1+2+3+
…
+1998+ 1999
的和是奇数还是偶数
?
例
4
．
100
个自然数的和是
10000
，在这些数里奇数的个数比偶数多，那么偶 数最多有
多少个？
例
5
．
把
100000
表示为两个整数的乘积， 使其中没有一个是
10
的倍数。
大数学竟赛
)
年加拿
(1973
例
6
．
有四个互不 相等的自然数。最大数与最小数之差是
4
，且最大数与最小数之积是
奇数。这四个数的 和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是？
例
7
．
1988
名学生按编号
1
、
2
、……、
1988
从小到大顺次排成一列，令奇数号位
(1
号
位、
3
号位……
)
上的同学离队，
余下同学的顺序不变，
依次重复上面的要求，
那么 最后
留下的同学在一开始是排在
号位的？