科普类作文-维持的近义词是什么

2021年1月28日发(作者：尺有所短下一句)
初中数学备课组

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学生


主课题：分解素因数

教学目标：

1
．掌握素数和合数的概念，并注意
1
既不是 素数也不是合数的规定；

2
．掌握分解素因数的方法；

3
．掌握公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数的概念；

4
．掌握求最大公因数与最小公倍数的方法。

教学重点：

1
．素数、合数的概念；

2
．分解素因数的方法；

3
．公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数的概念；

4
．求最大公因数与最小公倍数的方法。

教学难点：

1
．分解素因数的方法

2
．求最大公因数与最小公倍数的方法。


考点及考试要求：












~
1
~

分解素因数

知识精要：

1
、素数与合数





一个数除了
1
和它本身，不再有别的因数，这个数叫做素数（也叫做质数）
.




一个数除了
1
和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数
.
▲

要特别记住：
0
和
1
不是素数，也不是合数
.
常用的
100
以内的素数：
2
、
3
、
5< br>、
7
、
11
、
13
、
17
、
19
、
23
、
29
、
31
、
37
、
41
、
43
、
47
、
53
、
59
、
61
、
67
、
71
、
73
、
79
、
83
、
89
、
97
，共计
25
个；除了
2
其余的素数都是奇数；除了
2
和
5
，其余的素数个位数字只能是
1
，
3
，
7
或
9< br>。

考点：
（
1
）值得注意的是很多题都会以素数
2
的特殊性为考点；






（
2
）除了
2
和
5
，其余素数个位数字只能是
1
，
3
，
7
或
9.
这也是很多题解题思路，需
要大家注 意。

2
、素因数与分解素因数

素因数：如果一个素数是某个数的因数，那么就说这个素数是这个数的素因数。

互素数：公因数只有
1
的两个自然数，叫做互素数。

分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。

例如：< br>30

2

3

5
，其中
2
、
3
、
5
叫做
30
的素因数。又如
12

2

2

3

2

3
，
2
、
3
都叫做
12
的素因数，其中后一个式子叫做分解素 因数的标准式，在求一个数因数的个数和
因数的和的时候都要用到这个标准式。分解素因数往往是解数论 题目的突破口，因为这样可
以帮助我们分析数字的特征。

3
、唯一分解定理

任何一个大于
1
的自然数
n< br>都可以写成素数的连乘积，即：
n

p
1
1

p
2
2

p
3
3

p
k
k
，
其中
p
1
，
p
2
，……，
p
k
为素数，
a
1
，
a
2
，…… ，
a
k
为自然数，并且这种表示是唯一的
.
该式称为
n的素因子分解式
.
。

例如：三个连续自然数的乘积是
210
，求这三个数
.
分析：∵
210=2×
3×
5×
7
，∴可知这三个数是
5、
6
和
7.
4
、部分特殊数的分解


a
a
a
a
2
~
2
~

111

3

37
；
1001

7
11

13
；
11111

41

271
；
10001

73

137
；< br>1995

3

5

7

19；
1998

2

3

3

3

37
；
2007

3

3

223
；
2008

2

2

2

251
；
10101

3

7

13

37
.
5
、判断一个数是否为素数的方法

根据定义如果能够找到一个小于
p
的素数
q
（均为整数）
，使得
q
能够整除
p，那么
p
就不是
素数，所以我们只要拿所有小于
p
的素数去除< br>p
就可以了；但是这样的计算量很大，对于不
太大的
p
，我们可以先找 一个大于且接近
p
的平方数
k
，再列出所有不大于
k
的素数 ，用这
些素数去除
p
，如没有能够除尽的那么
p
就为素数。

例如：
149
很接近
144

12

12
，根据整除的性质
149
不能被
2
、
3
、
5
、
7
、
11
整除，所以
149
是素数。

6
、最大公因数的概念及求法

几个整数公有的因数，叫做这几个整数的公因 数，其中最大的一个叫做这几个整数的最大公
因数。

求几个整数的最大公因数，只要 将它们所有的公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大
公因数。另一种方法是短除法。
< br>两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数。如果
这两个 数互素，则它们的最大公因数为
1
。

7
、最小公倍数的概念及求法

几个整数的公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做这几个整数的最小公倍数。
< br>求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公倍的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将
这些数 连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数。另一个方法是短除法。

如果两个整数中某一个数 是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数。如果这两
个数互素，那么它们的乘积就是它们的 最小公倍数。





2
热身练习

1
、
20
以内不是偶数的合数有




9
、
15


；


~
3
~

2
、
20
以内不是奇数的素数有




2



；

3
、最小的既是奇数又是素数的数是




3


；

4
、只有三个因数的偶数是



4


。

5
、
18
的因数有



1
、< br>2
、
3
、
6
、
9
、
18


；

其中素数有



2
、
3

；合数有


6
、
9
、
18



，

奇数有


1
、
3
、
9


，偶数有



2
、
6
、
18



。

6
、甲
，乙
，甲和乙的最大公因数是
_2__
×
_3___
＝
__6__
，甲和乙的
最小公倍 数是
__2__
×
__3__
×
__5__
×
__ 7__
＝
__210___
。

7
、在
4
、
9
、
10
和
16
这四个数中，

__4___
和
__9__
是互素数，

_9___
和
__10__
是互素数，
__9__
和
_16___
是 互素数。

8
、
把
330
分解素因数是

330

2

3

5

11
。< br>
9
、
判断
103
、
437
是素数还是合数
.
解：
103
＜
11
。而
11
以内的素 数
2
、
3
、
5
、
7
都不能整除
1 03
，故
103
是素数。



437
＜
21
。而
21
以内的素数有：
2
、
3
、< br>5
、
7
、
11
、
13
、
17
、
19
。

∵
437÷
19
＝
23
，

∴
437
是合数
.
10
、将下面八个数分成两组，使这两组数各自的乘积相等
.


14
、
33
、
35
、
30
、
75
、
39
、
143
、
169
分析：把八个数分成两组后，应使每组数的乘积所含的素因数一样。



解：

把已知的八个数分解素因数：



14< br>＝
2×
7
，
33
＝
3×
11.


35
＝
5×
7
，
30
＝
2×< br>3×
5.

75
＝
3×
5
2
，< br>39
＝
3×
13
，



143< br>＝
11×
13
，
169
＝
13
2
.


∵
14×
75
＝
35×
30
＝
2×
3×
5
2
×
7
，
39×
1 43
＝
33×
169
＝
3×
11×
13
2
，



∴分成的两组为：
｛
169
，< br>33
，
35
，
30
｝与｛
39
，
1 43
，
75
，
14
｝

或｛
169
，
33
，
75
，
14
｝与｛
39
，143
，
35
，
30
｝
.
11
、一 个数是
5
个
2
、
3
个
3
、
2个
5
、
1
个
7
的连乘积，这个数的两位数的因数中，最 大的
是几？


2
2
~
4
~

分析：

设这个数为
N
，则
N

2

3

5

7
。两位数中的最大数为
99
，其它数依次
为
98
，
97
，
….
那么可以从两 位数中最大的数开始找
.


解：
N

2

3

5

7
。


99
3

11
，不是
N
的因数。



98

2

7
，不是
N
的因数。



97
是素数，不是
N
的因数。


96

2

3
，是
N
的因数。

所以，所求最大的两位数的因数是
96
。

12
、有这样的 素数，它分别加上
10
和
14
仍为素数，你会求这个素数吗？
分析：从最小的素数开始找，可以很快地找到
3
是符合条件的素数，还有没有符合条件的别的素数呢？没有。

解：

因为
3
＋
10
＝
13
，
3
＋
14
＝
17
，所以
3
是符合条件的素数。



因为
2
＋< br>10
＝
12
，
2
＋
14
＝
16，所以
2
是不符合条件的素数。



我们将一切大于
2
的自然数按照被
3
除的余数分为
3n
、
3n＋
1
、
3n
＋
2
（
n≥1
的整数）这
三类。因为（
3n
＋
1
）＋
14
＝
3×< br>（
n
＋
5
）不是质数，
（
3n
＋
2
）＋
10
＝
3×
（
n
＋
4
）不是 素
数，而
3n
仅当
n
＝
1
时才是素数
.
所以，
3
是唯一符合条件的素数
.

5
2
2
5
3
2
5
3
2
精解名题

例
1
、在
101
与
300
之间，只有
3
个因 数的自然数有几个？

分析：

只有
3
个因数的自然数必是素数的平方，反之亦然
.


解：

在
101
至
300
之间的平方数：

11
2
、
12
2
、
13
2
、14
2
、
15
2
、
16
2
、
17
2
。



其中
11
2
、< br>13
2
、
17
2
是素数的平方，它们分别只有
3个因数
.
所以，只有
3
个因数的自然数有
3
个，即< br>121
、
169
、
289.
例
2
、新河村 农民用几只船分三次运送
315
袋化肥。已知每只船载的化肥袋数相等且至少载
7袋。问每次应有多少只船，每只船载多少袋化肥？（每只船至多载
50
袋）

分析：

因为每只船载的化肥袋数相等，
且分三次把
315
袋化肥运完，
所以每次运送
105
袋。又每次运送的总袋数
105
应 为每只船上载的化肥袋数与船数的积，即每次运化肥的
船数与每只船上的化肥袋数都是
105< br>的因数。所以只要把
105
分解素因数。就可以求出
船数和每只船载的化肥袋数 。


~
5
~

解：

105
＝
3×
5×
7.


因为每只船 上载的袋数相等且至少载
7
袋，
所以每次用的船数和每只船上所载的化肥袋
数 有以下几种情况：



（
1
）用
3
只船，每只船载
35
袋化肥
.


（
2
）用
5
只船，每只船载
21
袋化肥
.


（
3
）用
7
只船，每只船载
15
袋化肥
.


（
4
）用
15
只船，每只船载
7
袋化肥
.


（因为每只船至多载
50
袋，故每次不能用
1
只船载
105
袋
.
）

例
3
、三个连续自然数的乘积是
210
，求这三个数。


解：∵
210=2×
3×
5×
7




∴可知这三个数是
5
、
6
和
7
。

例
4
、两个素数的和是
40
，求这两个素数的乘积的最大值是多少？


解：把
40
表示为两个素数的和，共有三种形式：



0=17+23=11
＋
29=3+37
。



∵
17×
23
＝
391
＞
11×
29
＝
319
＞
3×
37
＝
111
。< br>


∴所求的最大值是
391
。



答：这两个素数的最大乘积是
391
。

例
5< br>、把
5
、
6
、
7
、
14
、
15
这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。


解：∵
5=5< br>，
7=7
，
6=2×
3
，
14
＝
2 ×
7
，
15=3×
5
，

这些数中素因数
2
、
3
、
5
、
7
各共有
2
个，< br>所以如把
14
（
=2×
7
）
放在第一组，
那 么
7
和
6
（
=2×
3
）
只能放在第二组， 继而
15
（＝
3×
5
）只能放在第一组，则
5
必须 放在第二组。这样
14×
15=210=5×
6×
7
。这五个数可以 分为
14
和
15
，
5
、
6
和
7< br>两组。

例
6
、
有三个自然数，
最大的比最小的大< br>6
，
另一个是它们的平均数，
且三数的乘积是
42560
。< br>求这三个自然数。

分析：先大概估计一下，
30×
30×
3 0=27000
，远小于
42560.40×
40×
40
＝
64000
，远大于
42560.
因此，要求的三个自然数在
30
～
40
之间。

解：
42560 =26×
5×
7×
19
＝
25×
（
5×
7
）
×
（
19×
2
）







＝
32×
35×
38
（合题意）

要求的三个自然 数分别是
32
、
35
和
38
。


备选例题


~
6
~

科普类作文-维持的近义词是什么

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