乘法公式和整式的除法
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2021年01月28日 18:57
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社会主义好吉他谱-回到原点作文
乘法公式和整式的除法
一、教学内容：
1
、多项式与多项式相乘时常用到的两个公式：平方差公式、完全平方公式．
2
、同底数幂的除法法则．
3
、单项式除以单项式和多项式除以单项式．
二、知识要点：
1
、平方差公式：（
a
＋
b）（
a
－
b
）＝
a
2
－
b
2
两个数的和与两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
注意：
（
1
）公式的左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互
为相反数．
（
2
）右边是左边因式中的两项的平方差（相同项的平 方减去相反项的平方）．
（
3
）公式中的
a
与
b
可以是单个的数，也可以是单项式或多项式．
（
4
）只有对于形如两数的和与这两数的差相乘时，才可以用平方差公式．
2
、完全平方公式：（
a
±
b
）
2
＝a
2
±
2
ab
＋
b
2
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加（或减）它们的积的
2
倍．
注意：
（
1
）（
a
＋
b
）2
＝
a
2
＋
2
ab
＋
b
2< br>和（
a
－
b
）
2
＝
a
2
－
2
ab
＋
b
2
都叫做完全平方公式．为了区
别，我 们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式．
（
2
）公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的完全平方，二者仅一个“符号”
的不同；
右 边都是二次三项式，
当中有两项是公式左边二项中每一项的平方，
第三项是左边
二项式 中两项乘积的
2
倍，二者也仅是一个“符号”的不同．
（
3
）公式中的
a
与
b
可以是数，也可以是单项式或多项式．
（
4
）在运用公式时要注意保持前后“符号”的一致性．
3
、乘法公式和面积之间的关系
如图（
1
），（
a
＋
b
）（
a
－
b
）＝
________ __
；
如图（
2
），（
a
＋
b
）
2
＝
__________
；
如图（
3
），（
a
－
b
）
2
＝
__________．
4
、同底数幂的除法的运算性质：
a
÷
a
＝
a
m
n
m
－
n
（
a
≠
0
，
m
、
n
都是正整数，并且
m
＞n
）．
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
注意：
（
1
）因为零不能作除数，所以底数不能为
0
．
（
2
）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式．
5
、零指数幂
m
m
m
m
m
－< br>m
0
0
因为
a
÷
a
＝
1
， 又因为
a
÷
a
＝
a
＝
a
．所以
a
＝
1
．其中
a
≠
0
．即：
任何不等于
0
的数的零次幂都等于
1
．
6
、单项式除以单项式
单项式相除：
把系数与同底数幂分别相除作 为商的因式，
对于只在被除式里含有的字母，
则连同它的指数作为商的一个因式．如：－
4
am
2
÷
2
m
＝
[
（－
4< br>）÷
2]
·
a
·（
m
2
÷
m
）
步骤：
（
1
）把系数相除，所得结果作为商的系数．
（
2
）把同底数幂相除，所得结果作为商的因式．
（
3
）把只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．
7
、多项式除以单项式：（
am
＋
bm
）÷
m
＝
am
÷
m
＋
bm
÷
m
＝
a＋
b.
多项式除以单项式，
先把这个多项式的每一项除以这个单项式 ，
再把所得的商相加．
其
实质就是把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式 的运算．
计算时不要漏除，
同
时注意运算符号．
三、重点、难点：
重点是乘法公式和整式除法的运算法则，难点是在运算过程中如何 准确的应用乘法公
式．
【典型例题】
例
1< br>、（
1
）计算：（
3
a
－
2
b
）（
3
a
＋
2
b
），
（
2
）（
2008
年福建南平）先化简，再求值：（
a
＋
b
）（
a
－
b
）＋
b
（
b
－
2
），其中
a
＝－
1
，
b
＝
1
．
分析：
（
1
）是两个数的和乘以两个数的差的形式．可直接应用公式写出结果 ．
（
2
）的
前一部分直接用平方差公式计算，再化简求值．
解：
（
1
）（
3
a
－
2
b
）（
3
a
＋
2
b
）＝（
3
a
）
2
－（
2
b
）
2
＝
9
a
2－
4
b
2
，
（
2
）（
a< br>＋
b
）（
a
－
b
）＋
b
（
b
－
2
）＝
a
2
－
b
2
＋
b
2
－
2
b
＝
a
2
－
2
b
，
当
a
＝－
1
，
b
＝1
时，原式＝
a
2
－
2
b
＝－
1．
评析：
利用平方差公式计算直接写出结果时，
“平方”是一个整体的 平方，不但字母要
平方，系数也必须同时平方，要防止出现这样的错误：（
3
a
＋
2
b
）（
3
a
－
2
b
）＝< br>3
a
2
－
2
b
2
．
< br>例
2
、计算：（
1
）（
3
a
＋
b< br>）
2
；（
2
）（－
x
＋
3
y
）
2
；
（
3
）
999
2
；（
4
）（
b
＋
c
）（－
b
－
c）．
分析：
此题可利用完全平方公式计算，（
1
）题是两数和 的平方，应选用和的完全平方
公式，其中
3
a
是公式中的
a
，
b
是公式中的
b
；（
2
）题（－
x
＋< br>3
y
）
2
＝（
3
y
－
x
）
2
＝（
x
－
3
y
）
2
；所以选用 差的完全平方公式；（
3
）题关键是化成两数差的平方；（
4
）题中（－b
－
c
）＝－（
b
＋
c
），原式＝－（
b
＋
c
）
2
．
解：
（1
）（
3
a
＋
b
）
2
＝（
3
a
）
2
＋
2
·
3
a
·
b
＋
b
2
＝
9
a
2
＋
6
ab
＋
b
2
（
2
）（－
x＋
3
y
）
2
＝（
3
y
－
x
）
2
＝（
3
y
）
2
－
2
·
3
y
·
x
＋
x
2
＝
9
y
2
－
6
xy
＋
x
2
（
3
）999
2
＝（
1000
－
1
）
2
< br>＝
1000
2
－
2
×
1000
×
1
＋
1
＝
1000000
－
2000
＋
1
＝
998001
（
4
）（
b
＋
c
）（－
b
－
c
）
＝－（
b
＋
c
）
2
＝－（
b< br>2
＋
2
bc
＋
c
2
）
＝ －
b
2
－
2
bc
－
c
2
评析：
通过例题可以发现：当所给的二项式中两项符号相同时，一般选用“和”的完全
平方公 式，如：
（
1
）
（
3
a
＋
b
）< br>2
和（
4
）
（
b
＋
c
）
（ －
b
－
c
）；当二项式中两项符号相反时，
一般选用“差”的完全平 方公式．如：（
2
）（－
x
＋
3
y
）
2< br>．
例
3
、（
1
）（
2007< br>年南京）计算
x
3
÷
x
的结果是
（
）
A.
x
4
B.
x
3
C.
x
2
D. 3
（
2
）（
2007
年重庆）计算
6
m
3
÷（－
3
m
2
）的结果是
（
）
A.
－
3
m
B.
－
2
m
C. 2
m
D. 3
m
（
3
）（
2007
年宁夏）计算：（
9
a
2
b
－
6
ab
2
）÷（
3
ab
）＝
__________
．
－
－
分析：
（
1
）
x
3
÷
x
＝
x3
1
＝
x
2
，故选
C
；
（
2
）
6
m
3
÷（－
3
m
2
）＝[6
÷（－
3
）
]
m
3
2
＝－
2
m
，
故选
B
；（
3
）（
9
a
2
b
－
6
ab
2
）÷（
3
ab< br>）＝
9
a
2
b
÷
3
ab
－
6
ab
2
÷
3
ab
＝
3
a
－2
b
解：
（
1
）
C
（
2< br>）
B
（
3
）
3
a
－
2
b< br>
评析：
整式的除法归根结底是要转化成同底数幂的除法．
例
4
、已知
16
x
2
－
2
（
m
－
1
）
xy
＋
49
y
2
是一个完 全平方式，求
m
的值．
分析：
由完全平方式特征可得
a< br>＝
4
x
，
b
＝
7
y
，且±
2
ab
＝－
2
（
m
－
1
）
xy< br>，所以
m
应有
两个值．
解：
由题意可知：－
2
（
m
－
1
）
xy
＝±
2
·（
4
x
）·（
7
y
）
m
－
1
＝±
28
∴
m
＝
29
或
m
＝－
27
评析 ：
完全平方式有两种形式，用
a
2
＋
b
2
±
2
ab
解求
ab
项系数习题时应注意系数可为
±
2
，不仅仅为
2
．
1
12
例
5
、计算：（
1
）（－
xy
）
÷（－
xy
）
5
；（
2
）（
x
－
2
y
）
4< br>÷（
2
y
－
x
）
3
；（
3
）（－
3
）
1
0
1
29
30
÷（
3
）
÷（
3
）
．
分析：
此题主要运用同 底数幂的除法法则进行运算，一定要注意法则的运用，如（
1
）
题底数为－
x y
，且要注意符号．（
2
）和（
3
）题都需先把底数化成同底数如< br>x
－
2
y
＝－（
2
y
－
x
）．
12
解：
（
1
）（－
xy
）
÷（－
xy
）
5
12
－
＝（－
xy< br>）
5