关于唐僧的歇后语-初一英语自我介绍

2021年1月28日发(作者：文章是哪里人)
2020-2021
学年人教版八年级数学寒假学习精编讲义

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01



16.1-16.2
二次根式定义及乘除




1
．二次根式的概念

一般地，我们把形如
a
（
a
>0
）的式子叫做二次根式，“
理解二次根式的概念，要把握以下四点：
< br>（
1
）
必须含有二次根号“
，
“
”的根指数为
2
，
即“
2
”，
我们一般省略根指数
2
，
写作“
”．

”称为
__________
．

（
2
）被开方数必须是非负数，如

3
和

a2

3
都不是二次根式．

（
3
）二次根式中 的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子．

（
4
）式子< br>a
表示非负数
a
的算术平方根，因此
a
≥0，
a≥0．二次根式具有双重非负性．

【注意】
（
1
）在具体问题 中，如果已知二次根式
a
，就隐含
a
≥0
这一条件．
（
2
）形如
b
a
(
a

0)
的式子也是二次根式，
b
与
a
是相乘的关系，要注意当
b
是 分数时不能写成带
分数，例如
8
2
8
2
2
可写成< br>2
．

，但不能写成
2
3
3
3
2< br>．二次根式有无意义的条件

类型

条件

字母表示

二次根式有意义

二次根式无意义

被开方数（式）为非负数

被开方数（式）为负数

a
有意义

a__________
0
a
无意义

a__________
0
3
．二次根式的性质

（
1
）
a

0(
a

0)
；

（
2
）
(< br>a
)
2

a
(
a

0)
；


__________(
a

0)

2
（
3
）
a


__________(
a

0)
．


__________(
a

0)

【拓展】
（
1
）若
a

b

0
，则
a
=0
，
b
=0
；

（
2
）若
a

|
b
|

0
，则
a
=0
，
b
=0
；
< br>（
3
）若
a

b
2

0
， 则
a
=0
，
b
=0
；

（
4）若
a
2

|
b
|

c
< br>0
，则
a
=0
，
b
=0
，
c
=0
．

4
．代数式

用基本运算符号（基本运算包括加 、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫
3
__________< br>．例如
3
，
x
，
x
+
y
，
3
x
(
x

0)
，
-
ab
，(
t

0)
，
x
都是代数式．

s< br>t
【注意】
（
1
）代数式中不能含有关系符号（
“
=
”
“
>
”或“
<
”等）
．

（< br>2
）将两个代数式用关系符号（
“
=
”
“
>
”或“
<
”等）连接起来的式子叫关系式．方程和不等式都是关
系式．如
2< br>x
+3>3
x
-5
就是关系式．

5
．二次根式的乘法法则

（
1
）一般地，二次根式的乘法法则是：

a

b

__________(
a

0
，
b

0)
．

语言叙述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数
__________
．

在进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数
a
，
b
均为 非负数这一条件．

推广：①
a

b

c

abc
(
a

0
，
b

0，
c

0)
．

②
a
b
< br>c
d

ac
bd
(
b

0
，
d

0)
，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进< br>行运算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数；

③乘法交换律和结合律 以及乘法公式（平方差公式和完全平方公式）在二次根式的乘法中仍然可应用．

（
2
）二次根式乘法法则的逆用

ab

a

b
(
a

0
，
b

0)．

语言叙述：积的算术平方根等于积中各因数或因式的算术平方根的积．
公式中的
a
，
b
可以是数，也可以是代数式，但必须满足
a≥
0
，
b
≥
0
．实际上，
a
≥
0
，
b
≥
0
是限制公式
右边的，对公式的左边，只要ab
≥
0
即可．

二次根式乘法法则的逆用也称为积的算术平方 根，在进行二次根式的乘法运算时，这两个关系经常交替
使用．

推广：
ab cd

a

b

c

d
(
a

0
，
b

0
，
c

0
，
d

0)
．

运用这个性质可以化简二次根 式：如果一个二次根式的被开方数有的因数（式）是完全平方数（式）
，
则可以利用性质
ab

将二次根式化简．

利用积的算术平方根的性质化简的步骤：

①将被开方数进行因数分解或因式分解；

②应用积的算术平方根的性质，将能开得尽方的因数或因式开出来．

“开方”出来， 从而
a

b
(
a

0
，
b

0)
及
a
2

a
(
a
0)
将这些因数（式）
6
．二次根式的除法法则

（
1
）一般地，二次根式的除法法则是：

a
a

(
a

0
，
b
__________
0)
．

b
b
语言叙述：二次根式相除，把被开方数
_____ _____
，根指数不变．

【注意】①
a
≥
0
，
b
>0
时，式子才成立，若
a
，
b
都是负数，虽然
a
a

0
，
有意义，但
a
，
b< br>在实
b
b
数范围内无意义；若
b
=0
，
a< br>则号无意义．学
-
科网

b
②如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数．

③二次根式的运算结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式．

（
2
）二次根式除法法则的逆用

a
a

(
a

0
，
b

0)

b
b
★语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．

公式中的
a
，
b
表示的代数式必频满足
a
≥
0，
b
>0
，
a
≥
0
，
b
>0
是限制公式右边的，对公式的左边，只要
a

0
且
b

0
即可．

b
利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的 ，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，
先将其化为“
（
a
≥0
，
b
>0
）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个 适当的因式，化
去分母中的根号即可．

7
．最简二次根式

满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

（
1
）被开方数不含
__________
；

（
2
）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．
【拓展】分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的
变形叫做分母有理化．

分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母 的有理化因式（两个含有二次根式
的代数式相乘，
如果它们的积不含二次根式，
就说这 两个代数式互为有理化因式）
，
化去分母中的根号．
分
母的有理化因式不唯一 ，但以运算最简便为宜．

【知识汇总参考答案】

1
．

二次根号
2
．≥，
< 3
．
a
，
0
，

a
4
．代数

5
．
ab
，不变
6
．

，相除
7
．分母


二次根式的概念

判断一个式子是不是二次根式时，
只看它的初始的外在形态 ，
不看它计算或化简的结果．
如
9

3
，
3
是
9

的计算结果，
9
是二次根式．

考点
1
：二次根式的定义


【例
1
】< br>（
2020
春•晋中月考）如图，在数轴上所表示的
x
的取值范围中， 有意义的二次根式是
(


)


A
．
x

3

B
．
x

3

C
．
1
x

3

D
．
1
x

3

【解答】解：从数轴可知：
x

3
，

A
．当

3
x

3
时，
x

3无意义，故本选项不符合题意；

B
．当
x

3
时，
x

3
有意义，故本选项符合题意；

C
． 当

3
x
3
时，
无意义，故本选项不符合题意；

x

3
1
无意义，故本选项不符合题意；

D．当
x


3
时，
x

3
1
故选：
B
．


【变式
1-1
】
（
2020
秋•罗湖区期中）下列各式一定为二次根式的是
(


)

A
．
x
2

1

B
．
x

C
．
x
2

1

D
．
x

1

【解答】解：
A
、 当
x

0
时，被开方数是

1

0
，所以它不是二次根式，故本选项不符合题意；

B
、当
x
0
时，它不是二次根式，故本选项不符合题意；

C
、被开方数大于
0
，所以它是二次根式，故本选项符合题意；
< br>D
、当
x


1
时，被开方数是
x

1

0
，它不是二次根式，故本选项不符合题意．

故选：
C
．

【变式
1-2
】
（
2019
春•梁山县期中）已知
20
n
是整数，则满足条件的最小正整数n
为



．

【解答】解：
20< br>n

4

5
n

2
5
n< br>，且
20
n
是整数；


2
5
n< br>是整数，即
5
n
是完全平方数；


n
的最小正整数值为
5
．

故答案是：
5
．


二次根式有意义的条件

求使代数式有意义的字母的取值范围的类型：

（
1
）二次根式型：被开方数大于或等于
0
；

（
2
）分式型：分母不等于
0
；

（
3< br>）复合型：对于分式、根式组成的复合型代数式，应取其各部分字母取值范围的公共部分．

考点
2
：二次根式有意义的条件


【例
2
】
（
2020
春•和平区校级月考）当
a

0
时 ，

a

2
ab

b
可变形为
(


)

A
．
(
a

b
)
2

B
．

(
a

b
)
2

C
．
(

a


b
)
2

D
．
(

a


b
)
2

【解答】解：
a

0
，
ab
0
，


b
0
，


a

2
ab

b

(

a


b
)
2
，

故选：
C
．


【变 式
2-1
】
（
2020
•成都模拟）二次根式
4

x
中字母
x
的取值范围是


．

【解答】解：由题意得：
4

x
0
，

解得：
x
4
，

故答案为：
x
4
．

【变式
2-2
】（
2019
秋•景县期末）已知
y

2
x
< br>3

3

2
x

4
，计算
x

y
2
的值．


2
x
3
0
【解答】解：由题意得：

，

3
2
x
0

解得：
x

把
x

当
x

3
，

2
3
代入
y

2
x

3

3

2
x

4
，得
y


4
，

2
3
3
1
，
y


4
时
x

y
2


16


14< br>．

2
2
2
【变式
2-3
】
（2020
秋•九龙坡区校级月考）当
A
．
a
2

B
．
a

2

2
a

2
有意义时，
a
的取值范围是
(


)

D
．
a


2

C
．
a

2

【解答】解：根据二次根式的意义， 被开方数
a

2
0
，解得
a
2
；

根据分式有意义的条件，
a

2

0
，解得
a

2
．


a

2
．

关于唐僧的歇后语-初一英语自我介绍

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