高中数学数列练习题
玛丽莲梦兔
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2021年01月28日 23:58
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七年级历史试卷分析-零存整取打一成语
数列经典解题思路
求通项公式
一、观察法
例
1
：根据数列的前
4
项，写出它的一个通项公式：
1
4
9
16
1
,
1
,
2
,< br>3
,
4
,
5
10
17
（
1
）
9
，
99
，
999
，
9999
，…
（
2
）
2
（
3
）
2
,
3
1
,
2
2
,
5
n
2
2
a
n
n
2
;
a
;
n
n
a
10
1
n
n
1
n
1
解：
（
1
）
（
2
）
（
3
）
二、公式法
例
1.
等差数列
（
D
）
(A)
a
n
是递减数列，且a
2
a
3
a
4
=48
，
a
2
a
3
a
4
=12
，则数列的通项公式是
a
n
2
n
12
(B)
a
n
2
n
4
(C)
a
n
2
n
12
(D)
a
n
2
n
10
b
b
a
n
的首项
a1
1
，
公比
0
q
1< br>，
设数列
n
的通项为
n
例
2.
已知等比数列
的通项公式。
a
n
1
a
n
2
，
求数列
b< br>n
b
n
q
(
q
1< br>)
q
n
1
q
n
(< br>q
1
)
当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列 的通项公式，只需求得
首项及公差公比。
三、
叠加法
例
3
：已知数列
6
，
9
，
14
，
21
，
30
，…求此数列的一个通项。
点评：一般地，对于型如用此方法求解。
a
n
n
2
5< br>(
n
N
)
a
n
1< br>
a
n
f
(
n
)
类的通项公式， 只要
f
(
1
)
f
(
2
)
f
(
n
)
能进行求和，则宜采
n
(
n
1
)
3
a
n
n
，求通项
a
n
。
a
n
=2
a
n
1
n
例
4.
若在数列
a
n
中，
a
1
< br>3
，
a
n
1
a
a
a
a< br>a
四、叠乘法
例：在数列｛
n
｝中，
1
=1, (n+1)
·n
1
=n
·
n
，求
n
的表达式。< br>点评：一般地，对于型如
法。
五、
Sn
法利用
a< br>n
1
f
a
=
(n)
·
n
类的通项公式，当
f
(
1
)
f
(
2)
f
(
n
)
的值可以求得时，宜采用此方
a
n
S
n
S
n
1
(
n
≥
2)
{
a
n
}< br>的前
n
项和
sn
的公式，
求
例
5
：
已知下列两数列
{
a
n
}
2
3
s
n
1
S
n
n
1
n
n
的通项公式。
（
1
）
。
（
2
）
0
a
n
2
a
2
n
1
∴
n
=3
n
3
n
2
为所求数列的通项公式。
(
n
1
)
(
n
2
)
点评：要先分
n=1
和
n
2
两种情况分别进行运算，然后 验证能否统一。
数列求和方法：
1.
公式法：
等差数列求和公式：
Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
等比数列求和公式：
Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1 -an
×
q)/(1-q) (q
≠
1)
2.
错位相减法
适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式
3.
倒序相加法
这是推导等差数列的前
n< br>项和公式时所用的方法，
就是将一个数列倒过来排列
（反序）
，
再把它 与原数列相加，
就可以得到
n
个
(a1+an)
Sn
=a1+
a2+
a3+......
+an
Sn
=an+ a(n-1)+a(n-3)...... +a1
前后相加得到
2Sn
即
Sn=
（
a1+an)n/2
4.
分组法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为 几个等差、等比或常见的
数列，然后分别求和，再将其合并即可
.
例如：
an =2^n+n-1
5.
裂项法
适用于分式形式的通 项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即
an=f(n+1)
－
f(n)
，然后累加时抵消中
间的许多项。
[
例
]
求数列
an=1/n(n+1)
的前
n
项和
.
此类变形的特点是将原数列每一项拆为两 项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几
项。
注意：
余下的项具有如下的特点
1
余下的项前后的位置前后是对称的。
2
余 下的项前后的正负性是相反的。
7.
通项化归
先将通项公式进行化简，再进行求和。如：求数列
1
，
1+2，
1+2+3
，
1+2+3+4,
……的前
n
项和。此 时先将
an
求出，再利用分组等方法求和。
8.
并项求和：
例：
1
－
2+3－
4+5
－
6+
……
+
（
2n-1
）
-2n
方法一：
（并项）
求出奇数项和偶数项的和，再相减。
方法二：
（
1
－2
）
+
（
3
－
4
）
+
（5
－
6
）
+
……
+[
（
2n-1）
-2n]
高考例题
1.(2009
年广东卷文
)
已知等比数列
{
a
n
}
的公比为正数，且
a
3
·
a
9
=2
a
5
，
a2
=1
，则
a
1
=
（
B
）
A.
2
1
2
B.
C.
2
D.2
2
2
2
【解析】设公比为
q
,
由已知得
a
1
q
a
1
q
2
a
1
q
8
4
2
,
即
q
2
2
,
又因为等比数列
{< br>a
n
}
的公比为正数，所以
a
2
1
2
,
选
B
q
2
2
2.
（< br>2009
广
东
卷
理
）
已知等比数列
{
a
n
}
满足
a
n
0,
n
< br>1,
2,
L
，且
a
5
a
2
n
5
2
2
n
(
n
3)
，则当
n
1
时，
log
2
a1
log
2
a
3
L
l og
2
a
2
n
1
q
2
,
故
a
1
A.
n
(2
n
1)
B.
(
n
1)
2
C.
n
2
D.
(
n
1)
2
2
【解析】由
a
5
a
2
n
5
2
2
n
(
n
3)
得
a
n
2
2
n
，
a
n
0
，则
a
n
2
n
，
log
2
a
1< br>
log
2
a
3
log
2
a
2
n
1
1
3
(
2n
1
)
n
2
，选
C.
3.
（
2009
安徽卷文）已知
为等差数列，
，则
等于
( B )
A. -1
B. 1
C. 3
D.7
【解析】∵
a
1
a
3
a
5
105
即
3
a
3
105
∴
a
3
35
同理可得
a
4< br>
33
∴公差
d
a
4
a
3
2
∴
a
20
a
4
(20
4)
d
1
.
选
B
。
4.
（
2009
江西卷文）公差不为零的 等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
.
若
a
4
是
a
3
与
a
7
的等比中项
,
S
8
32
,
则
S
10