三、数列求和专项练习高考题(含知识点)
温柔似野鬼°
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2021年01月29日 00:00
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文员年终工作总结-一百条裙子读后感
.
数列的前
n
项和的求法
1.
公式法
：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，
特别声 明
：运用等比数列求和公式，务必检查其
公比与
1
的关系，必要时需分类讨论
.
；③常用公式：
n
(
n
1)
2
1
2
3
L
n
1
n
(
n
1)
，
1
2
2
2
L
n
2
1
n(
n
1)(2
n
1)
，
1
3
2
3
3
3
L
n
3
[
]
.
2
6
2
1
2
3
n
例
1
、已知
log
3
x
，求
x
x
x
x
的前
n< br>项和
.
log
2
3
1
1
log
3
x
log
3
2
x
解
：由
log
3
x
l og
2
3
2
2
3
n
由等比数列求和公式得
S
n
x
x
x
x
（利用常用公式）
1
1
(
1
)
n
x
(
1
x
n
)
2
2
＝
1
－
1
＝
＝
1
1
x
2
n
1
2
2.
分组求和法
：在直接运用 公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求
和
.
1
1
1
4
,
2
7
,
,
n
1
3
n
2
，
…
a
a
a
1
1
1
解
：设
S
n
(
1
1
)
(
4
)
(
2
7
)
(
n
1
3
n
2
)
a
a
a
例
2
、
求数列的前
n< br>项和：
1
1
,
将其每一项拆开再重新组合得
1
1
1
2
n
1
)
(
1
4
7
3
n
2)
（分组）
a
a
a
(
3
n
1
)
n
(
3
n
1
)
n当
a
＝
1
时，
S
n
n
< br>＝
（分组求和）
2
2
1
1
n
(
3
n
1
)
n
a
a
1
n
(
3
n
1
)
n
a
当
a
1
时，
S
n
＝
1
a
1
2
2
1
a
3.
倒序相加法
：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通 项与组合数相关联，则常可考虑
选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前
n
和公式的推导方法）
.
例
3
、
求
sin
2
1
sin
2
2
sin
2
3
sin
2
88
sin
2
89
的值
解
：设
S
sin
2
1
sin
2
2
sin
2
3
< br>
sin
2
88
sin
2
89
…………
.
①
S
n
(
1
将①式右边反序得
S
sin
2
89
sin
2
88
sin
2
3
sin
2
2
sin
2< br>1
…………
..
②
（反序）
2
2
又因为
sin
x
co s(
90
x
),
sin
x
cosx
1
①
+
②得
（反序相加）
2
S
(sin
21
cos
2
1
)
( sin
2
2
cos
2
2
)
(sin
2
89
< br>
cos
2
89
)
＝
89
∴
S
＝
44.5
4.
错位相减法：
如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用
错位相减 法（这也是等比数列前
n
和公式的推导方法）
.
例
4
、
求和：
S
n
1
3
x
5
x
2
7
x
3
(
2
n
1
)
x
n
1
………………………
①
解
：由题可知，
{
(
2
n
1
)
x
n
1
}
的通项是等差数列
{2n
－< br>1}
的通项与等比数列
{
x
n
1
}
的通项之积
.
.
2
3
4
n
设xS
n
1
x
3
x
5< br>x
7
x
(< br>2
n
1
)
x
………………………
.
②
（设制错位）
2
3
4
n
1
n
①－②得
(
1
x
)
S
n
1
2
x
2
x
2
x
2x
2
x
(2
n
1
)
x
（错位相减
）
1
x
n
1< br>
(
2
n
1
)
x
n
< br>再利用等比数列的求和公式得：
(
1
x
)
S
n
1
2
x
1
x
(
2
n
1
)
x
n
1
(
2
n
1
)
x
n
(
1
x
)
∴
S
n
2
(
1
x
)
2
4
6
2
n
例
5
、求数列,
2
,
3
,
,
n,
前
n
项的和
.
2
2
2
2
2
n
1
解
：由题可知，
{
n
}
的通项是等差数列
{2n}
的通项与等比数列
{
n}
的通项之积
2
2
2
4
6
2
n
设
S
n
2
3
n
…………………………………
①
< br>2
2
2
2
1
2
4
6
2
n< br>S
n
2
3
4
< br>
n
1
………………………………
②
（设制错位）
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
n
①－②得
(
1
)
S
n
2
3
4
n
n
1
（错位相减
）
2< br>2
2
2
2
2
2
1
2
n
2
n
1
n
1
2
2
n
2
∴
S
n
4
n
1
2
5.
裂项相消法
：
如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，
且相 邻项分裂后相关联，
那么常选用裂项相消
法求和
.
常用裂项形式有：
1
1
1
1
；②
1
(
1
1
)
；
n
(
n
1)
n
n
1
n
(
n
k
)
k
n
n
k
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
；
③
2
2
(
)
，
k
k
1
(
k
1)
k
k
(
k
1)
k
k
1
k
k
k
1< br>2
k
1
k
1
n
1
1< br>1
1
1
1
[
]< br>
；⑤
④
；
n
(
n
1 )(
n
2)
2
n
(
n
1)< br>(
n
1)(
n
2)
(
n
1)!
n
!
(
n
1)!
2
2
⑥
2(
n
1
n
)
1
2(
n
n
1)
.
n
n
1
n
n
n
1
1
1
1
,
,
,
,
的前
n
项和
.
例
6
、
求数列
1
2
2
3
n
n
1
1
n
1
n
（裂项）
解
：设
a
n
< br>n
n
1
1
1
1
< br>
则
S
n
（裂项求和）
1
2
2
3
n
n
1
＝
(
2
1
)
(
3
2
)
(
n
1
n
)
①
＝
n
1
1
2
1
2
n
，又
b
n
，求数列
{b
n
}
的前
n
项的和
.
a
n
a
n
1
n< br>
1
n
1
n
1
1
2< br>n
n
解：
∵
a
n
n
1
n
1
n
1
2
例
7
、
在数列
{a
n
}
中，
a
n
.
.
∴
b
n
2
1
1
8
(
)
（裂项）
n
n
1n
n
1
2
2
∴
数列
{b
n
}
的前
n
项和
1< br>1
1
1
1
1
1
S
n
8< br>[(
1
)
(
)
(
)
(
) ]
（裂项求和）
2
2
3
3
4
n
n
1
1
8
n
＝
8
(
1
)
＝
n
1
n
1
6.
通项转换法
：先对通项进行变形，发现其在特征，再运用分组求和法求和。
例
8
、求
1
11
111< br>
111
1
之和
.
n
个
1
解：由于
111
1
k
个
1
1
1
k
999
< br>
9
(
10
1
)
（找通项及特征）
9
9
k
个
1
n
个
1
∴
1
11
111
111
1
1
1
1
1
1
(
10
1
)
(
10
2
1< br>)
(
10
3
1
)
(
10
n
1
)
（分组求和）
9
9
9
9
1
1
1
2
3
n
1
1
＝
(
1 0
10
10
10
)
(
1
< br>
1
)
9
9
n< br>个
1
＝
1
10
(
10
n
1
)
n
＝
9
10
1
9
1
n
1
＝
(
10
10
9
n
)
81
7
、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就 具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这
些项放在一起先求和，然后再求
S
n
.
例
9
、
求
cos1
°
+ cos2
°
+ cos3
°
+
·
+ cos178
°
+ cos179
°的值
.
2014
年全国高考数学试题分类汇编（
数列
）
1.【
2014
·全国卷Ⅱ
（文
5
）
】
等差数列< br>
a
n
的公差为
2
，
若
a
2
，
a
4
，
a
8
成等比数列，
则
a
n
的前
n
项和
S
n
=
n
n
1
n
n
1
（
A
）
n
n
1
（
B
）
n
n
1
（
C
）
(D)
2
2
【答案】
A
2.
【
2014
·全国大纲卷（理
10
）
】
等比数列
{
a
n}
中，
a
4
2,
a
5
5
，则数列
{lg
a
n
}
的前
8
项和等于< br>
（
）
A
．
6
B
．
5
C
．
4
D
．
3
【答案】
C
．
3.
【
2014
·全国大 纲卷（文
8
）
】
设等比数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
S
2
=3
，< br>S
4
=15
，则
S
6
=(
)
.
.
A.
31
B. 32
C. 63
D.
64
【答案】
C
4.
【
20 14
·卷（理
5
）
】
设
{
a
n
}
是公比为
q
的等比数列，则
q
1
是
a
n
}
为递增数列的（
）
A
.
充分且不必要条件
B
.
必要且不充分条件
C
.
充分必要条件
D
.
既不充分也不必要条件
【答案】
D
5.
【
2014
·天津卷（文
5
）
】
设
{
a
n
}
是首项为
a
1
，公差为
-1
的等差数列，
S
n
为其前
n
项和
.
若
S
1
,
S
2
,
S
4
成等
比数列，则
a
1
=
（
）
（
A
）
2
（
B
）
-2
（
C
）
【答案】
D.
6.
【
2014< br>·卷（理
3
）
】
等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
，若
a
1
2,
S
3
12
，则
a
6
(
)
1
1
（
D
）
2
2
A
.8
B
.10
C
.12
D
.14
【答案】
C
7.
【
2014
·卷（文
9
）
】
设等差数列
{
a
n
}
的公差为
d
，若数列
{2
1
n
}
为递 减数列，则（
）
A
．
d
0
B
．
d
0
C
．
a
1
d
0
D
．
a
1
d
0
【答案】
D
8.
【
2014
·卷（理文
4
）
】
根据右边框图，对大于
2
的整数
N
，
得出数列的通项公式是（
）
a
a
A
.
a
n
2
n
B
.
a
n
2(
n
1)
C
.
a
n
2
n
D
.
a
n
2
n
1
【答案】
C
9.
【
2014
·卷（理
2
）
】
对任意等比数列
{
a
n
}
,
下列说法 一定正确的是（
）
A
.
a
1
,
a
3
,
a
9
成等比数列
B
.
a
2
,
a
3
,
a
6
成等比数列
C< br>.
a
2
,
a
4
,
a
8
成等 比数列
D
.
a3
,
a
6
,
a
9
成等比数列
【答案】
D
10.
【
2014
·卷（文
2
）
】
在等差数列
{
a
n
}
中
,
a
1
2,
a
3
a
5
10
，则
a
7
（
）
【答案】
B
A
.5
B
.8
C
.10
D
.14
1
，
=2
，则
=_________.
a
2a
1
1
a
n
11.
【
2014·全国卷Ⅱ（文
16
）
】
数列
a
n
满足
a
n
1
=
【答案】
1
2
12.
【
2014
· 卷（理
12
）
】
数列
a
n
是 等差数列，若
a
1
1
，
a
3
3
，
a
5
5
构成公比为
q
的等比数列， 则
q
________.
【答案】
q
1
。
.
.
1 3.
【
2014
·卷（理
12
）
】
若等差数列
a
n
满足
a
7
a
8< br>
a
9
0
，
a
7
a< br>10
0
，则当
n
________
时< br>
a
n
的
前
n
项和最大
.
【答案】
8
14.
【
2014
·天津卷（理
11
）
】
设
{
a
n
}
是首项为
a1
，公差为
-1
的等差数列，
S
n
为其前
n< br>项和
.
若
S
1
,
S
2
,
S
4
成
等比数列，则
a
1
的值为
_________ _.
【答案】
-
1
2
15.
【
2014
·卷（文
13
）
】
在 等差数列
a
n
中，
a
1
7
，公差为
d
，前
n
项和为
S
n
，当且仅当
n
8
时
S
n
取
最大值，则
d< br>的取值围
_________.
【答案】
1
d
7
8
5
16.
【
2014
·卷（理
13
）
】
若等比数列
a
n
的各项均为正数，且
a< br>10
a
11
a
9
a
12
2
e
，则
ln
a
1
ln
a
2
L
ln
a
20
。
【答案】
50
17.
【
2014
·卷
（文
13
）
】
等比数列
a
n
的各项均为 正数且
a
1
a
5
4
，
则
log
2
a
1
log
2
a
2
log
2
a
3
log
2
a
4
log
2
a
5
＝
.
【答案】
5
18.
【
2014
·全国卷Ⅰ（理
1 7
）
】
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
a
1
=1
，
an
0
，
a
n
a
n
1
S
n
1
，其中
为常数
.
(
Ⅰ
)
证明：
a
n
2
a
n
；
（Ⅱ）是否存在
，使得
{
a
n
}
为等差数列？并说明理由
.
【解 析】
：
(
Ⅰ
)
由题设
a
n
a
n< br>
1
S
n
1
，
a< br>n
1
a
n
2
S< br>n
1
1
，两式相减
a
n
1
a
n
2
a
n
a
n
1
，由于
a
n
0
，所以
a
n
2
a
n
…………
6
分
（Ⅱ）由题设
a
1
=1
，
a
1
a
2< br>
S
1
1
，可得
a
2
1
1
，由
(
Ⅰ
)
知
a
3
1
假设
{
an
}
为等差数列，则
a
1
,
a
2
,< br>a
3
成等差数列，∴
a
1
a
3
2
a
2
，解得
4
；
证明
4
时，
{
a
n
}
为等 差数列：由
a
n
2
a
n
4
知
数列奇数项构成的数列
a
2
m
< br>1
是首项为
1
，公差为
4
的等差数列
a< br>2
m
1
4
m
3
< br>令
n
2
m
1,
则
m
n
1
，∴
a
n
2
n
1
(
n
2
m
1)
2
数列偶数项构成的数列
a
2
m
是首项为< br>3
，公差为
4
的等差数列
a
2
m
4
m
1
令
n
2
m
,
则
m
n
，∴
a
n
2
n
1
(
n
2
m
)
2
*
∴
a
n
2
n
1
（
n
N
）
，
a
n
1
a
n
2
因此，存在存在
4
，使得
{
a
n
}
为等差数列
.
………
12
分
.