高中数学复习专项：数列练习题(附答案解析)
萌到你眼炸
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2021年01月29日 00:02
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数列练习题
一．选择题（共
23
小题）
1
．已知函数
f
（
x
）
=
，若数列
{
a
n
}
满足
a
n
=f
（
n
）
（
n
∈
N
*
）
，且
{
an
}
是递增数列，则实数
a
的取值范围是（
）
A
．
[
，
4
）
B
．
（
，
4
）
C
．
（
2
，
4
）
D
．
（
1
，
4
）
2
．已知{
a
n
}
是递增数列，且对任意
n
∈
N
*
都有
a
n
=n
2
+
λn
恒成立，则实 数
λ
的取
值范围是（
）
A
．
（﹣
，
+
∞）
3
．已知函数
f
（
x
）是
R
上的单调增函数且为奇函数，数 列
{
a
n
}
是等差数列，
a
11
＞
0
，则
f
（
a
9
）
+
f
（a
11
）
+
f
（
a
13
）的值（
）
A
．恒为正数
4
．等比数列
{
a
n
}
中，
a
4
=2，
a
7
=5
，则数列
{
lga
n
}< br>的前
10
项和等于（
）
A
．
2
5
．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨 辉发现的，称为杨辉三角形，根
据图中的数构成的规律，
a
所表示的数是（
）
B
．
lg50 C
．
10
D
．
5
B
．恒为负数
C
．恒为
0
D
．可正可负
B
．
（
0
，
+
∞）
C
．
[
﹣
2
，
+
∞）
D
．
（﹣
3
，
+
∞）
A
．
2
B
．
4
C
．
6
D
．
8
=4a
1
，
6
．
已知正项等比数列
{
a
n
}
满足：
a
7
=a
6
+
2a
5
，
若存在两项
a
m
，
a
n
，
使得
则
+
A
．
1
的最小值为（
）
B
．
C
．
D
．
7
．已知
，把数列
{
a
n
}
的各项排列成 如图的三角形状，记
A
（
m
，
n
）表
示第
m
行的第
n
个数，则
A
（
10
，
12）
=
（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
8
．设等差数列
{
a
n
}
满足
=1
，
公差
d
∈（﹣
1
，
0
）
，若当且仅当
n=9
时，数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
取得最大值，
则首项
a< br>1
的取值范围是（
）
A
．
（
π
，
）
B
．
[
π
，
]
C
．
[
，
]
D
．
（
，
）
9
．定义在（﹣∞，
0
）∪（
0
，
+
∞）上的函数
f
（
x< br>）
，如果对于任意给定的等比
数列
{
a
n
}
，
{
f
（
a
n
）
}
，
仍是等比数 列，
则称
f
（
x
）
为
“
等比函数
”
．
现有定义在
（﹣
∞）
，
0
）∪（
0< br>，
+
∞）上的如下函数：
①
f
（
x
）
=3
x
，
②
f
（
x
）
=
，
③
f
（
x
）
=x
3
，
④
f
（
x
）
=log
2
|
x
|< br>，
则其中是
“
等比函数
”
的
f
（
x
）的序号为（
）
A
．①②③④
B
．①④
C
．①②④
D
．②③
10
．已知数列
{
a
n
}
（
n
∈
N
*
） 是各项均为正数且公比不等于
1
的等比数列，对于
函数
y=f
（x
）
，若数列
{
lnf
（
a
n
）}
为等差数列，则称函数
f
（
x
）为
“
保比差 数列函
数
”
．现有定义在（
0
，
+
∞）上的三个函 数：①
f
（
x
）
=
；②
f
（
x< br>）
=e
x
；③
f
（
x
）
=
；④
f
（
x
）
=2x
，则为
“
保比差数列 函数
”
的是（
）
B
．①②④
C
．①③④
D
．①③
A
．③④
2
11
．已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
=1
，
a
n
+
1
=A
．
B
．
3n
﹣
2
C
．
D
．
n
﹣
2
，则
a
n
=
（
）
12
．已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
=2
，
a
n
+
1
﹣
a
n
=a< br>n
+
1
a
n
，那么
a
31
等于（< br>
）
A
．﹣
B
．﹣
C
．﹣
D
．﹣
13
．如果数列
{
a
n
}
是等比数列，那么（
）
A
．数列
{
}
是等比数列
B
．数列
{
2
an
}
是等比数列
C
．数列
{
lga
n
}
是等比数列
D
．数列
{
na
n
}
是等比数列
14
．
在数列
{
a
n
}
中，
a
n
+
1
=a
n
+
2
，
且
a
1
=1
，
则
A
．
B
．
C
．
D
．
=
（
）
15
．等差数列的前
n
项，前
2n
项 ，前
3n
项的和分别为
A
，
B
，
C
，则（
）
A
．
A
+
C=2B
B
．
B
2
=AC
C
．
3
（
B
﹣
A
）
=C
D
．
A
2
+
B
2
=A
（
B+
C
）
16
．已知数列
{
a
n}
的通项为
a
n
=
（﹣
1
）
n
（
4n
﹣
3
）
，则数列
{
a
n
}
的前
50
项和
T
50
=
（
）
A
．
98
B
．
99
C
．
100
D
．
101
17
．数列
1
，
A
．
B
．
，
C
．
，
…
，
D
．
的前
n
项和为（
）
18
．
数列
{
a
n
}
的通项公式为
A
．
1006
B
．
1008
，
其前
n
项和为
s
n
，
则
s
2017
等于
（
）
C
．﹣
1006
D
．﹣
1008
，则数列
{
a
n
}
前
16
项和等于（
）
19．数列
{
a
n
}
中，
A
．
130
B
．
132
C
．
134
D
．
136
20
．
《庄子
•
天 下篇》
中记述了一个著名命题：
“
一尺之锤，
日取其半，
万世不竭< br>”
．
反
映这个命题本质的式子是（
）
A
．
1
+
+
C
．
+
3
+
…
+
+
…
+
=2
﹣
=1
D
．
+
B
．
1
+
+
+
…
+
+
…
+
＜
1
+
…
＜
2
21
．在数列
{< br>a
n
}
中，若
A
．
a
n
=2
（
n
+
1
）
2
=
+
，
a
1
=8
，则数列
{
a
n
}
的通项公式 为（
）
B
．
a
n
=4（
n
+
1
）
C
．
a
n
=8n
2
D
．
a
n
=4n
（
n
+
1
）
，把 函数
g
（
x
）
=f
（
x
）﹣
x< br>的零点按
22
．已知函数
f
（
x
）
=
从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前
n
项的和为
S
n
， 则
S
10
=
（
）
A
．
2
10
﹣
1
B
．
2
9
﹣
1
C
．
45
D
．
55
，
公差
d
∈
（﹣1
，
0
）
，
23
．
设等差数列
{a
n
}
满足
当且仅当
n=9
时，数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
取得最大值，求 该数列首项
a
1
的取值
范围（
）
A
．
二．解答题（共
4
小题）
24
．已知
{
a
n
}
是等差数列，
{
b
n
}
是等比数列，且
b
2
=3
，
b3
=9
，
a
1
=b
1
，
a
1 4
=b
4
．
（
1
）求
{
a
n
}
的通项公式；
（
2
）设
c
n
=a
n
+
b
n
，求数列
{
c
n
}
的前
n
项和．
4
B
．
[
，
]
C
．
（
，
）
D
．
[
，
]
25
．
已知等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S< br>n
，
等比数列
{
b
n
}
的前
n项和为
T
n
，
a
1
=
﹣
1
，
b
1
=1
，
a
2
+
b
2
=2
．
（
1
）若
a
3
+
b3
=5
，求
{
b
n
}
的通项公式；
（
2
）若
T
3
=21
，求
S
3< br>．
26
．设数列
{< br>a
n
}
满足
a
1
+
3a
2
+
…
+
（
2n
﹣
1
）
a
n
=2n
．
（
1
）求
{
a
n
}
的通项公式；
（
2
）求数列
{
5
}
的前
n
项和．
27
．已 知等差数列
{
a
n
}
和等比数列
{
b
n< br>}
满足
a
1
=b
1
=1
，
a
2
+
a
4
=10
，
b
2
b
4< br>=a
5
．
（Ⅰ）求
{
a
n
}
的通项公式；
（Ⅱ） 求和：
b
1
+
b
3
+
b
5
+…
+
b
2n
﹣
1
．
6
2017
年
11
月
1 3
日
****@
丑的想撞墙的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共
23
小题）
1
．已知函数
f（
x
）
=
，若数列
{
a
n
}
满足
a
n
=f
（
n
）
（
n
∈N
*
）
，且
{
a
n
}
是递增数列，则 实数
a
的取值范围是（
）
A
．
[
，
4
）
B
．
（
，
4
）
C
．
（
2
，
4
）
D
．
（
1
，
4
）
，数列
{a
n
}
满足
a
n
=f
（
n
）
（
n
∈
N
*
）
，
【解答】
解：函 数
f
（
x
）
=
且
{
a
n
}
是递增数列，
∴
，
解得
2
＜
a
＜
4
．
故选：
C
．
2
．已知
{< br>a
n
}
是递增数列，且对任意
n
∈
N
*都有
a
n
=n
2
+
λn
恒成立，则实数
λ
的取
值范围是（
）
A
．
（﹣
，
+
∞）
B
．
（
0
，
+
∞）
C
．
[
﹣
2
，
+
∞）
D
．
（﹣
3
，
+
∞）
【解答】
解：∵
{
a
n
}
是递增数列，
∴
a
n
+
1
＞
a
n
，
∵
a
n
=n
2
+
λn
恒成立
< br>即（
n
+
1
）
2
+
λ
（
n
+
1
）＞
n
2
+
λn
，
∴
λ
＞﹣
2n
﹣
1
对于
n
∈
N
*
恒成立．
而﹣
2n
﹣
1
在
n =1
时取得最大值﹣
3
，
∴
λ
＞﹣
3
，
故选
D
．
7
3
．已知函数
f
（
x
）是
R
上的单调增函数且为 奇函数，数列
{
a
n
}
是等差数列，
a
11
＞
0
，则
f
（
a
9
）
+
f（
a
11
）
+
f
（
a
13
） 的值（
）
A
．恒为正数
B
．恒为负数
C
．恒为
0
D
．可正可负
【解答】
解：∵
f
（
a< br>11
）＞
f
（
0
）
=0
，
a
9
+
a
13
=2a
11
＞
0
，
a
9
＞﹣
a
13
，
∴
f
（a
9
）＞
f
（﹣
a
13
）
=
﹣
f
（
a
13
）
，
f
（
a
9
）
+
f
（
a
13
）＞
0
，< br>
∴
f
（
a
9
）
+
f
（< br>a
11
）
+
f
（
a
13
）＞
0
，
故选：
A
．
4< br>．等比数列
{
a
n
}
中，
a
4
=2
，
a
7
=5
，则数列
{
lga
n
}
的前
10
项和等于（
）
A
．
2
B
．
lg50 C
．
10
D
．
5
【解答】
解：∵等比数列
{
a< br>n
}
中，
a
4
=2
，
a
7
=5
，
∴
a
1
a
10
=a
2< br>a
9
=…=a
4
a
7
=10
，
< br>∴数列
{
lga
n
}
的前
10
项和
S=lga
1
+
lga
2
+
…
+
lga< br>10
=lga
1
a
2
…a
10
= lg10
5
=5
故选：
D
5
．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根
据图中的数构 成的规律，
a
所表示的数是（
）
A
．
2
B
．
4
C
．
6
D
．
8
【解答】
解：杨辉三角形中，每一行的第一个数和 最后一个数都是
1
，首尾之间
的数总是上一行对应的两个数的和，
∴
a=3
+
3=6
；
故选
C
．
6
．
已知正项等 比数列
{
a
n
}
满足：
a
7
=a
6
+
2a
5
，
若存在两项
a
m
，
a
n
，
使得
8
=4a
1
，
则
+
A
．
的最小值为（
）
B
．
C
．
D
．
【解答】
解：设正项等比数列
{
a
n
}
的公比为< br>q
，且
q
＞
0
，
由
a
7
=a
6
+
2a
5
得：
a
6
q=a
6
+
，
化简得，
q
2
﹣
q﹣
2=0
，解得
q=2
或
q=
﹣
1
（ 舍去）
，
因为
a
m
a
n
=16a
1
2
，所（
a
1
q
m
﹣
1
）< br>（
a
1
q
n
﹣
1
）
=16a
1
2
，
则
q
m
n
2
=16< br>，解得
m
+
n=6
，
+
﹣
+=
=
×（
m
+
n
）×（
+
，
）
=
×（
17
+
+
）≥
×（
17
+
2
）
当且仅当
=
，解得：
m=
，
n=
，
＞
，
因为
m n
取整数，所 以均值不等式等号条件取不到，
+
验证可得，当
m=1
、
n=5时，取最小值为
故答案选：
B
．
7
．已知
．
，把数列
{
a
n
}
的各项排列成如图的三角形状，记
A
（
m
，
n
）表
示第
m
行的第
n
个数，则
A
（
10
，
12
）
=
（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
【解答】
解：由
A
（
m
，
n
）表示第
m
行的第
n
个数可知，
A
（< br>10
，
12
）表示第
10
行的第
12
个数，
根据图形可知：
①每一行的最后一个项的项数为行数的平方，所以第10
行的最后一个项的项数
为
10
2
=100
，即为< br>a
100
；
9
②每一行都有
2n
﹣
1
个项，
所以第
10
行有
2
×< br>10
﹣
1=19
项，
得到第
10
行第一个
项 为
100
﹣
19
+
1=82
，所以第
12
项的项数为
82
+
12
﹣
1=93
；
所 以
A
（
10
，
12
）
=a
93
=
故选
A
．
8
．设等差数列
{
a
n
}
满足
=1
，
公差
d< br>∈（﹣
1
，
0
）
，若当且仅当
n=9
时，数 列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n取得最大值，
则首项
a
1
的取值范围是（
）
A
．
（
π
，
）
B
．
[
π
，
]
C
．
[
，
]
D
．
（
，
）
【解答】
解：∵
=
=
=
=
=
=
﹣
=
﹣
sin
（
4d
）
，
∴
sin
（
4d
）
=
﹣
1
，
∵
d
∈（﹣1
，
0
）
，∴
4d
∈（﹣
4
，
0
）
，
∴
4d=
﹣
，
d=
﹣
，
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