(完整版)等差数列练习题有答案
萌到你眼炸
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2021年01月29日 00:08
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学生手册家长评语-爱国主义主题班会
数列
A
、等差数列知识点及例题
一、数列
< br>由
a
n
与
S
n
的关系求
a
n
由
S
n
求
a
n
时，要分
n=1
和
n
≥
2
两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不 能，则用分段函数的
形式表示为
a
S
1
n
(
n
1)
。
S
n< br>
S
n
1
(
n
2)
〖 例〗
根据下列条件，确定数列
a
n
的通项公式。
分析：
（
1
）可用构造等比数列法求解；
（
2
）可转化后利用累乘法求解；
（
3
）将无理 问题有理化，而后利用
a
n
与
S
n
的关系求解。
解答：
（
1
）
（
2
）
…
…
累
故
（
3
）
1
乘
可
得
，
二、等差数列及其前
n
项和
（一）等差数列的判定
1
、等差数列的判定通常有两种方法：
第一种是利用定义，
an
a
n
1
d
(
常数< br>)(
n
2)
，第二种是利用等差中项，即
2
an
a
n
1
a
n
1
(
n
2)
。
2
、解选择题、填空题时，亦可用通项或前
n
项和直接判断。
（
1
）通项法：若数列
{
a
n
}
的通项公式为
n
的一次函数，即
a
n
=An+B,
则
{
a
n
}
是等差数列；
2
（
2
）前
n
项和法：若数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
是
S
n
An
Bn
的形式（
A
，
B
是常数），则
{
a
n
}
是等差数列。
注：
若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
< br>〖例〗
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项 和为
S
n
，且满足
S
n
S
n
1
2
S
n
g
S
n
1
0(
n
2),
a
1
（1
）求证：
{
1
2
1
}
是等差数列；
S
n
（
2
）求
a
n
的表达式。
分析：
（
1
）
S
n
S
n
1
2
S
n
g
S
n
1
0
1
1
与
的关系
结论 ；
S
n
S
n
1
（
2
）由
1
的关系式
S
n
的关系式
an
S
n
1
1
1
1
1
11
-
+2=0
，
即
-
=2
（
n
≥
2
）
.
∴
{
}
是以
=
=2< br>为首项，
S
n
1
S
n
S
n
S
n
1
S
n
S
1
a
1
解答：
（
1
）
等式两边同除以
S
n
g
S
n
1
得
以
2
为公差的等差数列。
（
2
）由（
1
）知
1
1
1
1
=
+
（
n-1
）
d=2+(n-1)
×
2=2n,
∴
S
n
=
,
当
n
≥
2
时 ，
a
n
=2
S
n
·
S
n
1
=
。又∵
S
n
S
1
2
n
(< br>n
1)
2
n
2
1
1
2
a
1
，不适合上式，故
an
1
2
2
n(
n
1)
(
n
1)
。
(
n
2)
【例】
已知数列
{
a
n
}
的各项均为正数，
a
1
＝
1.
其前
n
项和
S
n
满足
2
S
n
＝
2
pa
2
n
＋
a
n
－
p
(
p∈
R)
，则
{
a
n
}
的通项公式为
_ _______
．
∵
a
1
＝
1
，
∴
2
a
1
＝
2
pa
2
1
＋a
1
－
p
，
即
2
＝
2p
＋
1
－
p
，得
p
＝
1.
于是
2
S
n
＝
2
a
2
n
＋
a
n
－
1.
2
2
当
n
≥
2< br>时，有
2
S
n
－
1
＝
2
a
2
(
a
n
－
a
n
－
1
n
－
1
＋
a
n
－
1
－
1
，两式相减 ，得
2
a
n
＝
2
a
n
－
2
a
n
－
1
＋
a
n
－
a
n
－
1
，整理，得
2(
a
n
＋
a
n
－
1
)·
1
－
)
＝
0.
2
1
1
n
＋
1
又
∵
a
n
>0
，
∴
a
n
－
a
n
－
1
＝
，于是
{
a
n
}
是等差数列，故
a
n
＝< br>1
＋
(
n
－
1)·
＝
.
2
2
2
（二）等差数列的基本运算
1
、
等差数列的通项公式
a
n
=
a
1
+
（< br>n-1
）
d
及前
n
项和公式
S
n
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1)
共涉及五个量
a
1
，
na
1
d
，
2
2
a
n
，
d,n,
S
n
,
“知三求二”，体现了用
方程的思想
解 决问题；
2
、数列的通项公式和前
n
项和公式在解题中起到变量代 换作用，而
a
1
和
d
是等差数列的两个基本量，用它们
表示 已知和未知是常用方法。
注：
因为
S
n
d
Sd
d
n
a
1
a1
(
n
1)
，故数列
{
n
}
是等差数列。
n
2
2
2
n
n
〖例〗
已知数列
{
x
n
}
的首项
x< br>1
=3
，通项
x
n
2
p
nq
(
n
N
,
p
,
q
为常数
)
，且
x
1
，
x
4
，
x
5
成等差数列。求：
（
1
）
p
,
q
的值；
（
2
）数列
{
x
n
}
的前
n
项和
S
n
的公式。
分析：
（
1
）由
x
1
=3
与
x
1
，
x
4
，
x5
成等差数列列出方程组即可求出
p
,
q
；（
2
）通过
x
n
利用条件分成两个可求
和的数列分别求和。
解答
：（
1
）由
x
1
=3
得
2
p
q
3
……………………………………①
4< br>5
又
x
4
2
p
4
q< br>,
x
5
2
p
5
q
,< br>且
x
1
x
5
2
x
4< br>，得
3
2
p
5
q
2
p
8
q
…………………②
5
5
3
由①②联立得
p
1,
q
1
。
n
n
（
2
）由（
1
）得
xn
2
，
（三）等差数列的性质
1
、等差数列的单调性：
等差数列公差为
d
，若
d>0,
则数列递增；若
d<0,
则数列递减；若
d=0,
则数列为 常数列。
★
2
、等差数列的简单性质：
已知数列
{
a
n
}
是等差数列，
S
n
是其前
n< br>项和。
（
1
）若
m+n=p+q,
则
a< br>m
a
n
a
p
a
q< br>,
特别：若
m+n=2p
，则
a
m
an
2
a
p
。
（
2
）a
m
,
a
m
k
,
a
m
2
k
,
a
m
3
k
,L
仍是等差数列，公差为
kd;
（
3
）数列
S
m
,
S
2
m
-
S
m
,
S
3
m
-
S
2
m
,
L
也是等差数列；
（
4
）
S
n
1
(2< br>n
1)
a
n
；
（
5
） 若
n
为偶数，则
S
偶
S
奇
n
（中间项）
；
d
；若
n
为奇数，则
S
偶
S
奇
a
中
2
（
6
）数列
{
c
g
a
n
}
,
{
c
+
a
n
}
,
{
pa
n
+
qb
n
}< br>也是等差数列，其中
c
、
p
、
q
均为常数，是
{
b
n
}
等差数列。
典型例题
1
．等差数列
a
n
中
,
若
S
n
25
,
S
2
n
100
，则
S
3
n
＝
_____225___< br>；
2.
（厦门）在等差数列
a
n
中，
a
2
a
8
4
,
则
其前
9
项的和
S
9
等于
（
A
）
A
．
18 B 27 C 36 D 9
3
、
（全国卷Ⅰ理）
< br>设等差数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
，若
S
9
72
,
则
a2
a
4
a
9
= 24
4
、
等差数列
{a
n
}
的前
m
项和为
30
，前
2m
项和为
100
，则它的前
3m
项和为
(
C
)
(A)130
(B)170
(C)210
(D)160
5.(
湖北卷
)
已知两个等差数列
{
a
n
}
和
{
b
n
}
的前
n项和分别为
A
n
和
B
n
，
且
数
n
的个数是（
D
）
A
．
2 B
．
3 C
．
4 D
．
5
A
n
7
n
45
a
，
则使得
n
为整数的正整
B
n
n
3
b
n
4
6
、在数列
{
a< br>n
}
中，若
a
1
＝
1
，
a
n
＋
1
＝
2
a
n
＋
3(
n
≥
1)
，则该数列的通项
a
n
＝
________.
由
a
n
＋
1
＝
2
a
n
＋
3
，则有
a
n
＋
1
＋
3
＝
2(
a
n
＋
3)
，
即
a
n
＋
1
＋
3
＝
2.
a
n
＋
3
所以数列
{
a
n
＋
3 }
是以
a
1
＋
3
为首项、公比为
2
的等比 数列，即
a
n
＋
3
＝
4·
2
n
1
＝
2
n
1
，所以
a
n
＝
2
n
1
－
3.
1
7
、已知方程
(
x2
－
2
x
＋
m
)(
x
2
－< br>2
x
＋
n
)
＝
0
的四个根组成一个首项为< br>的等差数列，则
|
m
－
n
|
的值等于
___ _____
．
4
－
＋
＋
如图所示，< br>易知抛物线
y
＝
x
2
－
2
x
＋m
与
y
＝
x
2
－
2
x
＋n
有相同的对称轴
x
＝
1
，
它们与
x
轴的四个交点依次为
A
、
B
、
C
、
D
.
1
7
因为
x
A
＝
，则
x
D
＝
.
4
4
3
5
又
|
AB
|
＝
|
BC
|
＝
|
CD
|
，所以
x
B
＝
，
x
C
＝
.
4
4
1
7
3
5
1
故
|
m
－
n
|
＝
|
×
－
×
|
＝
.
4
4
4
4
2
8
、
在等差数列< br>{
a
n
}
中，
a
1
＝－
3,11< br>a
5
＝
5
a
8
－
13
，则数列{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
的 最小值为
________
．
设公差为
d
，则
1 1(
－
3
＋
4
d
)
＝
5(
－3
＋
7
d
)
－
13
，
5
∴
d
＝
.
9
∴
数列
{
a
n
}
为递增数列．
5
32
令
a
n
≤
0
，
∴
－
3
＋
(
n
－
1)·
≤
0
，∴
n
≤
，
9
5
∵
n
∈
N
*
.
∴
前
6
项均为负值，
∴
S
n
的最小值为
S
6
＝－
5
29
.
3
6.
若 两个等差数列
a
n
和
b
n
的前
n
项和分别为
S
n
和
T
n
，且满足
7
．
（北京卷）
（
16
）
（本小题共13
分）
已知
|
a
n
|
为等差数列 ，且
a
3
6
，
a
6
0
。
（Ⅰ）求
|
a
n
|
的通项公式；
Sn
7
n
3
，则
a
8
6 .
T
n
n
3
b8
（Ⅱ）若等差数列
|
b
n
|
满足
b
1
8
，
b
2
a
1
a
2
a
3
，求
|
b
n
|
的前
n
项和公式
解：
（Ⅰ）设等差数列
{< br>a
n
}
的公差
d
。
< br>因为
a
3
6,
a
6
0
所以
a
1
2
d
6
解得
a
1
10,
d
2
a
< br>5
d
0
1
所以
a
n
10
(
n
1)
2
2
n
12
（Ⅱ）设等比数列
{
b
n
}
的公比为
q
因为
b
2
a
1
< br>a
2
a
3
24,
b
8
所以
8
q
24
即
q
=3
b
1
(1
q
n)
4(1
3
n
)
所以
{
b
n
}
的前
n
项和公式为
S
n
1
q
★等差数列的最值：
若
{
a< br>n
}
是等差数列，求前
n
项和的最值时，
（
1
）若
a
1
>0,d>0,
且满足
a
n
0
，前
n
项和
S
n
最大；
a
n
1
0
a
n
0
（
2
）若
a
1
<0,d> 0
，且满足
，前
n
项和
S
n
最小；
a
0
n
1
（
3）
除上面方法外，
还可将
{
a
n
}
的前
n
项和的最值问题看作
S
n
关于
n
的二次函数最值问题，
利用二次函数的
图象或配方法求解，注意
n
N
。
〖例〗在等差数列
{
a
n
}
中，
a
16< br>
a
17
a
18
a
9
36
，其前
n
项和为
S
n
。
（
1
）求
S
n
的最小值，并求出
S
n取最小值时
n
的值；
（
2
）求
T
n
a
1
a
2
L
a
n
。
6