数列解答题练习答案
余年寄山水
785次浏览
2021年01月29日 00:12
最佳经验
本文由作者推荐
中国民俗文化论文-教训作文
13-14
学年度上学期高三理数综合练习
高三理科数学寒假作业
数列答案
1
.
在等差数 列
{
a
n
}
中，
a
3
＋
a
4
＋
a
5
＝
84
，
a
9
＝73.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
< br>(2)
对任意
m
∈
N
*
，将数列
{
a
n
}
中落入区间
(9
m,
9
2
m
)
内的项的个数记为
b
m
，求
数列
{
b
m
}
的前
m
项和
S
m
.
解
(1)
因为
{
a
n
}
是一个等差数列，
所以
a
3
＋
a
4
＋
a
5
＝
3
a
4
＝
84
，即
a
4
＝28.
设数列
{
a
n
}
的公差为
d
，则
5
d
＝
a
9
－
a
4
＝
73
－
28
＝
45
，故
d
＝
9. 由
a
4
＝
a
1
＋
3
d
得28
＝
a
1
＋
3
×
9
，即
a
1
＝
1.
所以
a
n
＝
a
1＋
(
n
－
1)
d
＝
1
＋
9(
n
－
1)
＝
9
n
－
8(
n
∈
N
*
)
．
(2)
对
m
∈< br>N
*
，若
9
m
＜
a
n
＜
9
2
m
，
则
9
m
＋
8
＜
9
n
＜
9
2
m
＋
8
，因此
9
m
－
1
＋
1
≤
n
≤
9
2
m
－
1
，
故得
b
m
＝9
2
m
－
1
－
9
m
－
1.
于是
S
m
＝
b
1
＋
b
2
＋
b
3
＋…＋
b
m
＝
(9＋
9
3
＋…＋
9
2
m
－
1
)
－
(1
＋
9
＋…＋
9
m
－
1)
9
×
1
－
81
m
1
－
9
m
＝
－
1
－
81
1
－
9
9
2
m
＋
1
－
10
×
9
m
＋
1
＝
.
80
2< br>．已知两个等比数列
{
a
n
}
，
{
b
n
}
，满足
a
1
＝
a
(
a
＞< br>0)
，
b
1
－
a
1
＝
1
，
b
2
－
a
2
＝
2
，
b
3
－
a
3
＝
3.
(1)
若
a
＝< br>1
，求数列
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
若数列
{
a
n
}
唯一，求
a
的值 ．
解
(1)
设数列
{
a
n
}
的公比为
q
，则
b
1
＝
1
＋
a< br>＝
2
，
b
2
＝
2
＋
aq
＝
2
＋
q
，
b
3
＝
3
＋
a q
2
＝
3
＋
q
2
，由
b
1
，
b
2
，
b
3
成等比数列得
(2
＋q
)
2
＝
2(3
＋
q
2
)
．
即
q
2
－
4
q
＋
2
＝
0
，解得
q
1
＝
2
＋
2
，
q
2
＝
2
－
2.
所以数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
＝
(2
＋
2)< br>n
－
1
或
a
n
＝
(2
－
2 )
n
－
1
.
(2)
设数列
{
a
n
}
的公比为
q
，则由
(2
＋
aq
)2
＝
(1
＋
a
)(3
＋
aq
2
)
，得
aq
2
－
4
aq
＋
3
a
－
1
＝
0(*)
，
由
a
＞0
得
Δ
＝
4
a
2
＋
4
a＞
0
，故方程
(*)
有两个不同的实根．
由数列{
a
n
}
唯一，知方程
(*)
必有一根为
0< br>，
1
代入
(*)
得
a
＝
3
.
3< br>.
在等比数列
{
a
n
}
中，
a
2< br>＝
6
，
a
3
＝
18
，
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
1
(2)
若数列
{
b
n
}
满 足：
b
n
＝
a
n
＋
(
－
1)n
ln
a
n
，求数列
{
b
n
}的前
n
项和
S
n
.
解
(1)
由
a
2
＝
6
，
a
3
＝
18
，得公比
q
＝
3
，
因此
a
1
＝
2
，
故
a
n
＝
2·
3
n
－
1
.
(2)
因 为
b
n
＝
a
n
＋
(
－
1)
n
ln
a
n
＝
2·
3
n
－
1
＋
(
－
1)
n
ln(2·
3
n
－
1
)
＝
2·
3
n
－
1
＋
(
－
1)
n
[ln 2
＋
(
n
－
1)ln 3]
＝
2·
3< br>n
－
1
＋
(
－
1)
n
(ln 2
－
ln 3)
＋
(
－
1)
n
n
ln 3
，
所以
S
n
＝
2(1
＋
3
＋…＋
3
n
－
1
)
＋
[
－
1
＋
1
－
1
＋…＋
(
－
1)
n
]·
(l n
2
－
ln
3)
＋
[
－
1
＋
2
－
3
＋…＋
(
－
1)
n
n]ln 3.
所以当
n
为偶数时，
1
－
3
n
n
n
S
n
＝
2
×
＋
2
ln 3
＝
3
n
＋
2
ln 3
－
1
；
1
－
3
当
n
为奇数时，
1
－< br>3
n
n
－
1
S
n
＝< br>2
×
－
(ln 2
－
ln 3)
＋
ln 3
－
n
·
1
－
3
2
n
n
－
1
＝
3
－
2
ln 3
－
ln 2
－
1.
n
n
3
＋
2
ln 3
－1
，
n
为偶数，
综上所述，
S
n
＝
n
－
1
n
3
－
2
ln 3
－
ln 2
－
1
，
n
为奇数
.
a
n＋
a
n
＋
1
4
.
已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
＝
1
，
a
2
＝
2
，
a
n
＋
2
＝
2
，
n
∈
N
*
.
(1)
令
b
n
＝
a
n
＋
1
－
a
n
，证明：{
b
n
}
是等比数列；
(2)
求
{
a
n
}
的通项公式．
(1)
证明
b
1
＝
a
2
－a
1
＝
1.
a
n
－
1
＋
a
n
1
1
当
n
≥
2
时，
b
n
＝
a
n
＋
1
－
a
n
＝
2
－
a
n
＝－
2
(
a
n
－
a
n
－
1
)
＝－
2
b
n
－1
，∴
{
b
n
}
1
是以
1
为 首项，－
2
为公比的等比数列．
1
n
－
1
(2)
解
由
(1)
知
b
n
＝
a
n
＋
1< br>－
a
n
＝
－
2
，
< br>
1
当
n
≥
2
时，
a
n
＝
a
1
＋
(
a
2
－
a
1
)
＋
(
a
3
－
a
2
)
＋…＋
(
a
n
－
a
n
－
1
)
＝
1
＋
1
＋
－
2
＋…
1
＋
－2
n
－
2
2
< br>
1
n
－
1
1
－
－< br>2
2
1
< br>
1
－
－
2
n
－
1< br>
＝
1
＋
＝
1
＋
3
< br>
1
1
－
－< br>2
5
2
1
＝< br>3
－
3
－
2
n
－
1< br>.
5
2
1
1
－
1
当
n
＝
1
时，
3
－
3
－
2
＝
1
＝
a
1
，
5
2
1
n
－
1
∴
a
n
＝
3
－
3
－
2
(
n
∈
N
*
)
．
5
.
设数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
.
已知
a
1
＝
a
(
a
≠
3)
，
a
n
＋
1
＝
S
n
＋
3
n
，
n
∈
N
*
.
(1)
设
b
n
＝
S
n
－
3
n
，求数列
{
b
n
}的通项公式；
(2)
若
a
n
＋
1
≥
a
n
，
n
∈
N
*
，求
a
的取值范围．
解
(1)
依题意，
S
n
＋
1
－
S
n
＝
a
n
＋
1
＝
S
n
＋
3
n
，
即
S
n
＋
1
＝
2
S
n
＋
3
n
，由此得
S
n
＋
1
－
3
n
＋
1< br>＝
2(
S
n
－
3
n
)
，
又
S
1
－
3
1
＝
a
－
3 (
a
≠
3)
，故数列
{
S
n
－
3
n
}
是首项为
a
－
3
，公比为
2
的等比数
列，
因此，所求通项公式为
b
n
＝
S< br>n
－
3
n
＝
(
a
－
3)2
n
－
1
，
n
∈
N
*
.
(2)< br>由
(1)
知
S
n
＝
3
n
＋
(
a
－
3)2
n
－
1
，
n
∈N
*
，
于是，当
n
≥
2
时，
a
n
＝
S
n
－
S
n
－
1
＝
3
n
＋
(
a
－
3)2
n
－< br>1
－
3
n
－
1
－
(
a
－< br>3)2
n
－
2
＝
2
×
3
n
－
1
＋
(
a
－
3)2
n
－
2，
当
n
＝
1
时，
a
1
＝< br>a
不适合上式，
a
，
n
＝
1< br>，
故
a
n
＝
n
－
1< br>n
－
2
2
×
3
＋
a< br>－
3
2
，
n
≥
2.
a
n
＋
1
－
a
n
＝
4
×
3
n
－
1
＋
(
a
－
3)2
n
－
2
3
n
－
2
2
＋
a
－
3
，
＝
2
n
－
2
12·
< br>
3
n
－
2
2
< br>＋
a
－
3
≥
0
⇔
a
≥－
9 .
当
n
≥
2
时，
a
n
＋
1≥
a
n
⇔
12·
又
a
2
＝
a
1
＋
3>
a
1
.
综上，所 求的
a
的取值范围是
[
－
9
，＋∞
)
．< br>
(
二
)
数列综合问题
（数列与函数、不等式等知识的综合问题）
3
1
16
.
在数列
{
a
n
}
中，
a
1
＝
5
，
a
n
＝
2
－
(
n
≥
2
，
n
∈
N
*
)
，数列{
b
n
}
满足
b
n
＝
a
n< br>－
1
a
n
－
1
(
n
∈
N< br>*
)
．
(1)
求证：数列
{
b
n
}
是等差数列；
(2)
求数列
{
a
n
}
中的最大项和最小项，并说 明理由．
3
(1)
证明
∵a
n
＝
2
－
1
a
n
－
1(
n
≥
2
，
n
∈
N
*
)，
b
n
＝
1
.
a
n
－
1< br>1
1
∴
n
≥
2
时，
b
n
－
b
n
－
1
＝
－
a
n
－
1
a
n
－
1
－
1
a
n
－
1
1
1
1
＝
－
＝
－
＝
1 .
1
a
n
－
1
－
1
a
n
－
1
－
1
a
n
－
1
－
1
2
－
a
－
1
n
－
1
1
5
又
b
1
＝
＝－
2
.
a
1
－
1
5
∴数列
{
b
n
}
是以－
为首项，
1
为公差的等差数列．< br>
2
7
1
2
(2)
解
由
(1)
知，
b
n
＝
n
－
2
，则
a
n
＝
1
＋
b
＝
1
＋
，
2
n
－
7
n
2
设函数
f
(
x
)
＝
1
＋
，
2
x
－
7
7
7
易知
f
(x
)
在区间
－∞，
2
和
2
，＋∞
内均为减函数．
∴结合函数
f
(
x
)
的图象可得，当
n
＝
3
时，
a
n
取得最小值－
1
；当
n
＝
4
时，
a
n
取得最大值
3.
7< br>．将数列
{
a
n
}
中的所有项按每一行比上一行多两项的规则 排成如下数表：
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
a
9
…
已知表中的第一列数
a
1，
a
2
，
a
5
，…构成一个等差数列，记为
{
b
n
}
，且
b
2
＝
4
，
b
5
＝
10.
表中每一行正中间一个数
a
1
，a
3
，
a
7
，…构成数列
{
c
n}
，其前
n
项和为
S
n
.
(1)
求数列
{
b
n
}
的通项公式；
< br>(2)
若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数
列，公比为 同一个正数，且
a
13
＝
1.
①求
S
n
；
②记
M
＝
{
n
|(
n
＋
1)
c
n
≥
λ
，< br>n
∈
N
*
}
，若集合
M
的元素个数为
3
，求实数
λ
的
取值范围．
解
(1 )
设等差数列
{
b
n
}
的公差为
d
，
b
1
＋
d
＝
4
，
b
1
＝
2
，
则
解得
< br>
b
1
＋
4
d
＝
10
，
d
＝
2
，
所以
b
n
＝
2
n
.
(2)
①设每一行组成的等比数列的公比为
q
.
4
由于前
n
行共有
1
＋
3
＋
5
＋…＋
(2
n
－
1)
＝
n< br>2
个数，
且
3
2
<13<4
2
，
a
10
＝
b
4
＝
8
，
1
所以
a
13
＝
a
10
q
3
＝
8< br>q
3
，又
a
13
＝
1
，所以解得
q
＝
2
.
n
1
n
－
1
n
－
1
2
＝
n
－
2
.
由已知可得
c
n
＝
b
n
q
，因此
c
n
＝
2
n
·
21
2
3
n
所以
S
n
＝
c
1< br>＋
c
2
＋
c
3
＋…＋
c
n
＝
－
1
＋
2
0
＋
2
1
＋…＋n
－
2
，
2
2
n
－
11
1
2
n
S
＝
＋
＋…＋
＋
，
0
1
－
2
n
2
2
2
n
2
2
n
－
1
n
＋
2
1
1
1
1
1
n
1
n
因此
2
S
n
＝
－
1
＋
2
0
＋
2
1
＋…＋
n
－
2
－
n
－
1
＝
4－
n
－
2
－
n
－
1
＝
4－
n
－
1
，
2
2
2
22
2
n
＋
2
解得
S
n
＝
8< br>－
n
－
2
.
2
n
n
＋
1
n
②由①知
c
n
＝
n
－2
，不等式
(
n
＋
1)
c
n
≥
λ
，可化为
n
－
2
≥
λ
.
2
2
n
n
＋
1
设
f
(
n
)
＝
n
－
2
，
2
15
计算得
f
(1)
＝
4
，
f
(2)
＝f
(3)
＝
6
，
f
(4)
＝
5
，
f
(5)
＝
4
.
n
＋
1
2
－
n
因为
f
(
n
＋
1)
－
f
(
n
)
＝
，
2
n
－
1
所以当
n
≥
3
时，
f
(
n
＋
1)<
f
(
n
)
．
因为集合
M
的元素个数为
3
，所以
λ
的取值 范围是
(4,5].
8
.
已知正数数列
{
a
n< br>}
的前
n
项和为
S
n
，满足
a
2< br>n
＝
S
n
＋
S
n
－
1
(< br>n
≥
2)
，
a
1
＝
1.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
< br>(2)
设
b
n
＝
(1
－
a
n
)
2
－
a
(1
－
a
n
)
，若< br>b
n
＋
1
>
b
n
对任意
n
∈
N
*
恒成立，求实数
a
的
取值范围．
解
(1)
因为
a
2
n
＝
Sn
＋
S
n
－
1
(
n
≥
2)< br>，
2
所以
a
n
－
1
＝
S
n
－
1
＋
S
n
－
2
(
n
≥
3)
，
2
两式相减得
a
n
－
a
2
n
－
1
＝
S
n
－
S
n
－
2
＝
a
n
＋
a
n
－
1
，
所以
a
n
－
a
n
－
1
＝
1(
n
≥
3)
．
2又
a
2
＝
S
2
＋
S
1
，且< br>a
1
＝
1
，得
a
2
2
－
a
2
－
2
＝
0
，
由
a
2
>0
，得
a
2
＝
2
，所以
a
n< br>－
a
n
－
1
＝
1(
n
≥
2 )
．所以
a
n
＝
n
.
(2)
法一
b
n
＝
(1
－
n< br>)
2
－
a
(1
－
n
)
＝
n
2
＋
(
a
－
2)
n
＋
1
－
a
，
令
g
(
t
)
＝
t
2
＋
(
a
－
2)
t
＋
1
－
a
，
2
－
a
3
当
2
<
2
时，即
a
>
－
1
时，
g
(
t
)
在
[2
，＋∞
)
上为增函数，且
g< br>(1)<
g
(2)
，所
以
b
1
<
b
2
<
b
3
<
…；
5