数列求和(基础+复习+习题+练习)
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2021年01月29日 00:14
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数列求和
(
基础
+
复习
+
习题
+
练
习
)
课题：数列求和
考纲要求：
掌握等差、等比数列的求和公式及其应用；掌
握常见的数列求和 方法（公式法、倒序相加、
错位相减，分组求和、拆项、裂项求和等求和
方法）
.
教材复习
1.
基
本
公
式
法
：< br>
1
等
差
数
列
求
和
公< br>式
：
S
1
n
n
n
a< br>
a
n
2
na
1
n
1
2
d
n a
1
,
q
1
2
等比数列求 和公式：
S
n
a
1
< br>1
q
n
a
1
a< br>n
q
1
q
1
< br>q
,
q
1
3
1
2< br>
2
2
L
n
2
1< br>6
n
n
1
2
n
1
；
4
1
3
2
3
3
3
L
n
3
1
4
n
n
1
2
5
C
0
1
n
C
n
C
2
n
L
C
n
n
2
n
.
2.
错位相消法：
给
S
n
a
1
a
2
L
a
n
各边同乘以一个适
当的数或式，然后 把所得的等式和原等式相
减，对应项相互抵消，最后得出前
n
项和
S
n
.
夫学须静也，才须学也，非学无以广才，
301
非志无以成学
.
——诸葛亮
；
一般适应于数列
a
b
的前
n
向求和，
其中
a
成
n
n
n
等差数列，
b
成等比数列。
n
3 .
分组求和：
把一个数列分成几个可以直接求和
的数列，然后利用公式法求和。
4.
拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分
成两项差的形式，相加过程中消 去中间项，只
剩下有限项再求和
.
常见的拆项公式有：
则
1
若
a
n
是公差为
d
的等差数列，
2
1
1
1
2
n
1
2
n
1
2
2
n
1
2
n
1
1
1
1
1
1
a
n
a
n
1
d
a
n
a
n
1
；
；
；
1
1
1
1
3
n
n
1
n
2
2
n
n
1
n
1
n
2
4
1
1
a
b
a
b
a
b
；
5
1
1
n
k
n
k
n
1
n
；
n
1
6
C
n
m
1
C
n
m
1
C
n
m；
7
n
n
!
n
1
!
n
!
；
8
a
n
S
1
S
n
S
,
n
1
,
n≥
2
302
夫学须静也，才须学也，非学无以广才，
非志无以成学
.
——诸葛亮
5.
倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写
后与原数列相加，以达到求和的目的。
6
导数法：灵活利用求导法则有时也可以完成数
列求和问题的解答
.
7.
递推法
.
8.
奇偶分析法
.
典例分析：
考点一
利用公式、等差等比数列的性质 求和
问题
1
．
1
等比数列
1,
2,
2
2
,
2
3
，
…，
求
a< br>5
a
6
a
7
a
8< br>
a
9
a
10
的
值；
2
等差数列
a
n
的前
n
项和为
18
，前
2
n
项和为
28
，求前
3
n
项和
.
303
夫学须静也，才须学也，非学无以广才，
非志无以成学
.
——诸葛亮
考点二
倒序相加法求和
问题
2
．
求下列数列前
n
项和：
1
sin
2
89
sin
2
1
sin
2
2
sin
2
3
…
；
1
2
n
；
5
C
n
L
2
n
1
C
n
2
C
n
0
3
C
n
问题
3
．
设
x
2
f
(
x
)
1
x
2
，
求：
1
1
1
f
(
1
4
)
f
(
3
)
f
(
2
)
f
(
2
)
f
(
3
)
f
(
4
)
；
304
夫学须静也，才须学也，非学无以广才，
非志无以成学
.
——诸葛亮
2
< br>1
1
1
f
(
2010
)
f
(
2009
)
f
(
1
3
)
f
(
2
)
f
(
2
)
f
(
2009
)
f
(
2010
).
考点三
分组转化法求和
问题
4
．
1
求数列
1
1
，
2
2
1
4
1
，
3
1
，
4
，…的前
n
项和
.
8
16
2
求数列
(
2
n
1
)
2
的前
n
项和
S
n
.
305
夫学须静也，才须学也，非学无以广才，
非志无以成学
.
——诸葛亮
考点四
错位相减法求和
问题
5
．
07
a
n
1
2
S
n
(
n
N*
)
a
n
n
T
n
（福建文）
“数列
a
的前
n
项和为
S
，
a
1
，
．
（Ⅰ）求数列
的通项
a
；
（Ⅱ）求数列
na
的
前
项和
．
n
n
1
n
n
考点五
裂项相消法求和
问题
6
．
求和：
1
11
1
1
22
3
3
4
n
(
n
1
)
问题
7
．
(
06
湖北
)
已知二次函数
y
f
(
x
)
的图像经过 坐
306
夫学须静也，才须学也，非学无以广才，
非志无以成学
.
——诸葛亮