讶的组词-民间借贷合同

2021年1月29日发(作者：初中化学实验探究)
名师精编



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数列通项公式

奇数项偶数项

分段的类型

































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例
76
数列
{
a
n
}
的首项
a
1
＝
1
，且对任意
n
∈
N
，
a
n
与
a
n
＋
1
恰为方程
x
2
－
b
n
x
＋
2
n
＝
0
的两
个根
.
(
Ⅰ
)
求数列
{
a
n
}
和数列
{
b
n
}
的通项公 式；

(
Ⅱ
)
求数列
{
b
n
}< br>的前
n
项和
S
n
.
解：
(
Ⅰ)
由题意
n
∈
N
*
，
a
n
·
a
n
＋
1
＝
2
n

＋
a
n
＋
1
·
a
n
＋
2
a
n
＋
2
2
n
1
∴
＝
＝
n
＝
2'(1
分
)
a
n
2
a
n
·< br>a
n
＋
1
又∵
a
1
·
a
2
＝
2'
a
1
＝
1'
a
2
＝
2
∴
a
1
，
a
3
，…，
a
2
n
－
1
是前项为
a
1
＝
1
公比为
2
的等比数列，

a
2
，
a
4
， …，
a
2
n
是前项为
a
2
＝
2
公 比为
2
的等比数列


－
∴
a
2
n
－
1
＝
2
n
1
'
a
2
n
＝
2
n
'
n
∈
N
*


n

1


2
即
a
n
＝

2
，
n
为奇数

n


2
，
n
为偶数< br>又∵
b
n
＝
a
n
＋
a
n
＋
1

n
－
1
n
＋
1
n
－
1
当
n
为奇数时，
b
n
＝
2
＋< br>2
＝
3·
2

2
2
2
n
n
n
当
n
为偶数时，
b
n
＝
2
＋< br>2
＝
2·
2

2
2
2
n

1


3

2
2
，
n
为 奇数
∴
b
n
＝

1

n

2


2
，
n
为偶数
(
Ⅱ
)< br>S
n
＝
b
1
＋
b
2
＋
b< br>3
＋…＋
b
n

当
n
为偶数时，

S
n
＝
(
b
1
＋
b
3
＋ …＋
b
n
－
1
)
＋
(
b
2
＋
b
4
＋…＋
b
n
)
n
n
3
－
3·
2
4
－
4·
2
2
2
n
＝
＋
＝
7·
2
－
7

( < br>2
1
－
2
1
－
2
当
n
为奇 数时，

S
n
＝
b
1
＋
b
2＋…＋
b
n
－
1
＋
b
n

n
－
1
＝
S
n
－
1
＋
b
n
＝
10·
2
－
7

(
2
n
1


10

2
2

7< br>，
n
为奇数
S
n
＝


n
2


7

2

7
，
n
为偶数

例
77
数列
{
a
n
}
的通项
a
n

n
(cos
(1)
求
S
n
;
2
2
n
n


sin
2
)
，其前
n
项和为
S
n
.
3
3
S
3
n
,
求数列｛
b
n
｝的前
n
项和
T
n
.
n
n

4
n

2
n
2
n


sin
2

cos
解
: (1)
由于
cos
,
故

3
3
3
(2)
b
n

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S
3
k

(a
1

a
2

a
3
)
(
a
4

a
5

a
6
)
1
2

2
2
4
2

52
2

(


3
)

(

6
2
)

2
2

18< br>k

5
k
(9
k

4)

,
2
2
k
(4

9
k
)
S3
k

1

S
3
k

a3
k

,

2

13
31


2
2

(
a
3
k

2

a
3
k

1

a
3
k
)

(3
k

2)
2

(3k

1)
2
2

(


(3
k
)
))
2
S
3
k

2
k
(4

9
k
)
(3
k

1)< br>2
1
3
k

2
1

S
3< br>k

1

a
3
k

1
< br>


k



,

2< br>2
2
3
6
n
1



,< br>n

3
k

2

3
6
< br>
(
n

1)(1

3
n
)
,
n

3
k

1
(
k

N
*
)
故

S
n

6


n
(3
n

4)
,
n

3
k

6

(2) b
n

S
3
n
9
n

4
,

n
n
n

4
2
4
1
13
22
9
n

4
T
n

[

2


],


2
4
4
4
n
1
22
9
n

4
4
T
n

[13


n

1
],

2
4
4
两式相减得

9
9

n< br>1
9
9
9
n

4
1
9
n< br>
4
1
9
n
3
T
n

[1 3



n

1

n
]

[13

4
4

n
]

8
2
n

3

2
n

1,

1
2
4
4
4
2
4
22
1

4
8
1
3
n

.故

T
n


2
n

3
2
n

1
3
3

2
2

n

2
n

)
a
n

sin
2
,
n

1,
2,3,
.

例
78

数列

a
n

满足< br>a
1

1,
a
2

2,
a
n

2

(1

cos
2
2



(
Ⅰ
)
求
a
3
,
a
4
,
并求数列

a
n

的通项公式；
(
Ⅱ
)
设
b
n

a
2n

1
,
S
n

b
1
b
2

a
2
n
1

b
n.
证明：当
n

6
时，
S
n

2

.
n

2
.
解
:(
Ⅰ)
因为
a
1

1,
a
2

2 ,
所以
a
3

(1

cos












a
4

(1

cos
2

2)
a
1

sin
2

2

a
1

1

2,


)
a
2

sin
2


2
a
2
4.

2
*
一般地，当
n

2
k
1(
k

N
)
时，
a
2
k

1

[1

cos
(2
k
< br>1)

2
k

1
]
a
2
k

1

sin
2


2
2
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＝
a
2
k

1

1
，即
a
2
k

1

a
2
k

1

1.

所以数列

a
2
k

1

是首项为
1
、公差为
1
的等差数列，因此
a< br>2
k

1

k
.

*
当< br>n

2
k
(
k

N
)
时，
a
2
k

2

(1

cos2
2
k

2
k

)
a
2k

sin
2

2
a
2
k
.

2
2
所以数列

a
2
k
是首项为
2
、公比为
2
的等比数列，因此
a
2
k

2
k
.


n

1
*
,
n

2
k

1(
k

N
),

2
故数列

a
n

的 通项公式为
a
n



n

2
*

2
,
n

2
k
(
k

N
).
(
Ⅱ
)
由
(
Ⅰ
)
知，
b
n

a
2
n

1
n
1
2
3

2
,
S
n


2

3

2
2
2
a
2
n
2

n
,






①

n
2
1
1
2
3
n
S
n

2

2

4


n

1





②

2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
n



①
-
②得，
S
n


2

3


n

n

1
.

2
2
2
2
2
2
1
1
[1

(
)
2
]
2

n
1

1

n
.



















2
n

1
n
n

1
1
2
2
2
1

2
1
n
n

2



所 以
S
n

2

n

1

n

2

n
.

2
2
2
1
n
(
n

2)



要证明当
n

6
时，
S
n< br>
2

成立，只需证明当
n

6
时，

1
成立
.
n
n
2



证法一

6

(6

2)
48
3



1
成立
.
6
2
644
k
(
k

2)



(2 )
假设当
n

k
(
k

6)
时不 等式成立，即

1.

k
2



(1)
当
n
= 6
时，



则当
n
=
k
+1
时，
(
k

1) (
k

3)
k
(
k

2)
(k

1)(
k

3)
(
k

1)(
k

3)




1.

k

1
k
2
2
2
k
(
k

2)
(
k

2)
2
k



由
(1)
、
(2)
所述，当
n
≥
6
时，





证法二

n
(
n

1)
1
.
即当
n
≥
6
时，

1
S

2

.
n
2
2
n
(
n

1)(
n

3)
n
(
n

2)
3

n
2
n
(
n

2)


n
1

0.




令
c< br>n

(
n

6)
，则
c
n

1

c
n

n

1
2
2
2
2
2
2
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所以当
n

6
时，
c
n

1

c
n
.
因此当
n

6
时，
c
n

c
6< br>
6

8
3


1.

6 4
4
n
(
n

2)
1
于是当
n< br>
6
时，
综上所述，当
时，

1.
S

2

.
n

6
n
2
2
n

,
a
m
(
m

7)
依次围 成一个圆圈．

是公差为
d
的等差数列，
而
a
1< br>,
a
2009
,
a
2008
,

例
79
设
m
个不全相等的正数
a
1
,< br>a
2
,
（Ⅰ）
若
m

2009
，< br>且
a
1
,
a
2
,
,
a
1< br>0
0
5
公比为
q

d
的等比数列；数列a
1
,
a
2
,
,
a
1006
是
,
a
m
的前
n
项和
S
n
(n

m
)
满足：
S
3

15,
S
2009

S
2007

12
a
1< br>，求通项
a
n
(
n

m
)
；

解：因
a
1
,
a
2009
,
a
2008
,

,
a
1006
是公比为d
的等比数列，从而
a
2000

a
1
d,
a
2008

a
1
d

由

2
S
2009

S
2008

12
a
1
得
a
2008

a
2009
12
a
1
，故


解得
d

3
或
d


4
（舍去）。因此
d

3



又

S
3

3
a
1

3
d

15
。解得a
1

2

从而当
n

1005
时，

a
n

a
1

(
n

1)
d

2

3(
n

1)

3
n
< br>1

当
1006

n

2009
时 ，由
a
1
,
a
2009
,
a
2008,

,
a
1006
是公比为
d
的等比数列 得

a
n

a
1
d
2009
< br>(
n

1)

a
1
d
2010
n
(1006

n

2009)

因此
a
n



3
n

1,n

1005

2

3
2009
< br>n
,1006

n

2009

例
80
已知数列
错误！未找到引用源。
中，
错误！未找到引用源。

（
1
）求证：数列
错误！未找到引用源。
与
错误！未找到引用源。
都是等比数列；（
2
）
求数列
错误！未找到引用源。
前错误！未找到引用源。
的和
错误！未找到引用源。
；

（
3
）若数列
错误！未找到引用源。
前
错误！未找到引用源。
的和为
错误！未找到引用
源。
，不等式
错误！未找到引用源。
对
错 误！未找到引用源。
恒成立，求
错误！未找到引
用源。
的最大值。

解：（
1
）∵
错误！未找到引用源。
，∴
错误！未找到引用 源。





2
分





∴数列
错误！未找到引用源。
是以
1
为首项，
错误！未找到引用源。
为公比的等

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