小学数学《奇偶分析法》练习题(含答案)
绝世美人儿
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2021年01月29日 07:53
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小学数学《奇偶分析法》练习题（含答案）
奇数和偶数的概念：整数可以分成奇数和偶数两大类
.
能被
2< br>整除的数叫做偶数（双数）
，不能被
2
整除的数叫做奇数（单数）
.
奇数和偶数的表示方法：
因为偶数是
2
的倍数，所以通常用
2k
这个式子来表示偶数（这里< br>k
是整数）
；
因为任何奇数除以
2
其余数总是1
，所以通常用式子
2k+1
来表示奇数（这里
k
是整数）.
特别注意，因为
0
能被
2
整除，所以
0
是偶数
.
最小的奇数是１，最小的偶数是０．
奇数与偶数的运算性质：
性质
1
：
偶数
±
偶数
=
偶数
奇数
±
奇数
=
偶数
偶数
±
奇数
=
奇数
同性质（指奇偶性）两数加减得偶，不同性质得奇
.
性质
2
：
偶数
×
奇数=
偶数（推广开来我们还可以得到：偶数个奇数相加得偶数）
偶数
×
偶数
=
偶数（推广开就是：偶数个偶数相加得偶数）
奇数
×
奇数
=
奇数（推广开就是：奇数个奇数相加得奇数）
对于乘法，见偶就得偶
.
性质
3
：
任何一个奇数一定不等于任何一个偶数
.
你还记得吗
【复习
1
】从
3
开始，依据后一数是前一数加上
3
，写出
2000
个数排成一行：
3
，
6
，
9
，
12
，
15
，
18
，
21,
……在这行数中第
1991
个数是奇数还是偶数
?
分 析：由于奇数
+
奇数
=
偶数，偶数
+
奇数
=
奇数
.
3
是奇数，所以，每个数加上
3
后，奇偶性
与原 来相反，也就是说，在
3
，
6
，
9
，
12
，……中，每一个数与前一个数的奇偶性不同
.
这
行数的第一个数是奇数，并且是奇 偶相间，由此可知，这行数的奇偶性与其序数的奇偶性
相同．所以第
1991
个数是奇 数
.
由此可以得到以下一条性质：加上
(
或减去
)
一个偶 数，奇
偶性不变，而加上
(
或减去
)
一个奇数，奇偶性改变．
【复习
2
】
7
只杯子口均向上，每次操作 翻动四只杯子，使其杯口朝向改变，能否经过有限
次操作，使
7
只杯子口均向下
?
分析：我们可以从两个角度来考虑所有杯子被翻动次数的总和：一是每次操作计
4
次，
，
z
次操作共计
4z
次，为一偶数；二是看杯子状 态，每只杯子由“口向上”变为“口向下”
，
需奇数次翻动，
7
只杯子翻动次 数总和必为奇数．这样，奇≠偶，因此结论是不能．
【复习
3
】某班同学参加学校的数学竞赛，试题共
50
道，评分标准是：答对一道给
3
分，
不答给
1
分，答错倒扣
1
分
.
请你说 明：该班同学的得分总和一定是偶数
.
分析：对于一名参赛同学来说，如果他全部 答对，他的成绩将是
3
×
50=150
，是偶数；有一
道题未答，则 他将丢
2
分，也是偶数；答错一道题，则他将丢
4
分，还是偶数；所以不论< br>这位同学答的情况如何，他的成绩将是
150
减一个偶数，还将是偶数
.
所以，全班同学得分
总和一定是偶数
.
【复习
4< br>】
在一张
9
行
9
列的方格纸上，
把每个方格所在的行 数和列数加起来，
填在这个方格中，例如
a=5+3=8
，问：填入的
81< br>个数中，奇数多还是偶数多
?
多多少？
分析：
每两个相邻的方格，
所填的数一奇一偶，
将第一行的每个方格与
它下面
的相邻 方格配对，可见第一、二行中奇数与偶数正好一样多
.
同理，前八行中奇数 与偶数一样多
.
第九行的前八个方格也可两两配对，
每对相邻的方格中的数一奇一偶， 所以这八格中的奇数偶数也一样多
.
最后，
第九行，第九列有一个方格填
18 (=9+9)
，所以
81
个数中，偶数恰好比奇数多
1
个
.
例题精讲
【例
1
】
师傅 与徒弟加工同一种零件，各人把产品放在自己的箩筐里，师傅的产量是徒弟
的
2
倍，师 傅的产品放在
4
只箩筐中，徒弟的产品放在
2
只箩筐中，每只箩筐都标明了产
品的只数：
78
只，
94
只，
86
只，
8 7
只，
82
只，
80
只．根据上面的条件，你能找出哪两只
筐的产品是徒弟制造的吗
?
分析：注意到
6
个标数只有一个为奇 数，它肯定是徒弟制造的．原因很简单：师傅的产量
是徒弟的
2
倍，一定是偶数，它是
4
只箩筐中产品数的和，在题目条件下只能为四个偶数
的和．徒弟的另一筐产嗁就得通 过以下计算来确定：利用求解“和倍问题”的方法，求出
徒
弟
加
工
零
件
总
数
为
：
(78+94+86+87+82+80)÷( 2+1)=169
，
那
另
一
筐
放
有
产品
169-87=82(
只
)
．所以，标明“
82
只” 和“87
只”这两筐中的产品是徒弟制造的．
【前铺】某电影院共有2003
个座位．有一天，这家电影院上、下午各演一场电影，看电影
的是
A、
B
两所中学的各
2003
名师生．同一学校的学生有的看上午场，有的 看下午场，但
每人恰看一场，有人断言：
“这天看电影时，肯定有的座位上、下午坐的是两所不 同学校的
师生．
”你认为这种断言正确吗
?
为什么
?
分析 ：此题读来费神，但仔细一想，道理却很简单．如果每个座位上、下午坐的都是同一
所学校的，那么这所 学校的人数就等于上午本校看电影人数的
2
倍，肯定为偶数，这就与
人数为奇数
2003
矛盾．所以题中断言是正确的．
【例
2
】
把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。是否有可能使得在 同一条直线上
的红圈数都是奇数？试讲出理由
.
分析：不可能
.< br>假设在同一条直线上的红圈数都是奇数，
5
条直线上的红圈总数就
会是奇数（奇 数乘以奇数仍是奇数）
.
因为每个红圈均在两条直线上，所以按各条
直线上的红圈数计 算和时，每个红圈都被算了两次，所以红圈总数应是偶数
.
这就
出现了矛盾，所以假设 在同一条直线上的红圈数都是奇数是不可能的
.
【巩固】元旦前夕，同学们相互送贺年卡.
每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那
么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是 偶数
?
为什么
?
分析：此题初看似乎缺总人数
.
但解决问 题的实质在送贺年卡的张数的奇偶性上，因此与总
人数无关
.
由于是两人互 送贺年卡，给每人分别标记送出贺年卡一次
.
那么贺年卡的总张数应能被
2
整
除，所以贺年卡的总张数应是偶数
.
送贺年卡的人可以分为两种：一 种是送出了偶数张贺年卡的人：他们送出贺年卡总和为
偶数
.
另一种是送出了奇数张贺 年卡的人：他们送出的贺年卡总数
=
所有人送出的贺年卡总
数一所有送出了偶数张贺年 卡的人送出的贺年卡总数
=
偶数一偶数
=
偶数
.
他们的总人 数必
须是偶数，
才使他们送出的贺年卡总数为偶数
.
所以，
送出奇数 张贺年卡的人数一定是偶数
.
【例
3
】
< br>平面上有
11
个齿轮咬合成一圈．试问，能否使这些齿轮同时转动起
来
?
分析：不能．假设齿轮
1
顺时针转动，则齿轮
2
就应 当逆时针转动，齿轮
3
—
顺时针转动，齿轮
4
—逆
时针转动……．很清楚，凡“奇数号“齿轮均应顺
时针转动，而“偶数“号，齿轮则相反．这样一来 ，齿轮
1
和齿轮
11
均为顺时
针转动，这是不可能的．
< br>注：这道题解答的关键是：齿轮的转动应当是顺时针与逆时针交替变化
,
要想同时转动， 必
须是偶数个齿轮相连．
【例
4
】
如右图所示，如果按照箭头的方向转动摇把，图中所悬吊的物体
A
会
，物
体
B
会
．
(
填“上升”或“下降”)
分析：
传动 带交叉奇数次，
滑轮转动方向改变．
传动带交叉偶数次，
滑轮转动方向不变．
如
图中，传动带交叉
6
次，则滑轮转动方向不变，故
A
会上升，B
会下降．
【例
5
】
如下图所示的十二张扑克牌，
2
点、
6
点、
10
点各四张 ．你能从中选出七张牌，
使上面点数之和恰等于
52
吗
?
说明理由．
分析：不能．由于各牌点数都等于
2×奇数，即
2=
2×1，
6=
2×3，
10=
2×5．从十二张牌中
任 取七张牌点数之和，等于
2
乘以七个奇数之和，这数是一个奇数的两倍．但
52=2×26
是
一个偶数的两倍．
因此，
无论怎样从十二张牌中选取七张牌，
其点数之和都不会等于
52
．
点
评由于从所给十二张牌中每个被4
除都余
2
，则任取七张点数之和被
4
除也都余
2，而
52
被
4
整除，所以不能相等．
【例
6
】
用
1
、
2
、
3
、
4
、
5
这五个数两两相乘
.
可以得到
10
个不同的乘积
.
问乘积中是偶
数多还是奇数多
?
< br>分析：如果二个整数乘积是奇数，那么这二个整数都必须是奇数
.
五个
数中有三 个奇数，这
三个奇数两两相乘，只有
3
个乘积，也就是说总共只有
3
个奇数，而偶数的乘积有
10-3=7
个，因此乘积中偶数比奇数多
.
【前铺】
100
个自然数，
它们的和是
100000，
在这些数里，
奇数的个数比偶数的个数多
.
问：
这些数里至多 有多少个偶数
?
分析：因为这
100
个数的和是偶数，那么奇数的个数必须 是偶数
.
又因为奇数的个数比偶数
多，
所以奇数的个数至少有
52< br>个，
偶数至多有
48
个
.
比如取
52
个1
，
47
个
2
和
1
个
9854
，
它们的和为
10000.
【例
7
】
在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成其它两数之和 ，这样继续操作下去，
最后得到
66
，
88
，
237
．问：原来写的三个整数能否为
1
，
3
，
5
？
分析：此题单从具体的数来，无从下手．但抓住其操作过程中奇偶变化规律，问题就变得很简单了．
如果原来三个数为
1
，
3
，
5
，< br>为三奇数，
无论怎样，
操作一次后一定为二奇一偶，
再往后操作，可能有以下两 种情况：一是擦去一奇数，剩下一奇一偶，其和为奇，因此换
上去的仍为奇数；二是擦去一偶数，剩下两 奇，其和为偶，因此，换上去的仍为偶数．总
之，无论怎样操作，总是两奇一偶，而
66
，
88
，
237
是两偶一奇，这就发生矛盾．所以，
原来写的不可 能为
1
，
3
，
5
．
【例
8
】
现有
6
张桌子排成一排，每张桌上放着 一只盘子．现规定每次操作必须将两只盘
子由原来桌子移到相邻的桌子上．问：能否操作有限次后，将所 有盘子移到一张桌上去
?
说
明理由．
分析：请画图帮 助分析
.
我们将桌子依次编为
l
号，
2
号，…，
6
号．我们来考察盘子所在
桌子的号码和．显然，最初的号码和为：
l+2+3+4+5 +6=21
．而如果能办到，即
6
只盘子都
在
n
号桌上，号 码和为
6n
．再看每次操作号码和有何变化．每只被移动的盘子的号码要么
加
l
要么减
1
，两只盘子对号码和的影响是：要么都加
1
，即加
2
；要么一加一减，即不变；
要么都减
1
，即减
2
．但是 不管怎样，都不会改变号码和的奇偶性，而
21
和
6n
的奇偶性显
然 不同．因此要把所有盘子移到一起是不可能的．
【例
9
】
你能不能将自然数
1
到
9分别填入
3
×
3
的方格中，使得每个横行中的三个数之
和都是偶 数
?
分析：显然不能．如果能，我们把三个横行的和相加，其和就是三个偶数之和 必为偶数，
然而它也恰是九个数之和，即
1+2+3+…+9=45，而偶≠奇．
【拓展】能否将
1
～
16
褶这
16
个 自然数填入
4×4
的方格表中
(
每个小方格只填一个数
)
，
使得各行之和及各列之和恰好是
8
个连续的自然数
?
如果能填，请给 出一种填法；如果不能
填，请说明理由．
分析：
不能．
将所有的 行和与列和相加，
所得之和为
4
×
4
的方格表中所有数之和的2
倍．
即
为(1+2+3+…+15+16)×2
=
16×17 ．而
8
个连续的自然数之和设为：
k+(k +1)+ (k+2)+(k
+3)+(k +4)+(k +5)+(k +6)+(k +7) =8k+28
．若4×4
的方格表中各行之和及各列之和恰好
是
8
个连续的自然数，应有< br>8k +28=
16×17，即
2k +7=
4×17 ，显然左端为奇数，右端为
偶数，得出矛盾．
【例
10
】
将两个自然数的差乘上它们的积，能否得到数
45045?
分析：不 可能．因为
45045
是奇数，所以它只能表示成
3
个奇数的连乘积，但是对 任何两
个奇数
x
和
y (x
y-x
都 是偶数；从而
45045≠xy(y
-x)
，而如果
x
和
y
中有偶数，
则亦为不可能．
【巩固】是否存在自然数
a
和
b
，使得
ab(a+5b)= 15015?
分析：不存在．因为
15015
是奇数，所以
a
、
b
、
a+5b
都应为奇数，但是当
a
和
b
均为奇数
时，
a +5b
却是偶数．
【例
11
】
下面的四个算式中
(
如图
)
，每个方框代表一个整数
.
其中每个算式至少有一个奇
数和一个偶数
.
问：这
12
个整数中，共有几个偶数
?
口
+
口
=
口
口
-
口
=
口
口×口
=
口