四年级奥数奇偶性与染色性质
余年寄山水
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2021年01月29日 08:07
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一、
奇数和偶数的定义
整数可以分成奇数 和偶数两大类
.
能被
2
整除的数叫做偶数，不能被
2
整除的 数叫做奇数。通常偶数可
以用
2
k
（
k
为整数）表示，奇数 则可以用
2
k
+1
（
k
为整数）表示。特别注意，因为0
能被
2
整除，所以
0
是偶数。
二、
奇数与偶数的运算性质
性质
1
：偶数±偶 数
=
偶数，奇数±奇数
=
偶数
性质
2
：偶数±奇数
=
奇数
性质
3
：偶数个奇数的和或差是偶数
性质
4
：奇数个奇数的和或差是奇数
性质
5
：偶 数×奇数
=
偶数，奇数×奇数
=
奇数，偶数×偶数
=
偶数< br>
三、
两个实用的推论
推论
1
：在加减 法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。
推论
2
：对 于任意
2
个整数
a
,
b
,
有
a
+
b
与
a
-
b
同奇或同偶．
【例
1
】
是否存在自然数
a
和
b，使得
ab
(
a
＋
b
)=115?
（
a
5
b
）
15015
？
【
巩
固
】
是
否存在自然数
a
和
b
，使得
ab
1
/
12
【例
2
】
已知
a
,
b,
c
中有一个是
511
，一个是
622
，一个是
793
。求证：
(
a
1)(
b
2) (
c
3)
是一个偶数。
【
巩
固
】
小
红写了四个不 同的非零整数
a
,
b
,
c
,
d
，并且说这 四个整数满足四个算式：
a
b
c
d
a
1991
a
b
< br>c
d
b
1993
a
b
c
d
c
1995
a
b
c
d
d
1997
但是小明看过之后立刻说小红是错的，根不不存在这样的四个数，你能证明小明结论吗？
【例
3
】
数列
1
，
1
，
2
，
3
，
5
，
8
，
13
，
21
，< br>34
，
55
，
的排列规律是前两个数是
1
，从第三个 数开
始，每一个数都是它前两个数的和，这个数列叫做斐波那契数列，在斐波那契数列前
200 9
个数
中共有几个偶数？
【
巩
固
】
八
十个数排成一行，除了两头的两个数 以外，每个数的
3
倍都恰好等于它两边的两个数的和，这
一行的最左边的几个数是这样 的：
0
，
1
，
3
，
8
，
21，
…
，问最右边的一个数是奇数还是偶数？
2
/
12
【例
4
】
在黑板上写（
2
，
2
，
2
）三个数，把其中的一个
2
抹掉后，改写成其余两数的和减
1
，得（
2
，
2
，
3
）
，再把两 个
2
中的一个
2
抹掉后，写成其余两数的和减
1
，得（2
，
4
，
3
）
，再把
2
抹掉后写其< br>余两数的和减
1
，得（
6
，
4
，
3
）
，继续这一过程，是否能得到（
859
，
263
，
597
）？
88
，
【
巩
固
】
在
黑板上写出 三个整数，
然后擦去一个换成其它两数之和，
这样继续操作下去，
最后得到
6 6
，
154
．问：原来写的三个整数能否为
1
，
3
，
5
？
【例
5
】
你能不能将自然数
1
到
9< br>分别填入
3×3
的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数。
【
巩
固
】
你
能不能将整数
0
到
8
分别填入
3×3
的方格表中， 使得每一行中的三个数之和都是奇数
?
【例
6
】
甲同学一手握有写着
23
的纸片，另一只手握有写着
32
的纸片．乙同学请甲回答如下一个问题：
“
请 将左手中的数乘以
3
，右手中的数乘以
2
，再将这两个积相加，这个和是奇数 还是偶数？
”
当
甲说出和为奇数时，乙马上就猜出写有
23
的纸片握 在甲的左手中．你能说出是什么道理吗？
3
/
12
【
巩
固
】
圆
桌旁坐着
2
k个人，其中有
k
个物理学家和
k
个化学家，并且其中有些人总说真话，有 些人则总
说假话．今知物理学家中说假话的人同化学家中说假话的人一样多．又当问及：
“你的右邻是什么
人
”
时，大家全部回答：
“
是化学家．
”
那么请你证明：
k
为偶数．
【例
7
】
在一张
9
行< br>9
列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来，填在这个方格中，例如
a
5
3
8
．问：填入的
81
个数字 中是奇数多还是偶数多？
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
6
7
8
9
a
【
巩
固
】
如
果把每个方格所在的行数和列数乘起 来，填在这个方格，例如：
a
5
3
15．问填入的
81
个
数中是奇数多还是偶数多？
【例
8
】
师傅与徒 弟加工同一种零件，各人把产品放在自己的箩筐里，师傅的产量是徒弟的
2
倍，师傅的
产品放在
4
只箩筐中，徒弟的产品放在
2
只箩筐中，每只箩筐都标明了产品的 只数：
78
只，
94
只，
86
只，
87
只 ，
82
只，
80
只．根据上面的条件，你能找出哪两只筐的产品是徒弟制造的 吗？
4
/
12
【
巩
固
】
商
店一次进货
6
桶， 重量分别为
15
千克、
16
千克、
18
千克、
19
千克、
20
千克、
31
千克。上午卖
出去
2
桶，下午卖出去
3
桶，下午卖得的钱数正好是上午的
2
倍。剩下的一桶重< br>
千克。
【例
9
】
多米诺骨牌是由塑料制成的
1×2
长 方形，共
28
张，每张牌上的两个
1×1
正方形中刻有
“
点
”
，点
的个数分别为
0
，
1
，
2
，
…
，
6
个不等，其中
7
张牌两端的点数一样，即两个0
，两个
1
，
…
，两
个
6
；
其余
21
张牌两端的点数不一样，
所谓连牌规则是指：
每相邻两张牌必须有一 端的点数相同，
且以点数相同的端相连，例如：
……
……
现将一副多米诺骨牌按连牌规则连成一条链，如果在链的一端为
6
点，那么在链的另一端为多 少
点
?
并简述你的理由．
【
巩
固
】
一
条线段上分布着
n
个点，这些点的颜色不是黑的就是白的，它们将线段分为
n
+1
段，已知线段
两端的两个点都是黑的，而中间的每一个点的两边各有一黑一白.
那么白点的数目是奇数还是偶
数？
【例
10
】
有
一个袋子里装着许多玻璃球．
这些玻璃球或者是黑色的，
或者是白色的．
假设有人从袋中取球，
5
/
12
每次 取两只球．如果取出的两只球是同色的，那么，他就往袋里放回一只白球；如果取出的两只
球是异色的， 那么，他就往袋里放回一只黑球．他这样取了若干次以后，最后袋子里只剩下一只
黑球．请问：原来在这 个袋子里有奇数个还是偶数个黑球？
【
巩
固
】
有
一个袋子里边装着红、黄、蓝三种颜 色的球，现在小峰每次从口袋中取出
3
个球，如果发现三
个球中有两个球的颜色相同， 就将第三个球放还回口袋，如果三个球的颜色各不相同，就往口袋
中放一个黄球，已知原来有红球
42
个、黄球
23
个、蓝球
43
个，那么取到不能再取的时候，口 袋
里还有蓝球，那么蓝球有多少个？
【例
11
】
六
年级一班全班有
35
名 同学，共分成
5
排，每排
7
人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个
位置都叫做它的邻座．如果要让这
35
名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗
?
为什么？
6
/
12